DIE HAUPTSÄCHLICHSTEN

THEORIEN DER GEOMETRIE

IN IHRER FRÜHEREN

UND

HEUTIGEN ENTWICKELUNG.

HISTORISCHE MONOGRAPHIE

VON

Dr. GINO LORIA,

PROFESSOR DER HÖHEREN GEOMETRIE AN DER UNIVERSITÄT ZU GENUA.

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UNTER BENUTZUNG ZAHLREICHER ZUSÄTZE UND VERBESSERUNGEN SEITENS DES VERFASSERS

INS DEUTSCHE ÜBERTRAGEN

VON

FRITZ SCHÜTTE.

MIT EINEM VORWORTE VON PROFESSOR R. STURM.

LEIPZIG,

VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1888.

Druck von B. G. Teubner in Dresden.

Seiner teueren Mutter

als schwaches Unterpfand inniger Liebe

widmet diese Arbeit

der Verfasser.

Vorwort.

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Diese deutsche Übersetzung der im vergangenen Jahre in den Memorie della Reale Accademia delle Scienze di Torino (Ser. II, Bd. 38) erschienenen Monographie des Herrn G i n o L o r i a: Il passato e il presente delle principali teorie geometriche, welche mein Schüler Herr F r i t z S c h ü t t e angefertigt hat, begleite ich gern mit einem empfehlenden Vorworte, nachdem ich sie mit der Originalschrift und den handschriftlichen Zusätzen und Verbesserungen des Herrn Verfassers in Bezug auf ihre Richtigkeit verglichen habe.

Eine Geschichte der Geometrie unserer Zeit, in der jedes Jahrzehnt uns mehr vorwärts bringt, als es früher in einem Jahrhundert geschah, welche uns zu ungeahnten allgemeinen Anschauungen geführt hat, zu besitzen, ist der Wunsch aller Geometer; aber wir wissen auch alle, wie unvergleichlich schwerer die Aufgabe, eine solche zu schreiben, heute ist als vor fünfzig Jahren, wo der Aperçu historique von C h a s l e s erschien.

Herr L o r i a will seine »Chronik«, wie er seine Schrift in der Einleitung nennt, nur als eine Vorarbeit angesehen haben, welche zur Inangriffnahme des großen Werkes der Abfassung einer Geschichte der modernen Geometrie anspornen und diesem Werke dienen soll. Der Umfang, den er zunächst seiner Arbeit gegeben hat, bringt es, wie er selbst mehrfach bemerkt, freilich mit sich, daß die Darstellung bisweilen auf eine bloße Aufzählung von Namen und Schriften hinausläuft. Aber auch in diesem engeren Rahmen ist es, meine ich, dem

Verfasser gelungen, dem Leser, als welchen ich mir in erster Linie einen Studierenden vorstelle, der schon etwas über die Anfänge hinaus ist, eine anschauliche Übersicht der hauptsächlichsten Untersuchungsrichtungen der Geometrie unserer Zeit vorzuführen; für alle Geometer aber werden die reichhaltigen Litteraturnachweise von großem Werte sein. Etwaige Lücken in denselben wird jeder, der unsere fast unübersehbare und den wenigsten vollständig zugängliche mathematische Litteratur kennt, dem Verfasser nicht anrechnen, und jede Mitteilung einer wesentlichen Verbesserung oder Ergänzung wird er gewiß gern entgegennehmen, um seine Schrift noch wertvoller zu machen, falls ihr eine neue Auflage beschieden würde.

Die Veränderungen, welche diese Übersetzung im Vergleich mit dem italienischen Originale aufweist, bestehen, außer stark vermehrten Litteraturnachweisen, in einer viel eingehenderen Besprechung der Differentialgeometrie im Abschnitte III und der Umarbeitung der auf die Gestalt der Kurven und der Oberflächen und die abzählende Geometrie bezüglichen Teile der Abschnitte II und III zu einem besonderen Abschnitte.

M ü n s t e r i. W., Ende Mai 1888.

R. Sturm.

Inhaltsverzeichnis.

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Einleitung.

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»Après six mille années d'observations l'esprit humain n'est pas épuisé; il cherche et il trouve encore afin qu'il connaisse qu'il peut trouver à l'infini et que la seule paresse peut donner des bornes à ses connaissances et à ses inventions.« — B o s s u e t.

Die Fortschritte der exakten Wissenschaft im allgemeinen und der Mathematik im besonderen[^[1]] sind in diesen letzten Zeiten so beträchtlich gewesen, fortwährend folgen weitere nach, so schnell und unaufhaltsam, daß sich lebhaft das Bedürfnis fühlen macht, einen Rückblick auf den schon gemachten Weg zu werfen, welcher den Anfängern ein leichteres Eindringen in die Geheimnisse derselben und den schon Vorgeschrittenen ein sichereres Urteil gestattet, welches die Probleme sind, deren Lösung am dringendsten ist.

Der Wunsch, diesem Bedürfnisse zu entsprechen, soweit es die Geometrie anlangt, d. h. soweit es den höheren Teil

unserer positiven Kenntnis betrifft — da, wie Pascal sagte, tout ce qui passe la géométrie nous surpasse — ist es, der mich veranlaßt, vorliegende Abhandlung zu schreiben.

Möge dieser unvollkommene Abriß die Veranlassung sein zu einer Schrift, die der Erhabenheit ihres Zieles würdig ist; möge diese dürftige Chronik der Vorläufer sein einer »Geschichte der Geometrie in unserem Jahrhundert«.

I.

Die Geometrie vor der Mitte des 19. Jahrhunderts.

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»Alle Entwickelungsstufen der Zivilisation sind so eng miteinander verknüpft, daß man vergebens versuchen würde, irgend einen Zweig der Geschichte von einer bestimmten Epoche ab zu studieren, ohne einen Blick auf die vorhergehenden Zeiten und Ereignisse zu werfen.«[^[2]] Wenn das im allgemeinen wahr ist, so wird es doppelt der Fall sein »bei einer Wissenschaft, die so konservativ ist, wie die Mathematik, welche das Werk der vorhergehenden Periode nicht zerstört, um an dessen Stelle neue Bauten zu errichten«.[^[3]] Daher ist es unerläßlich, daß ich, bevor ich an das eigentliche Thema dieser Abhandlung herantrete, d. h. bevor ich über die moderne Geometrie spreche, kurz angebe, auf welche Weise die Geometrie zu dem Standpunkte gelangt ist, von welchem ab ich vorhabe, ihre Entwickelung eingehender zu verfolgen.

Den ersten Ursprung der geometrischen Untersuchungen festzustellen, ist ein fast unausführbares Unternehmen. Die täglichen Erfahrungen jedes denkenden Menschen führen auf eine so natürliche Weise zur Vorstellung der einfacheren geometrischen Formen und zur Erforschung ihrer gegenseitigen Beziehungen, daß man vergebens versuchen würde, den Namen desjenigen zu nennen, der zuerst Geometrie betrieben hat, und anzugeben, zu welcher Zeit sie entstanden ist. Daher sind die Kenntnisse, welche man über die ersten Spuren dieser Disziplin hat, sehr unbestimmt; wer sich

vornimmt, sie festzustellen, den umhüllt, wenn nicht völlige Finsternis, so doch nur ein wenig Dämmerlicht, welches ihm nur gestattet, die Umrisse bedeutenderer Bruchstücke, welche sich den Unbilden der Zeit entzogen haben, zu erkennen. So kann ein solcher feststellen, daß die ältesten geometrischen Studien von den Ä g y p t e r n gemacht sind, und kann die Erzählung Herodots wiederholen, nach welcher diesem Volke ein sehr wirksamer Antrieb, sich mit Geometrie zu befassen, durch die periodischen Überschwemmungen des Nils gegeben wurde, welche, indem sie die Grenzen zwischen den kleinen Besitzungen, in die Ägypten unter seine Einwohner verteilt war, verwischten, sie nötigten, dieselben jedes Jahr wieder herzustellen.[^[4]] Die Haltbarkeit dieser Hypothese, um die Thatsache zu erklären, daß in Ägypten die Wissenschaft, von der wir handeln, eifrig betrieben sei, wird durch die praktische Natur der Gegenstände bewiesen, welche dort eingehender behandelt wurden: specielle Konstruktionen, Messungen von Längen, Flächeninhalten, Volumen u. s. f.[^[5]]

