Les annees 1824 et 1825 furent consacrees a un travail sans repit. Les manuscrits qui datent de cette epoque, et qui furent publies plus tard, sont tous de la plus haute importance, et contiennent la preuve suffisante que les grandes lignes d'a peu pres toutes les plus grandes decouvertes d'Abel etaient alors deja etablies. Il raisonnait sans doute a ce moment comme sur les bancs de l'ecole, lorsqu'il s'agissait de la composition latine de Riddervold, et, parmi les " sciences accessoires ", il n'y avait guere que le francais auquel il accordat quelque attention. Vers l'automne de 1825, le desir de voyager le reprit fortement, et il demanda lui-meme alors une bourse de voyage de deux ans. Il dit dans sa petition:
Des mes premieres annees d'ecole j'ai etudie les mathematiques avec grand plaisir, et j'ai continue cette etude pendant les deux premieres annees que j'ai passees a l'Universite. Mes progres non sans succes ont amene le conseil academique a me recommander pour la subvention qu'il a plu gracieusement a Votre Majeste de m'accorder sur le Tresor, pour que je puisse continuer mes etudes a l'Universite norvegienne, et en meme temps cultiver davantage les langues savantes. Depuis lors j'ai, du mieux que j'ai pu, conjointement aux sciences mathematiques, etudie les langues anciennes et modernes, parmi ces dernieres particulierement le francais. Apres m'etre ainsi efforce grace aux ressources actuelles dans le pays, de me rapprocher du but assigne, il me serait extremement utile, par un sejour a l'etranger pres de plusieurs universites, surtout a Paris, ou il se trouve aujourd'hui tant de mathematiciens eminents, d'apprendre a connaitre les productions les plus recentes de la science, et de profiter des indications des hommes qui l'ont portee de notre temps a une si grande hauteur. J'ose donc, en raison de ce qui precede, et des attestations ci-jointes de mes superieurs, prier tres humblement Votre Majeste qu'il me soit accorde gracieusement une bourse de voyage de 600 species (3.360 francs) d'argent par an, pour continuer pendant deux ans, a Paris et a Gottingen, a cultiver les sciences mathematiques.
Hansteen ajoute sa recommandation a la petition d'Abel:
… Pendant le temps qu'il a ainsi, et surtout grace a la subvention de Votre Majeste, passe a l'Universite, il a, dans plusieurs memoires publies dans le Magasin pour les Sciences physiques et naturelles, qui est edite ici, et plus encore par un travail plus important, non encore imprime, relatif a un perfectionnement de methode dans le calcul integral, donne des preuves d'une ardeur et d'une puissance de travail rares, en meme temps que de capacites exceptionnelles. Son caractere et sa moralite meritent un eloge egal, ce dont j'ai eu occasion de me convaincre par mes relations personnelles avec lui. Comme quelques indications des hommes les plus eminents dans une science ont souvent plus d'influence que la lecture prolongee des livres, je crois qu'un sejour de deux ans parmi les mathematiciens les plus eminents de notre temps serait pour M. le candidat [Note: Titre qui designe l'etudiant ayant passe l'examen philosophicum.] Abel extremement profitable, et que la patrie, dans ces conditions, aura l'espoir le plus fonde de gagner en lui un savant dont elle aura honneur et profit.
Par une resolution royale du 27 aout 1825, la demande d'Abel fut accordee. Il y a peu d'actes gouvernementaux, dans l'histoire des pays scandinaves, dont les consequences aient ete plus grandes pour la science.
Bjerknes decrit de la maniere suivante l'aspect exterieur d'Abel, lorsqu'il quitta son pays:
Abel avait des traits reguliers, on peut meme dire vraiment beaux; son regard et ses yeux etaient d'une beaute peu commune; mais un teint pale, sans fraicheur et sans eclat, ternissait l'agrement de sa figure. On etait frappe de la conformation particuliere de la tete avec son ovale saillant; le crane fortement developpe semblait temoigner d'une intelligence extraordinaire. Sur son front haut et large, cache en partie par sa chevelure tombante, regnait une expression meditative. Un sentiment de bienveillance etait empreint sur son visage.
Il existe un seul portrait original d'Abel certain. C'est un dessin a l'encre de Chine et au crayon, fait a Paris en 1826 par l'ami d'Abel, le peintre norvegien Goerbitz [Note: L'original est la propriete de Mme Thekla Lange, niece d'Abel. Il a ete photographie en 1882 a Stockholm, et une reproduction de cette photographie figure en tete de la revue mathematique scandinave, Acta mathematica, qui ainsi, quatre-vingts ans apres la mort d'Abel, fit son entree dans le monde sous son egide. L'original a ete gravement abime par des taches d'humidite, qui s'etendent de plus en plus.]. Personne, en voyant le dessin de Goerbitz, ne peut meconnaitre qu'il represente un jeune homme tres exceptionnellement doue. De stature, Abel ressemblait, parait-il, a son pere, et il est par suite interessant, pour le sculpteur qui sera charge d'executer sa statue, qu'il existe une silhouette du pere en pied.
Les amis de jeunesse d'Abel le depeignent, a partir de cette periode de sa vie, d'humeur sombre, mais en meme temps vif et gai avec ses camarades. Il etait aime de tous, avait partout des amis et jamais aucun ennemi. En societe, tres vif, et joueur presque comme un enfant, tantot piquant et pittoresque en ses expressions, tantot sensible et tendre, il eveillait la sympathie de tous, meme apres la connaissance la plus fugitive. Il semble a un degre rare avoir ete simplement homme parmi les hommes, et libre de tout conventionnalisme. Il conserva toujours, par exemple, le tutoiement de l'enfance, meme a l'egard d'etrangers. Il est d'ailleurs evident que pendant sa jeunesse — et il ne fut jamais autre chose que jeune — ses pensees geniales et puissantes ne pouvaient suivre le courant d'une existence parfaitement reglee. La nuit devenait jour, et le jour etait nuit, et les pensees etaient jetees dans les cahiers de notes quand et comme elles venaient. Puis il y avait des periodes de depression et de fatigue. Il pouvait rester des jours entiers seul, silencieux, maussade, et completement inactif. Si on lui demandait ce qu'il avait, il repondait: " Je suis sombre. " Puis venaient d'autres jours pleins d'entrain. A Berlin, au- dessus de la colonie norvegienne a laquelle appartenait Abel, n'habitait rien de moins que le philosophe Hegel. Ayant demande quels etaient ces gens dont le tapage derangeait son travail, on lui dit que c'etaient des " danische Studenten ". Il parait qu'il repondit: Ce ne sont pas des Danois, mais des ours russes. " Nicht Danen, es sind russische Baren. "
Le physiologue Chr. Boeck, dont je fis la connaissance en sa vieillesse, m'a rapporte qu'a l'epoque ou il habitait avec Abel dans la meme chambre a Berlin, il ne se passait guere de nuit sans qu'Abel allumat la lumiere en pleine nuit, sautat hors du lit, et se mit a ecrire ou a calculer. Une fois il etait reste plus longtemps que d'habitude a la table, et il raconta le lendemain a Boeck que c'etait une question mathematique dont il avait cherche la solution pendant des mois sans avancer, qui tout a coup s'etait eclaircie pour lui lorsqu'il s'etait reveille dans la nuit. C'etait cette question qu'il avait notee. Mais pour Boeck, de meme que pour ses autres amis, les pensees d'Abel, ce qu'il y avait de plus profond dans sa vie, sa veritable grandeur, etaient un livre ferme, et Boeck n'avait aucune idee de la decouverte que cette nuit a donnee a la science.