Voici la définition rigoureuse: «La racine carrée d'un nombre est la limite des nombres dont les carrés ont pour limite le nombre proposé.»
On prouve, bien entendu, que la limite existe et qu'elle est unique.
Cournot a rapproché l'extension de l'idée de multiplication aux fractions et l'extension des règles de calcul aux nombres négatifs. Ces deux généralisations permettent de rendre les relations entre les grandeurs, indépendantes de l'unité et du zéro-origine choisis.
Les nombres incommensurables donnent déjà de la généralité à l'arithmétique. Le vrai passage à l'algèbre se fait lorsqu'apparaissent les nombres négatifs, permettant de généraliser davantage les règles et les formules. Viennent ensuite les imaginaires et les autres symboles qui étendent de plus en plus la généralisation.
Les signes + et - modifient la quantité devant laquelle ils sont placés, comme l'adjectif modifie le substantif.
Cauchy.