Indem die Kenntnisse der Ägypter nach Griechenland übergingen, erhielten sie durch T h a l e s (640-540)[^[6]] und die Anhänger der ionischen Schule, welche er gründete, eine wissenschaftlichere Gestalt. Thales ist in der That der erste, der sich damit beschäftigt hat, die von den Ägyptern entdeckten Sätze und einige andere streng zu beweisen. Jedoch erhob sich die Geometrie unter seinen Händen noch nicht zur wahren Wissenschaft; diese Würde erlangte sie erst

durch die Untersuchungen des P y t h a g o r a s (nach einigen 569-470, 580-500 nach anderen) und seiner Schüler. Unglücklicher Weise aber bestand eine der Regeln, welche die Pythagoräer strenge beobachten mußten, darin, daß sie die Lehren, welche der Meister vortrug, geheim halten mußten; daher kam es, dass der geometrische Teil derselben allen, die nicht dieser Schule angehörten, unbekannt blieb. Aber nachdem das Haupt gestorben war, da suchten seine Anhänger, als sie bei den inneren Kämpfen, welche die Republiken Grossgriechenlands zerrissen, besiegt worden waren, Zuflucht in Athen und offenbarten dort, von der Not getrieben, die Geheimnisse, welche sie bis dahin so strenge verwahrt hatten. Und der wohlthätige Einfluß einer grösseren Verbreitung dessen, was die Pythagoräer von der Mathematik wußten, ist durch die wichtigen Forschungen offenbar geworden, welche in der Folgezeit die griechischen Gelehrten in der Periode, welche zwischen Pythagoras und P l a t o (429-348) liegt, gemacht haben. Sie können in drei Kategorien geteilt werden, benannt nach den berühmten Problemen: der Dreiteilung des Winkels, der Verdoppelung des Würfels, der Quadratur des Kreises, und führten zur Vervollkommnung des mehr elementaren Teiles der ebenen Geometrie.

P l a t o verdanken wir den ersten Anstoß zum methodischen Studium der Stereometrie, und das ist nicht das Einzige, wofür der göttliche Philosoph auf den Dank der Geometer Anspruch erheben könnte; denn ihm ist auch die analytische Methode zuzuschreiben, deren Macht allen bekannt ist, und seiner Schule (Akademie) die Lehre von den Kegelschnitten und, was nicht weniger wichtig ist, die von den geometrischen Örtern.

Aus diesen gedrängten Angaben[^[7]] wird man leicht entnehmen können, daß die Bemühungen der angeführten Geometer zu einer Fülle von Eigenschaften der Figuren und zu Methoden, sie zu erklären, geführt und die Elemente für eine methodische Behandlung der Geometrie vorbereitet hatten.

Daher dauerte es nicht lange, daß vollständige Zusammenstellungen dessen, was entdeckt war, erschienen. Von vielen kennen wir nur die Existenz; nur eine einzige ist uns vollständig erhalten worden, die Elemente des E u k l i d e s, und das glänzende Licht, welches von ihnen ausgeht, führt uns zu der Vermutung, daß alle die anderen Zusammenstellungen durch die Vergleichung mit ihnen verdunkelt sind.

Mit diesem Buche, welches nach zweitausend Jahren noch als einzig angesehen wird, »von dem man für die Entwickelung der Jugend diejenigen Resultate erhoffen kann, mit Rücksicht auf die bei allen zivilisierten Nationen der Unterricht in der Geometrie eine solch bedeutende Stellung in der Erziehung der Jugend inne hat«,[^[8]] nimmt die wahre Wissenschaft der Geometrie ihren Anfang. Es ist das granitene Piedestal, auf welchem der großartige Bau der griechischen Mathematik sich erhebt, auf dessen Gipfel sich die anderen Werke Euklids und die unsterblichen Arbeiten von A r c h i m e d e s (287-212), E r a t o s t h e n e s (276-194) und A p o l l o n i u s (ca. 200 v. Ch.) befinden.[^[9]]

Diese berühmten Gelehrten bezeichnen den Höhepunkt der griechischen Wissenschaft; nach ihnen beginnt die Periode des Verfalles, ja sogar, trotz einiger wichtiger Untersuchungen eines H i p p a r c h (161-126) und eines P t o l o m a e u s (125 bis ungefähr 200), trotz der Arbeit eines genialen Kommentators, wie P a p p u s war (derselbe lebte gegen Ende des

dritten Jahrhunderts unserer Zeitrechnung), kommen wir nach und nach zu einer Periode völliger Unthätigkeit auf dem Gebiete der Geometrie.

Die Römer, die Eroberer und Gesetzgeber der Welt, scheinen jedes Untersuchungsgeistes zu entbehren, und wenn die Geometrie in der Epoche, in welcher sie herrschten, nicht ganz verfiel, so geschah das dank ihren Agrimensoren, welche jedoch bei ihren Operationen nur eine Genauigkeit zu erreichen suchten, die für die Bedürfnisse des täglichen Lebens ausreicht.[^[10]]

Auch das Mittelalter kann keine Veranlassung geben zu einer längeren Erörterung. Die dichte Finsternis, welche in dieser Zeit die ganze Menschheit bedeckte, gestattete nicht das Auftreten eines Gelehrten, dem man irgend einen bemerkenswerten Fortschritt in der Geometrie verdankt. Man kann nur erwähnen, daß die vielfachen in dieser Zeit errichteten heiligen Bauwerke, die nach dem Ausspruche eines großen Dichters so zahlreich und kühn waren, weil sie die einzigen der menschlichen Intelligenz damals erlaubten Äußerungen darstellen, Kunde davon geben, daß derjenige Teil unserer Wissenschaft, der jedem Baumeister unentbehrlich ist, auch in dieser Zeit im allgemeinen bekannt war.

Diese für unsere Wissenschaft so traurige Zeit kann man als beendet ansehen mit Leonardo F i b o n a c c i (etwa 1180-1250); erst als von diesem ausgezeichneten Gelehrten die Algebra nach Europa übergeführt worden war, und seine hervorragenden Arbeiten ihren Einfluß ausübten, da hatte diese Periode der wissenschaftlichen Unthätigkeit ein Ende, und es beginnt eine neue Zeit, deren wir Italiener uns mit Stolz erinnern müssen, da in ihr unser Vaterland das Scepter der Mathematik inne hatte. Jedoch gravitierte diese Periode, wenn sie auch von großer Bedeutung für die analytischen Untersuchungen ist, nicht in merklicher Weise nach den geometrischen. C a r d a n o (1501-1576), S c i p i o F e r r o (?-1525), T a r t a g l i a (1500-1559), L u d o v i c o F e r r a r i (1522-1565) und andere weniger bedeutende, die dieser Periode angehören, haben den Ruhm, in unserem Lande die Entwickelung eines der wichtigeren Teile der Analysis, nämlich der Theorie der Gleichungen, bewirkt zu haben, sowie auch die Vervollkommnung einiger der schwierigsten Teile derselben gefördert zu haben, dank den öffentlichen wissenschaftlichen Herausforderungen, welche eine charakteristische Eigentümlichkeit dieser Zeit waren. Hingegen überlieferten

sie die Geometrie ihren Nachkommen fast in demselben Zustande, in welchem sie dieselbe von den Griechen und den Arabern erhalten hatten.[^[11]]

Nach dem Tode dieser tapferen Kämpen ging der Primat in der Mathematik über die Alpen und wurde von Frankreich infolge der Verdienste eines V i e t a (1540-1603) und eines F e r m a t (1590-1663) übernommen. Durch sie bereicherte sich die Geometrie mit Lösungen, die man vorher vergebens gesucht hatte. Auch wurden einige Werke des Apollonius, deren Verlust man beklagt hatte, wieder hergestellt.

Nicht viel später vermehrten P a s c a l (1623-1662) und D e s a r g u e s (1593-1662) das Erbteil der Geometrie mit originellen Gesichtspunkten, mit neuen Methoden und neuen Sätzen[^[12]]. Aber die von ihnen ausgesprochenen Ideen blieben

viele Jahre hindurch unfruchtbar, weil sie von dem analytischen Geiste, dessen überwiegender Einfluß sich schon geltend gemacht hatte, unterdrückt wurden.

Gleichwohl war im 17. Jahrhundert das Vorwiegen der Analysis noch nicht ein solches, daß es die Geometer die Probleme, deren Lösung man seit langer Zeit und so lebhaft gewünscht hatte, vergessen ließ. Zwischen den Bestrebungen dieser Zeit und den Wünschen der Gelehrten erhob sich in der Folge ein Wettkampf eigener Art, und aus dem Zusammenstoße verschiedenartiger Ansichten und Bestrebungen entsprang ein Funke, der fähig war, eine Flamme zu erregen, welche die kommenden Generationen erleuchten sollte;[^[13]] es entstand die analytische Geometrie (1637).

