Remarquons en outre l'analogie frappante, ou plutôt la similitude parfaite qu'il y a entre l'appareil propulseur hélicoïdal qui paraît avoir un si grand avenir dans la navigation à vapeur et l'âme de notre petite machine.--La seule différence consiste en ce que l'un reçoit l'impulsion d'un moteur étranger dans un liquide immobile, d'où résulte son mouvement de progression dans ce liquide, tandis que l'autre reçoit l'impulsion d'un courant de fluide aérien, et que ne pouvant acquérir un mouvement de progression, il transmet sa rotation à d'autres parties de la même machine. Ainsi, un des progrès les plus remarquables de la navigation à la vapeur se trouvait implicitement dans notre tourne-broche sans ressort ni contre-poids! Que de grandes choses dans les plus petites!
II. Disons d'abord en quoi consiste le jeu de passe-dix. On jette trois dés sur une table, et un joueur parie contre l'adversaire que la donne des points amenés excédera 10. Il y a 216 combinaisons possibles. Or, les points sont disposés sur les dés ordinaires de manière que la somme des points sur deux faces opposées soit constamment sept, l'as opposé au six, et ainsi pour les autres. La somme des points qui se trouvent sur les faces opposées des trois dés fait donc constamment 21. Donc chaque combinaison qui fait gagner le joueur pariant pour passe-dix, en comprend une autre qui le fait perdre, savoir celle qu'on obtiendrait en retournant les trois dés, ou en faisant la lecture sur les faces inférieures au lieu de la faire sur les faces supérieures. Donc, les chances des joueurs sont égales lorsqu'ils parient, l'un pour, l'autre contre passe-dix en un coup.
Cela posé, d'après l'énoncé de notre problème, les probabilités de Paul sont évidemment
1/2 1/4 1/8 1/16 1/32
pour gagner 1, 2, 4, 8, 16 fr., etc.,
selon que Pierre passera dix au premier, au second, au troisième coup, etc. La valeur de son espérance mathématique de gain est égale à la somme de tous les gains aléatoires multipliés respectivement par les probabilité correspondantes. Or, chacun de ces produits partiels est égal à un demi-franc Ainsi, Paul devrait, pour que le jeu fût égal, déposer un enjeu de 50 francs, si l'on convient de s'arrêter au centième coup; 500 francs pour mille coups, etc.
Il semble donc qu'il doit déposer pour enjeu une somme infinie, quand on convient que le jeu se prolongera jusqu'à ce que Pierre ait passé dix, si loin qu'il faille aller pour cela. Et cependant, ajoute-t-on, quel est l'homme sensé qui voudrait risquer à ce jeu, non pas une somme infinie dont personne ne dispose, mais une somme tant soit peu forte relativement à sa fortune.
Tel est le paradoxe curieux qui est célèbre dans l'histoire de la science sous le nom de problème de Pétersbourg.
Pour lever ce paradoxe, ce que nous connaissons de plus satisfaisant est la remarque très-simple faite par M. Poisson, que Pierre ne peut pas payer plus qu'il n'a, et que possédât-il 50 millions, il ne pourrait loyalement s'engager à prolonger le jeu au-delà du 26e coup, puisqu'au 27e coup sa dette envers Paul, en cas de perte, serait le nombre de francs représente par le produit de 29 facteurs égaux à 2, ou par 67, 108, 864 francs, somme supérieure à sa fortune. Réciproquement, Paul connaissant la fortune de Pierre, ne s'engagera pas après plus de 26 coups, et ne risquera que 15 francs. En supposant qu'on ne limite pas le nombre des coups, comme il ne peut recevoir de Pierre, quoi qu'il arrive, plus de 50 millions, on trouve que son enjeu ne doit pas dépasser 13 francs 50 centimes.
(Cette question est empruntée à l'ouvrage de M. Cournot, déjà cité.)
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