Лаплас прежде всего пересмотрел эти методы и вместо них дал новые математические методы, внеся в них достижения современного ему анализа, в частности, используя разработанную им самим теорию особых «образующих» функций.
Этим Лаплас сделал свое изложение теории вероятностей простым, ясным и изящным.
Не ограничившись переработкой теории, Лаплас внес в нее много нового. Теорема, носящая его имя, точнее и шире теоремы Бернулли.
Лаплас развил ту отрасль теории вероятностей, которая носит название «Теория ошибок и способ наименьших квадратов» и без которой не может теперь обойтись ни один естествоиспытатель.
Не говоря уже о физико-математических науках, даже биология и физиология постоянно прибегают к содействию этой теории. Эмпирически построенная Лежандром и в особенности Гауссом, эта теория, обоснованная Лапласом, позволяет, например, вычислить точность результата тех или иных подсчетов и наблюдений, позволяет судить о степени достоверности каких-либо численных выводов. Лаплас и Гаусс впервые широко пользовались способом «наименьших квадратов» в вопросах небесной механики и в других.
В «Опыте философии теории вероятностей» Лаплас дает не только блестящее популярное изложение самой теории, но и крупную попытку философского обоснования ее положений и выводов. Тут же Лаплас излагает свои обширные соображения о применении теории вероятностей к явлениям социального характера, но мы их рассмотрим дальше, в связи с общей характеристикой мировоззрения ученого.
В предисловии к русскому переводу «Опыта философии теории вероятностей», изданному столетием позднее, профессор А. К. Власов говорит: «Никому теория вероятностей не обязана столько, сколько Лапласу. Его „Аналитическая теория вероятностей“ составляет своего рода „principia“ по этому предмету. Столетний возраст этого классического сочинения не умалил его значения».
Все физико-математические науки, статистика, биометрия, страхование жизни, страхование от пожаров, страхование грузов, экономика, транспорт, коммунальное хозяйство, словом, почти все отрасли науки, техники и широкой практики пользуются плодами трудов Лапласа в области теории вероятностей и математической статистики.
Теория капиллярности
В этот же период Лаплас уделял много времени вопросам теоретической физики, в частности, теории капиллярности или волосности.