Wenn man auch schon in einigen Methoden der griechischen Geometer, in einigen praktischen Regeln der Maler, der ägyptischen Astronomen und der römischen Agrimensoren Spuren von dem finden kann, was wir heute rechtwinkliges Cartesisches Koordinatensystem nennen; wenn auch schon die Araber und die italienischen Algebraiker aus der Renaissancezeit geometrische Betrachtungen auf die Lösung der Gleichungen angewandt hatten,[^[14]] wenn auch schon V i e t a die Abscissen gebraucht hatte, um vermittelst Zahlen die Punkte einer Geraden zu bestimmen, wenn schließlich Nicolaus O r e s m e (ca. 1320-1382) und F e r m a t mehr oder weniger bewußt sich der Koordinaten bedient haben; so scheint doch ganz unbestreitbar D e s c a r t e s (1596-1650) der erste zu sein, welcher in ihrer ganzen Ausdehnung die volle Einsicht von der Möglichkeit, mit den algebraischen Rechnungszeichen die nach irgend einem Gesetze aufgebauten Formen des Raumes darzustellen, gehabt und der den ganzen Vorteil, den die Analysis und die Geometrie aus ihrer

unerwarteten Vereinigung ziehen können, erkannt hat. Mit Recht wird daher Cartesius' Namen immer mit der Entdeckung der analytischen Geometrie verbunden bleiben.[^[15]]

Die Leichtigkeit, mit welcher dieses neue Werkzeug Fragen zu lösen gestattete, welche die Alten für unangreifbar hielten, ließ die Zeitgenossen und unmittelbaren Nachfolger Descartes' die von Euklides, Archimedes und Apollonius eröffneten Wege ganz vergessen, so dass wir eine Zeitlang niemanden finden, der, um zu irgend einer wichtigen Wahrheit zu gelangen, sie eingeschlagen hätte.

Die kurz nach Descartes gleichzeitig von L e i b n i z (1646-1716) und N e w t o n (1642-1727) neu erfundenen Rechnungsarten betonten gerade diese Richtung, da sie bewirkten, daß man sich um diejenigen Probleme nicht bekümmerte, deren Lösung nicht geeignet war, die Allmacht der Methoden, welche die Welt diesen unsterblichen Geistern verdankt, hervortreten zu lassen, derartig, daß man sagen kann, daß mit Ausnahme der Philosophiae naturalis principia mathematica (1686) von N e w t o n und einiger Seiten von H u y g e n s (1629-1695),[^[16]] von L a H i r e (1640-1718),[^[17]] von H a l l e y (1656-1742),[^[18]] M a c l a u r i n (1698-1746),[^[19]] S i m p s o n (1687-1768),[^[20]] von S t e w a r t

(1717-1785)[^[21]] keine mathematische Produktion jener Zeit dem angehört, was wir heute synthetische Geometrie zu nennen pflegen.[^[22]]

Das hindert aber nicht, daß man diese Periode ohne Bedenken zu den erfreulichsten für die Geometrie rechnen muß. In der That ist der größere Teil der Probleme, welche von den Erfindern der Infinitesimalrechnung und ihren unmittelbaren Schülern aufgestellt oder gelöst worden, unter die wichtigsten der ganzen Geometrie zu rechnen, da sie die interessantesten und verstecktesten geometrischen und mechanischen Eigenschaften der Kurven und Oberflächen berühren. Wir sehen daher, daß nicht allein die Zahl der Kurven, welche einer näheren Betrachtung wert sind, sich ausserordentlich vermehrt,[^[23]] sondern auch — was viel wichtiger ist —, daß die Betrachtung von Singularitäten einer Kurve und anderer neuer mit dieser verbundener Elemente eingefübrt wird, und daß infolge dessen Untersuchungsgebiete sich eröffnen, deren Existenz man vorher gar nicht geahnt hatte.

Die Leichtigkeit, welche die Cartesische Methode in der Auflösung einer so großen Anzahl von planimetrischen Aufgaben mit sich brachte, trieb natürlich die Geometer an,

eine ähnliche für das Studium der Raumkurven und der Oberflächen zu schaffen. Daher entstand eine Verallgemeinerung dieser Methode, welche Descartes schon angedeutet hatte, und die S c h o o t e n (16..-1661)[^[24]] in weiterer Ausführung veröffentlichte. Diese Andeutungen ließen bei P a r e n t (1666-1716) den Gedanken entstehen, eine Oberfläche durch eine Gleichung zwischen den drei Koordinaten eines ihrer Punkte darzustellen,[^[25]] und bereiteten deshalb die analytische Geometrie dreier Koordinaten vor, welche im Jahre 1731 einen wesentlichen Teil der Mathematik zu bilden begann infolge einer klassischen Abhandlung von C l a i r a u t (1715-1765),[^[26]] in welcher er im Alter von nur 16 Jahren mit einer seltenen Eleganz viele von den auf die Kurven doppelter Krümmung bezüglichen Problemen löste, welche ihre entsprechenden in der Ebene finden. Bald nach Clairaut schuf E u l e r (1707-1783) die analytische Theorie der Krümmung der Oberflächen (1760)[^[27]] und wandte die analytische Methode an, um eine Klassifikation der Oberflächen zweiten Grades zu erhalten, gegründet auf analoge Kriterien, wie diejenigen, welche den Alten dazu gedient hatten, die Kurven zweiter Ordnung in Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln zu unterscheiden. Endlich gehört der zweiten Hälfte des vergangenen Jahrhunderts das riesige Werk von M o n g e (1746-1818) an. Dieser verschaffte der analytischen Geometrie zweier Koordinaten das Aussehen, welches sie heute besitzt, indem er den methodischen Gebrauch der Gleichung einer Geraden einführte. Er stellte den wichtigen Begriff von Flächenfamilien auf und, indem er einige derselben behandelte (Regelflächen, abwickelbare, Röhrenflächen, »Surfaces moulures«), entdeckte er einen versteckten innigen Zusammenhang zwischen der Theorie der Oberflächen und der Integration der partiellen Differentialgleichungen,

was Licht in diese, wie in jene Lehre brachte und den Geometern neue Gesichtspunkte enthüllte.[^[28]]

Die geistige Bewegung, welche mit der Renaissancezeit begonnen und Italien an ihrer Spitze hatte, pflanzte sich, wie wir schon gesehen haben, zuerst unter Frankreichs Leitung fort, dann unter der von England und Deutschland. Aber gegen Ende des 18. Jahrhunderts, als Euler aufgehört hatte »zu rechnen und zu leben«,[^[29]] stellte sich Frankreich wieder an die Spitze der mathematischen Welt. Nicht allein mit C l a i r a u t, d ' A l e m b e r t (1716-1783), L a g r a n g e (1736-1813), L a p l a c e (1749-1827), L e g e n d r e (1752-1833), P o i s s o n (1781-1840) und anderen gab es den Anstoß zum Studium der reinen und angewandten Analysis, sondern es kehrten auch mit M o n g e, C a r n o t (1753-1823) und P o n c e l e t (1788-1867) die Gelehrten zum Studium der geometrischen Formen zurück, in der Weise, wie es die Alten verstanden.

Monge schuf, indem er zu einem wissenschaftlichen Ganzen die wenigen Regeln vereinigte, welche die Baumeister und Maler sich geschaffen hatten, um die Bedürfnisse der Kunst zu befriedigen, und glücklich die Lücken ausfüllte, die sich zwischen ihnen noch bemerkbar machten, einen neuen Zweig der Geometrie, die darstellende Geometrie. Mit seinem klassischen Buche, welches er dieser Disziplin widmete,[^[30]] und noch viel mehr mit seinen unvergleichlichen Vorlesungen, die er an der polytechnischen Schule hielt, brachte er das Studium der Geometrie, welches sich auf die direkte Anschauung der Figur stützt, zu Ehren[^[31]] und, indem

er die Vorstellung der geometrischen Figuren von drei Dimensionen erleichterte, machte er jene systematische Anwendung von stereometrischen Betrachtungen auf das Studium der ebenen Figuren möglich, welche Pappus schon erkannt hatte.[^[32]]

Der Géométrie descriptive von Monge darf man die Géométrie de position von C a r n o t[^[33]] an die Seite stellen, weil diese, indem sie mit jener das Ziel gemeinsam hat, der Geometrie diejenige Allgemeinheit zu verschaffen, welche man ausschließlich der Analysis zugetraut hatte, nicht weniger als jene dazu beitrug, den Aufschwung der reinen Geometrie vorzubereiten, welchen man von dem Erscheinen des Traité des propriétés projectives des figures (1822)[^[34]] datieren kann.

