«Кроме той отрасли геометрии, которая рассматривает величины и способы измерения и которая тщательно разрабатывалась еще в древности, Лейбниц первый упомянул в другой отрасли, названной им „геометрией положения“. Эта отрасль Геометрии занимается только порядком расположения частей фигуры друг относительно друга, отвлекаясь от их размеров».*)
«Недавно мне пришлось слышать об одной задаче, относящейся к геометрии положения, и я решил изложить здесь, в виде примера найденный мною способ решения этой задачи».
Эйлер имеет в виду задачу о Кенигсбергских мостах.
Рассуждений великого математика мы здесь излагать не станем, а ограничимся сейчас краткими соображениями, подтверждающими его окончательный вывод. Он состоит в том, что требуемый задачей обход невыполним.
Разбор задачи
Для наглядности заменим рисунок расположения речных рукавов упрощенной схемой (см. рис.). В предложенной задаче размер острова и длина мостов никакого значения не имеет (такова, мы знаем, характерная особенность всех топологических задач: они не зависят от относительных размеров частей фигуры).
Поэтому мы можем местности А,В,C,D ( рис. 1) заменить на схеме точками соответствующего наименования, в которых встречаются пути обхода. Задача сводится теперь, как видим, к тому, чтобы начертить фигуру 2 одним, росчерком, не отрывая пера от бумаги и не проводя ни одной линии дважды.
Покажем, что фигуру нашу начертить одним росчерком нельзя. В самом деле, в каждую из узловых точек A, B, C, D, надо притти по одному из путей и затем эту точку покинуть по другому пути, исключение составляет только начальная и конечная точки: в первую не надо ниоткуда приходить, вторую нет надобности покидать. Значит, для возможности непрерывного обхода нашей фигуры необходимо, чтобы во всех узловых точках, кроме двух, сходилось либо по 2, либо по 4 пути, — вообще четное число путей. В нашей же фигуре в каждой из точек А, В, С, D сходится как раз нечетное число линий. Поэтому начертить ее одним росчерком нельзя; невозможно, следовательно, и обойти Кенигсбергские мосты требуемым образом.