В Италии Юлий Веллавитис (1803–1886) опубликовал в 1835–1837 свое исчисление эквиполенций.
Во Франции великий математик этой эпохи Огюстэн Копти (1789–1857) не давал алгебре уклоняться в сторону, но тем не менее умел двигать ее вперед столь же быстрыми, сколь и верными шагами. В общем, благодаря его трудам понятие о мнимых величинах Гаусса и Аргана окончательно утвердилось, и необходимость учения о мнимых величинах была признана всеми математиками; его «алгебраические ключи» отвечают одной из основных идей Грассмана.
20 мая 1832 года прискорбная дуэль лишила Францию молодого математика, в котором еще на скамье Нормальной школы обнаруживался первоклассный гений. Имя Эвариста Галуа (1811–1832) навсегда останется связанным с понятием о группах подстановок, являющихся отправной точкой одной из важнейших современных теорий; он ввел это понятие для определения условий, при которых алгебраическое уравнение может быть разрешено в радикалах.
В 1829 году Штурм (1803–1855), уроженец Женевы, которому суждено было заменить в Сорбонне Пуассона на кафедре механики, выдвинулся знаменитой теоремой, касающейся определения числа действительных корней алгебраического уравнения, заключенных между двумя данными пределами.
Анализ: Фурье, Коши. Несмотря на выступление на сцену иностранных новаторов, французская школа пользовалась попрежнему неоспоримым авторитетом. Парижская Академия наук никогда не находилась в более цветущем состоянии; по общему признанию, она шла во главе умственного движения, и ее математики с достоинством поддерживали ее репутацию.
Жозеф Фурье (1768–1830) в 1807 году опубликовал свое капитальное открытие, что произвольная функция может быть представлена тригонометрическим рядом. Воспитанник Нормальной школы (1795), некоторое время профессор Политехнической школы, взятый Бонапартом в Египет, где он состоял секретарем Института, затем префект Гренобля в течение 14 лет, он вступил в 1817 году в Академию в качестве физика и в 1822 году издал свою Аналитическую теорию теплоты, в которой его «ряды» находят себе блестящее приложение и которая отмечает собою решающий момент в истории математической физики.
Коши, поступив в 1807 году из Политехнической школы в Корпус путей сообщения, с 1813 года посвятил себя исключительно науке; в 1816 году он вступил в Академию, присудившую ему высшую награду (grand prix), в то же время он преподает механику в Политехнической школе, высшую алгебру — в Сорбонне, математическую физику — в College de France. Горячий легитимист, он отказывается присягнуть Июльскому правительству, покидает Францию в 1831 году, профессорствует два года в Турине, затем отдается научному воспитанию герцога Бордосского. В 1838 году он возвратился в Академию, но кафедру получил снова только в 1848 году.
Коши, кроме своих дидактических сочинений, представляющих образец в смысле точности изложения, оставил свыше 800 мемуаров по всем отделам математики. Сравнительно доступный для чтения, этот плодовитый автор пользовался огромным влиянием, способствовавшим систематизации науки не менее, чем ее прогрессу. Обобщающий ум Коши умел отыскать истинно ценные черты в открытиях, сделанных другими; что касается того, что принадлежит собственно ему, то я ограничусь лишь указаниями на то, что составляло предмет его важнейших исследований.
Прежде всего вопрос о том, может ли функция допускать интегрирование; точное установление понятия определенного интеграла; обоснование теории несобственных интегралов, создание счисления индексов, понятие об определенном интеграле между мнимыми пределами — этим исчерпывается поле исследований Коши.
Относительно диференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными, Коши доказал существование решений и выработал для них общие методы; кроме того, точно определил условия разложения функций в бесконечные ряды.