Um zu überzeugen, wie bemerkenswert dieses Datum sei, wird es genügen, zu erwähnen, daß gerade in dem

großen Werke von P o n c e l e t die Macht der Zentralprojektion als einer Methode der Demonstration und des Prinzips der Kontinuität als eines Untersuchungsmittels zum ersten Male gezeigt ist;[^[35]] daß das tiefere Studium der Homologie zweier ebener oder räumlicher Systeme in demselben zum Begriffe der Korrespondenz zwischen zwei Mannigfaltigkeiten zweier oder dreier Dimensionen führte; daß die Kenntnisse der Alten über die Polarität in Bezug auf einen Kegelschnitt und die von der Mongeschen Schule gewonnenen über die Polarität in Bezug auf eine Fläche zweiter Ordnung, die dort zum ersten Male sich vereinigt finden, das Gesetz der Dualität vorbereiteten, welches, von S n e l l i u s (1581-1626)[^[36]] und V i è t e[^[37]] in der sphärischen Geometrie erkannt, bestimmt war, in seiner ganzen Allgemeinheit vier Jahre später von G e r g o n n e (1771-1859)[^[38]] ausgesprochen zu werden; daß sich schließlich dort jene eleganten Untersuchungen über die Vielecke, die einem Kegelschnitt ein- und einem anderen umbeschrieben sind, finden, die J a c o b i (1804-1851), R i c h e l o t (1808-1875) und anderen Gelegenheit geben sollten, davon eine der elegantesten Anwendungen der Theorie der elliptischen Funktionen zu machen, welche man kennt.[^[39]]

Die Abhandlungen, welche P o n c e l e t der Theorie der harmonischen Mittel, der reciproken Polaren und der

Transversalen widmete, sowie andere weniger bedeutende von Gelehrten, welche zur M o n g e schen Schule gehörten, führen uns zum Jahre 1837, in welchem C h a s l e s' (1796-1880) Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie[^[40]] veröffentlicht wurde. In diesem unübertrefflichen Werke brachte der Autor, nachdem er in bewunderungswerter Form alles, was das Erbteil der reinen Geometrie in seiner Zeit bildete, zusammengestellt hatte, die Rechte zur Geltung, die sie auf die Beachtung der Gelehrten hatte und welche von den blinden Anbetern der Analysis ihr versagt worden waren, und zeigte durch wichtige und originelle Untersuchungen, mit welchem Rechte er sich zum Beschützer der Sache der Geometrie gemacht hatte.[^[41]]

Jedoch in dem Zeitraume, welcher zwischen dem Erscheinen des Ponceletschen Werkes und desjenigen von Chasles liegt, hatte sich Deutschland aus dem Schlafe gerüttelt, in welchen die einschläfernden Arbeiten der Schule

der Kombinatoriker es versetzt hatten. Dieses Wiedererwachen bedeutete einen neuen Übergang des Szepters der Mathematik von Frankreich nach Deutschland.[^[42]] In der That sehen wir durch die Arbeiten von Gelehrten wie M ö b i u s (1790-1868),[^[43]] S t e i n e r (1796-1863),[^[44]]

P l ü c k e r (1801-1868)[^[45]] und v o n S t a u d t (1798-1867)[^[46]] die analytische Geometrie sich mit Methoden bereichern, von denen wir nicht wissen, ob wir mehr ihre Eleganz oder ihre Macht bewundern sollen, so der Barycentrische Calcul und die abgekürzte Bezeichnung; wir sehen die synthetische Geometrie Hilfsmittel erwerben für das Studium, der Kurven und Oberflächen, die bis dahin für dieselbe unerreichbar

waren, sowie für die Gründung einer reinen Geometrie der Lage, die ganz und gar unabhängig ist von dem Begriffe des Maßes. Dank dem von C r e l l e (1780-1855) in dieser Zeit gegründeten Journal (1826), das bald zu verdientem Rufe gelangte, vorzüglich durch die Abhandlungen A b e l s (1802-1829), J a c o b i s und S t e i n e r s verbreiteten sich die eben angeführten Resultate schnell. Und so sehen wir hinter diesen Größen eine zahlreiche und glänzende Anzahl von Schülern, welche, indem sie Ähren lasen auf den Feldern, die von ihren Meistern bebaut waren, die Fruchtbarkeit des Samens zeigten, den jene ausgestreut hatten.

Hiermit will ich den Abriß der geistigen Bewegung, welche die neuesten geometrischen Untersuchungen vorbereitet hat, geschlossen haben und ich muß mich nun im einzelnen mit denselben befassen. Um mir nun die vorgenommene Aufgabe der Darlegung derselben zu erleichtern, werde ich meine Darstellung in verschiedene Teile teilen. Zuerst will ich mich mit der Theorie der ebenen Kurven und der Oberflächen beschäftigen, dann, nach einer kurzen Abschweifung zu den Untersuchungen über die Gestalt der Kurven und Oberflächen und über die abzählende Geometrie, werde ich mich mit den Studien über die Raumkurven befassen, um davon zur Darlegung des Ursprunges und der Entwickelung der Lehre von den geometrischen Transformationen überzugehen; darauf wende ich mich zur Geometrie der Geraden, um dann mit der Nicht-euklidischen Geometrie und der Theorie der Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Dimensionen zu schließen.[^[47]]

II.

Theorie der ebenen Kurven.

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Die allgemeine Theorie der ebenen Kurven entstand zugleich mit der cartesischen Geometrie. Es ist leicht die Gründe für die Thatsache anzugeben, daß das Erscheinen einer so wichtigen Theorie sich bis zu diesem Zeitpunkte verzögert hatte. In der That sind ja die Definition der Ordnung einer Kurve, die daraus folgende Einteilung der Kurven in algebraische und transcendente, der exakte Begriff einer in ihrer Ordnung allgemeinen Kurve ihrer Natur nach wesentlich analytische Begriffe. Sie synthetisch zu bestimmen, ist ein sehr schweres Problem, welches heutzutage erst den wiederholten Anstrengungen der Geometer zu weichen sich anschickt; dagegen, wenn man ein Koordinatensystem anwendet, eine wie leichte Sache ist es dann, diese fundamentalen Begriffe festzustellen, sie unter einander zu verbinden und aus ihnen interessante Folgerungen zu ziehen!

Die Wahrheit dieser Behauptung finden wir durch die Thatsache bestätigt, daß kurz nach Descartes wichtige Eigenschaften, die allen algebraischen Kurven gemeinsam sind, entdeckt wurden. Solche sind z. B. diejenigen, welche N e w t o n in den drei berühmten Theoremen, die in seiner Enumeratio linearum tertii ordinis (1706) enthalten sind, bekannt gemacht hat; ferner diejenigen, welche Newtons Schüler C o t e s (1682-1716) und M a c l a u r i n als eine Verallgemeinerung der von N e w t o n entdeckten Eigenschaften gaben;[^[48]]

schließlich die von W a r i n g (1734-1798)[^[49]] gefundenen. Überdies wurden noch von M a c l a u r i n[^[50]] und B r a i k e n r i d g e (etwa 1700, † nach 1759)[^[51]] einige interessante organische Erzeugungsweisen von Kurven hinzugefügt, die ähnlich denjenigen waren, welche N e w t o n für die Kegelschnitte gegeben hat.[^[52]] Endlich wurden von D e G u a (1712-1786)[^[53]] Methoden für die Bestimmung der Singularitäten der durch Gleichungen definierten ebenen Kurven angegeben.

