2 — X 2 + 2 X,
которое нужно представить в виде суммы трех кубов так, чтобы получилось равенство между двумя членами, имеющими последующие степени.
Это можно сделать бесконечным числом способов: пусть сторона одного из кубов будет 1 — 1 / 3 X, другого же 1 + X (чтобы в сумме этих двух кубов член первого порядка было бы 2 X ); сторона третьего куба должна состоять из одного члена, содержащего X, который к тому же надо снабдить знаком минус, чтобы значение X оставалось в намеченных пределах; нетрудно выбрать коэффициент этого члена, содержащего X, так, чтобы решение действительно лежало внутри пределов, о которых шла речь.
После того, как это сделано, ясно, что наш первый куб будет меньше единицы, как это было желательно; напротив того, второй больше, а третий снабжен знаком минус; нужно найти два куба, сумма которых равнялась бы разности второго и третьего; мы придем, таким образом, как и Диофант, ко второй операции.
„Из «Поризмов» мы имеем, — говорит он, — что разность всяких двух кубов равна сумме двух кубов“.
Здесь Баше вновь находится в затруднении, и, поскольку «Поризмов» Диофанта у него нет, он считает, что задача возможна только при некоторых ограничениях; он учит, как разложить на два куба разность двух кубов, но только при условии, что больший из заданных кубов превосходит удвоенный меньший. Он откровенно признается, что не знает, как можно в общем случае разложить на два куба разность двух произвольных кубов. Мы изложили выше по поводу задачи IV 2 общее решение этого вопроса, а также других, относящихся к тому же предмету.
OBSERVATIO D. P. F
XXIX (p. 249)
Ad quæstionem XXIV Libri V.
Invenire tres quadratos, ut solidus sub ipsis contentus, quovis ipsorum adscito, quadratum faciat. Ponatur solidus ille 1Q. et quærantur tres quadrati quorum quilibet adscitâ unitate faciat quadratum. Hoc autem peti potest a quovis triangulo rectangulo. Expono tria triangula rectangula, et accipiens quadratum unius laterum circa rectum, divido eum per quadratum alterius laterum circa rectum, et invenio quadratos, unum (9/16)Q, alterum (25/144)Q, tertium (64/225)Q, et quilibet ipsorum cum 1Q facit quadratum. Restat ut solidus sub tribus contentus æequetur 1Q. Est autem solidus ille (14400/518400)CC. hoc aquatur 1Q. et omnia ad eumdem denominatorem reducendo, et dividendo per 1Q, fiunt (14400/5184001484)QQ æqualia 1. et latus lateri æquatur, fitque (120/720)Q æquale 1. Est autem unitas quadratus. Quod si etiam (120/720)Q quadratus esset, soluta fuisset quæstio. Non est autem. Eo igitur redactus sum, ut inveniam tria triangula rectangula, ut solidus sub perpendiculis ductus in solidum sub basibus faciat quadratum* cujus latus sit numerus multiplicatione ortus laterum circa rectum unius triangulorum. Et si omnia diviserimus per productum ex lateribus circa rectum inventi rectanguli, orietur qui fit ex producto laterum circa rectum secundi in productum laterum circa rectum alterius triangulorum. Et si unum ipsorum statuanius 3. 4. 5. eo deventum est ut inveniantur duo triangula rectangula ut productus ex lateribus circa rectum producti ex lateribus circa rectum sit 12N. Proinde et area areæ 12. Si autem 12 et 3. Hoc autem facile est et est simile huic 9. 40. 41. Alterum* 5. 12. 13. (* legendum est 8. 15. 17). Habentes ergo tria triangula rectangula, revertamur ad initio propositum. Et statuamus trium quæitorum quadratorum, alterum 9, alterum 25, tertium 81, et si solidum ex his æquemus 1Q, fiet 1N rationalis. Ad positiones.*