Пусть, например, надо приравнять квадратам 1 X + 4, 2 X + 4, 5 X + 4, получаем тройное равенство, которое легко решить с помощью двойного равенства.
Если положить вместо X некоторое число, которое вместе с 4 дает квадрат, например X 2 + 4 X, то первое число, которое нужно приравнять квадрату, есть X 2 + 4 X + 4, второе 2 X 2 + 8 X + 4, третье 5 X 2 + 20 X + 4.
Первое число является квадратом по построению, значит, нужно приравнять квадратам
2 X 2 + 8 X + 4 и 5Q + 20 X + 4,
и получаем двойное равенство, из которого найдем, правда, только одно решение, но из него можно вывести новое решение, а из второго выведем третье и так до бесконечности.
Чтобы сделать это, надо, если найдено некоторое значение для X, положить вместо X в уравнении X + первоначально найденное значение для X. Таким путем получим бесконечно много решений, каждое из которых выводится из предыдущего и присоединяется к уже полученным.
Благодаря этому открытию мы можем получить бесконечно много треугольников с одинаковой площадью, чего, как кажется, не знал Диофант, как это явствует из задачи V 8[58], в которой он ищет только три треугольника с одинановой площадью, чтобы решить последующую задачу относительно трех чисел, но эта задача, благодаря впервые сделанному нами открытию, может быть распространена на любое количество чисел до бесконечности.
OBSERVATIO D. P. F
XLIV (p. 333)
Ad idem commentarium.