Es ist überflüssig zu sagen, daß die ersten methodischen Bearbeitungen der Theorie der ebenen Kurven unter dem Einflüsse der analytischen Geometrie stehen; wir verdanken solche E u l e r[^[54]] und C r a m e r (1704-1752)[^[55]]. Diese studierten dieselben von Grund auf (kurz nacheinander, der eine 1748, der andere 1750), indem sie sich vorzugsweise mit den Singularitäten befaßten, besonders mit den Fragen, welche man heute mit Hilfe der Geometrie des unendlich Kleinen löst. In dem Werke von Cramer, das in vielen Beziehungen zu bewundern ist, finden wir auch schon die ersten Untersuchungen über die Schnitte von Kurven und unter diesen auch den Hinweis auf das, was man später »das C r a m e r sche Paradoxon« genannt hat; das ist jener scheinbare Widerspruch zwischen der Zahl der Punkte, die zur Bestimmung einer Kurve von gegebener Ordnung nötig

sind, und der Zahl der Schnitte zweier Kurven derselben Ordnung,[^[56]] ein Widerspruch, welcher viele Jahre später (1818) von L a m é (1795-1870) durch das berühmte Prinzip aufgehoben wurde, welches seinen Namen trägt und das man als den Grundstein jenes gewaltigen Bauwerkes ansehen muß, welches aus einer Fülle von Lehrsätzen von G e r g o n n e,[^[57]] P l ü c k e r,[^[58]] J a c o b i,[^[59]] C a y l e y[^[60]] errichtet ist, und auf dessen Gipfel die geometrische Interpretation des berühmten A b e l schen Theorems[^[61]] steht.

Nach den Arbeiten E u l e r s, C r a m e r s und dem Examen des différentes méthodes employées pour résoudre les problèmes de géométrie, in welchem L a m é mit großem Erfolge das vorhin angeführte Prinzip auseinandergesetzt und angewandt hatte, müssen wir uns zu P l ü c k e r wenden, um zu Arbeiten zu kommen, welche einen bemerkenswerten Fortschritt in der Theorie, die uns beschäftigt, bewirken. In dem im Jahre 1835 von diesem ausgezeichneten Geometer veröffentlichten System der analytischen Geometrie ist von der Methode der abgekürzten Bezeichnung Gebrauch gemacht und dieselbe für die Vervollständigung der Klassifikation der kubischen ebenen Kurven benutzt worden, welche so viele bedeutende Gelehrte unternommen hatten. In der vier Jahre später gedruckten

Theorie der algebraischen Kurven[^[62]] findet sich dann noch außer einer Aufzählung der ebenen Kurven vierter Ordnung,[^[63]] welche B r a g e l o g n e (1688-1744)[^[64]] und E u l e r[^[65]] nur versucht hatten, die Aufstellung und Lösung einer Frage von sehr großer Wichtigkeit, derjenigen nämlich, die Beziehungen zwischen den Zahlen der gewöhnlichen Singularitäten einer ebenen Kurve zu finden. Schon P o n c e l e t hatte (1818) den Zusammenhang zwischen der Ordnung und der Klasse einer allgemeinen Kurve ihrer Ordnung gefunden und später den Einfluß eines Doppelpunktes bestimmt; indem er nun auf diese Resultate das Prinzip der Dualität anwandte, stieß er auf jenen anderen scheinbaren Widerspruch, welchen wir heute das Ponceletsche Paradoxon nennen, ohne daß es ihm gelang, dafür eine vollständige Erklärung zu finden. Das geschah durch P l ü c k e r vermittelst der berühmten nach ihm benannten Formeln, welche gestatten, drei Charakteristiken einer Kurve zu finden (Ordnung, Klasse, Zahl der Doppelpunkte, der Doppeltangenten, Zahl der Wendetangenten und der Rückkehrpunkte), wenn man die übrigen kennt.

Auf die Frage, welche in einem gewissen Sinne reciprok zu der durch die P l ü c k e r schen Formeln gelösten ist, ob jeder Lösung derselben eine wirkliche Kurve entspreche, mußte man negativ antworten, da neuere Untersuchungen

dargethan haben, daß für gewisse Kurven (die rationalen Kurven) die Zahl der Rückkehrpunkte eine gewisse Grenze nicht übersteigen kann.[^[66]]

Auf der anderen Frage, die Plückerschen Formeln auf eine Kurve auszudehnen, welche mit Singularitäten höherer Ordnung ausgestattet ist, beruhen die Untersuchungen von C a y l e y und anderen,[^[67]] welche zu dem Schlüsse geführt haben, daß jede Singularität einer Kurve als äquivalent einer gewissen Anzahl von Doppelpunkten, Spitzen, Wendetangenten und Doppeltangenten betrachtet werden kann.

Ich füge noch hinzu, daß man durch J a c o b i,[^[68]] H e s s e (1811-1874),[^[69]] S a l m o n,[^[70]] C a y l e y[^[71]] und deren zahlreiche Kommentatoren[^[72]] heute im Besitze eleganter Methoden ist, um analytisch die Wendepunkte einer durch eine Gleichung gegebenen Kurve, sowie die Berührungspunkte ihrer Doppeltangenten anzugeben.

Dank dem einen der überaus wertvollen Lehrbücher,[^[73]] mit welchen S a l m o n so gewaltig zur Verbreitung der neuesten algebraischen und geometrischen Methoden beigetragen hat, ist es heutzutage leicht, sich über diese und viele andere Fragen, welche sich auf die analytische Theorie der ebenen Kurven beziehen, eine genaue Kenntnis zu verschaffen.

Man braucht aber nicht zu glauben, daß bei diesem Studium der fortwährende Gebrauch der Analysis unumgänglich sei; vielmehr erhob sich bald neben der Darlegung der Theorie der ebenen Kurven durch E u l e r, C r a m e r, P l ü c k e r, S a l m o n eine ebenso vollständige, aber mehr geometrische Theorie.

In einer berühmten Mitteilung, die im Jahre 1848 der Berliner Akademie gemacht wurde, zeigte S t e i n e r, indem er die Theorie der Polaren eines Punktes in Bezug auf eine Kurve wieder aufnahm, welche B o b i l l i e r (1797-1832) schon vordem[^[74]] als eine Erweiterung der Diametralkurven Newtons und Cramers aufgestellt, und mit welcher auch G r a ß m a n n (1809-1877) sich beschäftigt hatte,[^[75]] daß dieselbe als Grundlage für ein vom Gebrauche der Koordinaten unabhängiges Studium der ebenen Kurven dienen kann, und führte jene bemerkenswerten zu einer gegebenen Kurve covarianten Kurven ein, die heute seinen, Hesses und Cayleys Namen tragen. Diese kurzen Andeutungen, verbunden mit den Untersuchungen von S t e i n e r selbst, von C h a s l e s[^[76]] und J o n q u i è r e s[^[77]] über die Entstehung der algebraischen Kurven vermittelst projektiver Büschel von Kurven niederer Ordnung, dienten als Grundlage für die Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane,[^[78]] in

welcher C r e m o n a in einer einheitlichen Methode zugleich mit vielen neuen Resultaten alles auseinandersetzt, was wichtigeres von den analytischen Geometern, die ihm vorhergingen, erhalten worden war.

Bei dem außerordentlichen Interesse der Sache scheint es mir auch, daß man in die Reihe der schon zitierten Arbeiten auch die Serie von Abhandlungen zu stellen hat, in welchen C l e b s c h (1833-1872) zuerst die Algebra der linearen Transformationen auf die Geometrie angewandt hat, dann, nachdem er die Wichtigkeit des Begriffes des Geschlechtes einer Kurve ins Licht gestellt, die Anwendung der Theorie der elliptischen[^[79]] und Abelschen Funktionen auf die Wissenschaft von der Ausdehnung darlegte und sie für das Studium der rationalen und elliptischen Kurven benützte.[^[80]] Es ist wahr, daß B r i l l und N ö t h e r in einer Abhandlung,[^[81]] deren Bedeutung von Tag zu Tag wächst, gezeigt haben, daß die Theorie der algebraischen Funktionen in vielen Fällen die der eben angeführten Transcendenten ersetzen kann, aber das vermindert nicht, sondern vergrößert vielmehr das Verdienst, welches man den Methoden von C l e b s c h zuerkennen muß, da die von hervorragenden Geistern gemachten Anstrengungen, den Gebrauch eines

Hilfsmittels vermeiden zu können, der überzeugendste Beweis der Macht desselben sind.

Die bis jetzt besprochenen Arbeiten behandeln a l l g e m e i n e Eigenschaften der ebenen algebraischen Kurven.[^[82]] Aber an sie reiht sich eine große Menge von schönen Spezialabhandlungen, welche eine bestimmte Kategorie von Kurven behandeln; auf diese wollen wir einen kurzen Blick werfen.

Unter ihnen sind vor allen zu bemerken die von M a c l a u r i n,[^[83]] von S y l v e s t e r,[^[84]] C a y l e y,[^[85]] S a l m o n,[^[86]] D u r è g e,[^[87]] C r e m o n a,[^[88]] von S t u r m,[^[89]] von K ü p p e r,[^[90]] G r a ß m a n n,[^[91]] M i l i n o w s k i[^[92]] und von anderen über die Kurven dritter Ordnung,[^[93]] die Kapitel des Barycentrischen Calculs, dann verschiedene Arbeiten von E m. W e y r,[^[94]] von C l e b s c h und

vielen anderen[^[95]] über die rationalen Kurven; die wichtigen Untersuchungen S t e i n e r s und C h a s l e s ' über die Kurven, die mit einem Centrum versehen sind,[^[96]] und die von S t e i n e r über die dreispitzige Hypocykloide;[^[97]] ferner die Arbeiten, welche dem Beweise oder der Verallgemeinerung der dort ausgesprochenen Eigenschaften gewidmet sind,[^[98]] die interessanten Untersuchungen von B e r t i n i[^[99]] über rationale Kurven, für welche man willkürlich die vielfachen Punkte bestimmen kann, die wichtigen Studien von B r i l l über die Kurven vom Geschlechte zwei,[^[100]] dann die eleganten Abhandlungen von K l e i n und L i e[^[101]] über die Kurven, welche eine infinitesimale Transformation in sich selbst zulassen, endlich die von F o u r e t über die Kurven, welche die eigenen reciproken Polaren in bezug auf unendlich viele Kegelschnitte sind,[^[102]] und die von S m i t h (1826-1883) über die Singularitäten der Modularkurven.[^[103]]

Neben diesen verdient dann noch eine hervorragende Stelle die Abhandlung von S t e i n e r über die einer ebenen kubischen Kurve[^[104]] oder einer Kurve vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten eingeschriebenen Vielecke, auf welche die jüngsten Arbeiten von K ü p p e r[^[105]] und S c h o u t e[^[106]] von neuem die Aufmerksamkeit der Gelehrten gelenkt haben. Die Knappheit des Raumes nötigt mich, flüchtig hinwegzugehen über die Untersuchungen von C a y l e y On polyzomal Curves otherwise the Curves √u + √v + ... = 0;[^[107]] von G r a ß m a n n, C l e b s c h,[^[108]] S c h r ö t e r[^[109]] und D u r è g e,[^[110]] betreffend die Erzeugung ebener Kurven dritter Ordnung, über die von L ü r o t h,[^[111]] von C a s e y,[^[112]] D a r b o u x,[^[113]] S i e b e c k,[^[114]] von C r o n e,[^[115]] Z e u t h e n[^[116]] und noch anderen über einige spezielle ebene Kurven vierter Ordnung, über die von B a t t a g l i n i, die sich auf die syzygetischen Kurven dritter Ordnung beziehen,[^[117]] und andere, welche auch eine besondere Erwähnung verdienen würden.

Was ich aber nicht mit Stillschweigen übergehen kann, das sind die Arbeiten von H e s s e über die Wendepunkte einer Kurve dritter Ordnung und über die Gleichung, welche zu deren Bestimmung dient;[^[118]] dann die von demselben H e s s e,[^[119]] S t e i n e r,[^[120]] A r o n h o l d[^[121]] (1819-1884) über die Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung, welche eine hervorragende Stelle verdienen, da sie viele bemerkenswerte Eigenschaften derselben ins Licht gestellt haben; dieselben wurden darauf von G e i s e r[^[122]] durch stereometrische Betrachtungen dargethan, von C l e b s c h[^[123]] dagegen und R o c h[^[124]] vermittelst der Theorie der Abelschen Funktionen untersucht.

III.

Theorie der Oberflächen.

———

Das Streben nach Verallgemeinerung, welches die geometrischen Untersuchungen leitete, seitdem sich der Einfluß der Analysis auf dieselbe mehr oder weniger offen geltend gemacht, trieb alsbald die Gelehrten dazu, sich mit den Erscheinungen des Raumes zu beschäftigen, welche Analogien mit den schon in der Ebene betrachteten darbieten. Daher sehen wir denn auch die Forschungen über die Oberflächen

bald denen über die ebenen Kurven folgen. Die Theorie dieser Gebilde ist jedoch neueren Ursprungs.

Den griechischen Geometern waren in der That nur einige wenige besondere Oberflächen bekannt (die Kugel, die Cylinder und Kegel, Konoide und Sphäroide, die plektoidischen Oberflächen und wenige andere). Erst W r e n (1669), P a r e n t und E u l e r begannen sich mit den Oberflächen zweiten Grades zu beschäftigen, und wir müssen zur Schule von M o n g e gehen, um die Eigenschaften von grösserer Wichtigkeit dieser höchst bemerkenswerten Oberflächen anzutreffen.[^[125]] Zu diesen ersten Eigenschaften wurden in unserem Jahrhundert durch das zahlreiche Heer von Geometern, welche die Flächen zweiter Ordnung einer besonderen Betrachtung unterwarfen, viele andere hinzugefügt, und dank den Arbeiten so ausgezeichneter Gelehrter, wie J a c o b i,[^[126]]

M a c C u l l a g h (1809-1847),[^[127]] C h a s l e s,[^[128]] H e s s e,[^[129]] S e y d e w i t z (1807-1852),[^[130]] S c h r ö t e r[^[131]] konnte die Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung in den mehr elementaren

Unterricht eingeführt werden und methodisch auf analytischem sowohl wie synthetischem Wege behandelt werden.[^[132]]

Aber nach der Lehre von den Oberflächen zweiten Grades entstand und entwickelte sich alsbald die der Oberflächen höherer Ordnung. C h a s l e s[^[133]] und G e r g o n n e,[^[134]] als die ersten, entdeckten an diesen Gebilden wunderbare Eigenschaften. P o n c e l e t bestimmte die Klasse einer in ihrer Ordnung allgemeinen algebraischen Oberfläche[^[135]] und eröffnete so die Untersuchungen, welche zu den Beziehungen führen sollten, mit welchen S a l m o n[^[136]] und C a y l e y[^[137]] die Lösung der analogen Aufgabe zu derjenigen versuchten, welche P l ü c k e r durch seine berühmten Formeln gelöst hatte.

J a c o b i[^[138]] und später R e y e[^[139]] beschäftigten sich mit den Kurven und Gruppen von Punkten, die durch den Schnitt von algebraischen Oberflächen entstehen. C h a s l e s,[^[140]] C r e m o n a,[^[141]] R e y e,[^[139]] E s c h e r i c h,[^[142]] S c h u r,[^[143]] mit ihrer

Entstehung vermittelst projektiver oder reciproker Systeme von Oberflächen niederer Ordnung, G r a ß m a n n (1809-1877)[^[144]] mit anderen Erzeugungsweisen; S a l m o n,[^[145]] C l e b s c h,[^[146]] S t u r m,[^[147]] S c h u b e r t[^[148]] und andere behandelten eine wichtige Klasse von Aufgaben, welche sich auf Gerade beziehen, die mit einer gegebenen Oberfläche Berührungen von vorher bestimmter Ordnung haben; schließlich entdeckte S c h u r vor kurzem eine lineare Konstruktion[^[149]] für Flächen beliebiger Ordnung. Eine interessante Erweiterung der Polarentheorie der Oberflächen beliebiger Ordnung verdanken wir R e y e.[^[150]]

Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kürze halber stillschweigend übergehen muss, trotz der schönen Darlegungen, welche S a l m o n[^[151]] und C r e m o n a[^[152]] über sie gemacht haben, kann man doch nicht sagen, daß die Theorie der Oberflächen weit vorgeschritten sei. Die Fragen, die noch zu lösen bleiben, sind zahlreich und von fundamentaler Wichtigkeit, und die Mittel, die zur Überwindung der Schwierigkeiten, welche deren Lösung bietet, zur Verfügung stehen, sind noch nicht genügend vervollkommnet. Vielleicht ist das der Grund dafür, daß so viele Gelehrte sich zum Studium besonderer Flächen wandten, indem sie hofften, nicht nur auf diesem Felde eine reichlichere Ernte von Wahrheiten zu machen, sondern auch zu Untersuchungsmethoden zu gelangen, die der Verallgemeinerung fähig sind. — Und

daß ihre Erwartungen teilweise nicht getäuscht worden sind, das beweisen die zahlreichen Resultate, die man schon über die Oberflächen dritten Grades, sowie über einige von der vierten Ordnung erhalten hat, über welche es mir noch obliegt, Bericht zu erstatten.

Es ist allgemein bekannt, daß die beiden hervorragendsten Eigenschaften einer Fläche dritter Ordnung die sind, 27 Gerade zu enthalten, und ein Pentaeder zu besitzen, welches zu Ecken die Doppelpunkte und zu Kanten die Geraden der Hesseschen Fläche jener Oberfläche hat. England und Deutschland können sich um die Ehre, sie entdeckt zu haben, streiten. Wenn auch schon im Jahre 1849 C a y l e y und S a l m o n[^[153]] die Geraden einer kubischen Fläche bestimmt haben, und im Jahre 1851 S y l v e s t e r[^[154]] das Pentaeder entdeckte, so ist doch nicht minder wahr, daß S t e i n e r unabhängig von ihnen die Existenz jener und dieses in seiner berühmten Mitteilung, welche er der Berliner Akademie im Jahre 1853 machte, behauptet hat.[^[155]] Aber während die Studien der englischen Geometer fast gänzlich der Fortsetzung entbehren,[^[156]] steht die Arbeit von Steiner an der Spitze einer langen Reihe von Schriften, durch welche die Theorie der Oberflächen dritter Ordnung schnell einen ungehofften Grad der Vollendung erhielt. Indem ich die Abhandlungen von S c h r ö t e r,[^[157]] A u g u s t[^[158]] u. s. w., in welchen einige der von Steiner ausgesprochenen Sätze bewiesen werden, nur kurz erwähne, will ich mich darauf beschränken, die Aufmerksamkeit der Leser auf die mit Recht berühmten Schriften zu lenken, die von

C r e m o n a[^[159]] und v o n S t u r m[^[160]] über diese Oberflächen verfaßt und im Jahre 1866 von der Berliner Akademie mit dem Steiner-Preise gekrönt sind, Arbeiten, auf welche jeder zurückkommen muß, welcher sich mit diesen wichtigen geometrischen Gebilden vertraut machen will. Ich kann mich nicht aufhalten bei den verschiedenen Erzeugungsweisen einer Fläche dritter Ordnung, die G r a ß m a n n,[^[161]] A u g u s t,[^[162]] A f f o l t e r[^[163]] und P i q u e t[^[164]] den von Steiner angegebenen hinzugefügt haben, bei der Konstruktion dieser Flächen, welche L e P a i g e[^[165]] gegeben hat, bei den vielen Sätzen, die sich auf die Verteilung der Geraden, der dreifach berührenden Ebenen und die Kurven einer kubischen Fläche beziehen und welche vor kurzem von C r e m o n a,[^[166]] A f f o l t e r,[^[167]] v o n S t u r m[^[168]] und B e r t i n i[^[169]] entdeckt wurden, endlich bei den von C r e m o n a,[^[170]] C a p o r a l i,[^[171]] R e y e[^[172]] und B e l t r a m i[^[173]] studierten Eigenschaften gewisser Hexaeder, welche mit einer Fläche dritter Ordnung verknüpft sind, sowie bei den von Z e u t h e n[^[174]] betrachteten zwölf

vollständigen, in sie einbeschriebenen Pentaedern. Ich will noch anführen, daß eine Einteilung dieser Oberflächen, die auf die Betrachtung der 27 auf ihr gelegenen Geraden sich stützt, von S c h l ä f l i gemacht ist[^[175]] und eine neuere von R o d e n b e r g,[^[176]] die sich auf das Pentaeder gründet, daß ferner ein genaues und eingehendes Studium der Regelflächen dritten Grades (von denen eine von Cayley entdeckt wurde) den Gegenstand wertvoller Arbeiten C r e m o n a s,[^[177]] E m. W e y r s[^[178]] und B e n n o K l e i n s[^[179]] bildet, daß schließlich die sogenannte Diagonalfläche einen wichtigen Teil in einer Untersuchung von C l e b s c h über die Gleichungen fünftes Grades bildet[^[180]] und daß andere besondere Fälle von C a y l e y[^[181]] und E c k a r d t[^[182]] in einigen wertvollen Abhandlungen betrachtet wurden. Wenn ich dann noch gesagt habe, daß die Untersuchungen von S a l m o n,[^[183]] C l e b s c h,[^[184]] G o r d a n[^[185]] und d e P a o l i s[^[186]] die

geometrische Bedeutung für das Verschwinden der fundamentalen invarianten Formen der quaternären kubischen Form festgestellt haben, welche gleich Null gesetzt in homogenen Koordinaten eine Fläche dritter Ordnung darstellt, daß schließlich J o r d a n[^[187]] von Grund auf die Natur der Gleichung studiert hat, welche zur Bestimmung der Geraden einer kubischen Fläche dient, dann glaube ich dem Leser genug Momente an die Hand gegeben zu haben, um daraus den (von mir eben angedeuteten) Schluß zu ziehen, daß die Theorie dieser geometrischen Gebilde, von welchem Punkte man sie auch betrachten mag, heute einen beachtenswerten Grad der Vollendung erreicht hat.

Solches kann man jedoch nicht von der Theorie der Oberflächen v i e r t e n Grades behaupten, vielmehr sind von ihnen nur wenige Klassen genauer studiert; über jede derselben werde ich kurz sprechen. An die erste Stelle will ich die Developpabele vierter Klasse setzen, die zweien Flächen zweiten Grades umbeschrieben ist, und die geradlinigen Flächen vierten Grades; jene wurde von P o n c e l e t[^[188]] und C h a s l e s[^[189]] untersucht, diese von demselben Chasles,[^[190]] von C a y l e y[^[191]] und vollständiger von C r e m o n a.[^[192]]

Dann lasse ich die Oberflächen vierter Ordnung folgen, auf welchen Scharen von Kegelschnitten existieren und welche alle mit außerordentlichem Scharfsinne von K u m m e r[^[193]] bestimmt wurden. Unter diesen sind zwei besonderer Erwähnung wert, da sie das Objekt zahlreicher Untersuchungen gewesen sind: die Oberfläche vierter Ordnung mit einem Doppelkegelschnitt und die römische Fläche von Steiner.

Von der ersteren entdeckte K u m m e r im Jahre 1864 die bemerkenswerte Eigenschaft, daß die ihr doppelt

umgeschriebene Developpabele aus fünf Kegeln zweiter Ordnung besteht. Gleichzeitig fand M o u t a r d[^[194]] dieselbe Eigenschaft für den Fall, daß die Doppelkurve der Oberfläche der unendlich entfernte imaginäre Kugelkreis ist,[^[195]] und er bemerkte weiter gleichzeitig mit D a r b o u x,[^[196]] daß in diesem Falle die Oberfläche zu einem dreifachen Systeme von orthogonalen Oberflächen, gebildet von Flächen derselben Art, gehören kann. Von jener Zeit ab wurden die Oberflächen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve den unendlich entfernten imaginären Kugelkreis haben, wiederholt von D a r b o u x,[^[197]] von L a g u e r r e (1834-1886)[^[198]] und von C a s e y[^[199]] studiert; hingegen diejenigen, welche als Doppelkurve einen beliebigen Kegelschnitt besitzen, von C r e m o n a,[^[200]] G e i s e r,[^[201]] S t u r m,[^[202]] Z e u t h e n,[^[203]] von C l e b s c h,[^[204]] K o r n d ö r f e r,[^[205]] B e r z o l a r i[^[206]] und D o m s c h[^[207]] — welcher auf sie die hyperelliptischen Funktionen anwandte — und diejenigen, welche einen Kuspidalkegelschnitt haben, von T ö t ö s s y.[^[208]] Was die Klassifikation dieser Oberflächen betrifft, so möge

es mir gestattet sein, meinen Namen anzuführen[^[209]] neben dem meines teuern Freundes S e g r e.[^[210]]

Die römische Fläche von Steiner hat wiederholt die Aufmerksamkeit der Geometer auf sich gezogen und zwar vorzüglich zweier Eigenschaften wegen; die eine derselben, nämlich von jeder Tangentialebene in zwei Kegelschnitten getroffen zu werden, wurde besonders von den Synthetikern betrachtet, die andere, dass die homogenen Koordinaten ihrer Punkte sich als ganz allgemeine ternäre quadratische Formen darstellen lassen,[^[211]] wurde mehr von den analytischen Geometern verwertet. Wer Lust hat, alle Eigenschaften, die sie besitzt, kennen zu lernen,[^[212]] wird dieselben in den synthetischen Abhandlungen von C r e m o n a,[^[213]] S c h r ö t e r[^[214]] und S t u r m,[^[215]] auf den Seiten, welche R e y e ihr in seiner

Geometrie der Lage (2. Bd.) gewidmet hat, und in den analytischen Abhandlungen von C a y l e y,[^[216]] B e l t r a m i,[^[217]] C l e b s c h,[^[218]] E c k a r d t,[^[219]] L a g u e r r e[^[220]] und G e r b a l d i[^[221]] finden.

K u m m e r verdanken wir auch die Kenntnis einer anderen wichtigen Klasse von Flächen vierter Ordnung; dieselbe besteht aus Oberflächen, die nicht singuläre Linien enthalten, sondern nur singuläre Punkte.[^[222]] Wir werden in kurzem (§ VII) sehen, welche Untersuchungen Kummer zu diesen Oberflächen geführt haben; für jetzt genüge es, hervorzuheben, dass die interessanteste unter ihnen (welche man heute die Kummersche Oberfläche nennt) 16 singuläre Doppelpunkte und 16 singuläre Tangentialebenen hat und daß Specialfälle derselben die Wellenfläche von F r e s n e l[^[223]] und das von C a y l e y 1846 untersuchte Tetraedroid[^[224]] sind. Eine solche Oberfläche ist zu sich selbst dual.[^[225]] Ihre

asymptotischen Kurven wurden von K l e i n und L i e bestimmt[^[226]] und R e y e[^[227]] zeigte, daß jede die Grundkurve eine Büschels von Oberflächen vierter Ordnung ist; zwischen ihnen und den Thetafunktionen existiert eine innige Beziehung, welche C a y l e y und B o r c h a r d t (1817-1880)[^[228]] entdeckt haben und die H. W e b e r[^[229]] zusammen mit anderen entwickelt hat;[^[230]] die algebraischen Fragen, welche sich an die Bestimmung ihrer Singularitäten knüpfen, wurden von J o r d a n[^[231]] gelöst; endlich kann man dieselbe, wie R o h n[^[232]] es gethan hat, vermittelst der Theorie der hyperelliptischen Funktionen[^[233]] behandeln.

Indem ich die Oberflächen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve einen in zwei getrennte oder zusammenfallende Gerade degenerierten Kegelschnitt haben und andere, mit denen Cayley[^[234]] sich beschäftigt hat, übergehe, will ich noch die Monoide erwähnen,[^[235]] die von R o h n studiert sind,[^[236]] und

diejenigen Flächen, welche, ohne geradlinig zu sein, eine gewisse Anzahl von Geraden enthalten. Dieselben sind der Ort der Punkte, in welchen vier entsprechende Ebenen von vier kollinearen Räumen sich schneiden; C h a s l e s hat ihre Ordnung bestimmt und S c h u r eine Menge eleganter Eigenschaften derselben gefunden.[^[237]]

Ich will diesen Abschnitt meiner Musterung beschließen, indem ich noch einige Oberflächen von höherer als der vierten Ordnung anführe, welche die Gelehrten schon beschäftigten. Zuerst verdienen die geradlinigen Oberflächen erwähnt zu werden, welche im allgemeinen von C h a s l e s,[^[238]] S a l m o n,[^[239]] C a y l e y,[^[240]] von P l ü c k e r,[^[241]] L a G o u r n e r i e (1814-1883),[^[242]] V o s s[^[243]] und im besonderen von C h a s l e s,[^[244]] C r e m o n a,[^[244]] S c h w a r z,[^[245]] L a G o u r n e r i e[^[246]] (Regelflächen, die in bezug auf ein Tetraeder symmetrisch sind), von

C l e b s c h,[^[247]] A r m e n a n t e[^[248]] (rationale und elliptische Regelflächen), von E m. W e y r[^[249]] (Regelflächen, erzeugt durch die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier gerader Punktreihen in der Korrespondenz [m, n]), von E d. W e y r[^[250]] (Oberflächen, erzeugt durch die Bewegung eines variabelen Kegelschnittes), von E c k a r d t[^[251]] und C h i z z o n i[^[252]] (Regelflächen, erzeugt durch die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier ebener projektiv bezogener Kurven). Dann folgen solche, die, wenn sie auch nicht Regelflächen sind, doch Gerade enthalten und die von S t u r m[^[253]] und A f f o l t e r[^[254]] untersucht sind, ferner die algebraischen Minimalflächen, bei welchen G e i s e r[^[255]] und L i e[^[256]] bemerkenswerte Eigentümlichkeiten fanden. Dann will ich noch einige Flächen nennen, die aus einer Oberfläche zweiten Grades abgeleitet sind (Ort der Krümmungscentren; Fusspunktflächen, Aspidalflächen etc.), sowie die Örter der Spitzen der Kegel zweiten Grades, die m Gerade berühren und durch (6-m) Punkte gehen, welche Flächen eingehend von C h a s l e s,[^[257]] L ü r o t h,[^[258]] H i e r h o l z e r[^[259]] und von C a y l e y[^[260]] studiert wurden, da sie zur Auflösung gewisser Probleme aus der Theorie der Charakteristiken der einfach unendlichen Systeme von Kegeln zweiter Ordnung dienten; schließlich diejenigen, welche unendlich viele lineare

Transformationen zulassen, die kontinuierlich aufeinander folgen;[^[261]] diejenigen, welche die eigenen reziproken Polaren in bezug auf unendlich viele Flächen zweiten Grades sind,[^[262]] diejenigen, welche durch reciproke Cremonasche Systeme erzeugt werden,[^[263]] und diejenigen, welche dieselben Symmetrie-Ebenen wie ein reguläres Polyeder besitzen.[^[264]]

Die Untersuchungen über die Oberflächen, mit denen wir uns bis jetzt beschäftigt haben, behandeln Eigenschaften, welche vermittelst einer wohl bekannten Betrachtungsweise auf das Gebiet der projektiven Geometrie zurückgeführt sind oder sich darauf zurückführen lassen. Es giebt aber noch viele andere Untersuchungen, welche Eigenschaften von ganz anderer Art behandeln, die größtenteils auf keine Weise sich als projektiv betrachten lassen, da die Gruppe der Transformationen, die zu ihnen gehört, nicht die der projektiven Geometrie ist.[^[265]] Diese bilden zusammen mit den Studien, die sich auf die Infinitesimaleigenschaften der Raumkurven beziehen (über welche wir einiges im folgenden Paragraphen sagen werden), einen sehr wichtigen Zweig der Geometrie für sich sowohl, als auch wegen der Anwendungen, welche man von ihnen in der Geodäsie und der mathematischen Physik machen kann; man kennt ihn unter dem Namen der Differentialgeometrie. Über die wesentlichen Punkte derselben wollen wir nun einiges sagen. Und da man den Ursprung dieses Teiles der Geometrie von dem Erscheinen der Application de l'Analyse à la Géométrie[^[266]]

von M o n g e datieren kann, und das spätere Werk, welches von grösserem Einflüsse war, das von G a u ß (1777-1855) ist, welches den Titel trägt: Disquisitiones generales circa superficies curvas,[^[267]] so nehmen wir in unserer kurzen Darlegung die von Monge und Gauß angenommene Einteilung des Stoffes als Anhalt, indem wir zuerst besprechen, was diese selbst in Hinsicht auf die von ihnen behandelten Gegenstände geleistet haben, und dann vorführen, was ihre Nachfolger hinzugefügt haben.

Der erste Paragraph des Mongeschen Werkes bietet kein besonderes Interesse, da er nur die Bestimmung der Berührungsebenen und Normalen einer Oberfläche zum Zwecke hat; er kann also als Einleitung betrachtet werden. Die vier folgenden Paragraphen behandeln cylindrische Oberflächen, Kegel- und Rotationsflächen und solche, welche (um einen modernen Ausdruck zu gebrauchen) in einer linearen Kongruenz mit einer unendlich fernen Leitgeraden enthalten sind. Höchst bemerkenswert ist der folgende Paragraph, indem Monge dort bei der Besprechung der Enveloppen den wichtigen Begriff der Charakteristik und der Rückkehrkurve (arête de rebroussement) einer Enveloppe eingeführt hat; an diesen Paragraphen schließen sich die drei folgenden enge an; sie behandeln Röhrenflächen mit ebener Leitlinie (§ 7), Flächen, die als Linien größter Neigung gegen eine gegebene Ebene Gerade von konstanter Neigung haben (§ 8), und schließlich Enveloppen einer Oberfläche, die sich unter der Bedingung bewegt, daß ein mit ihr unveränderlich verbundener Punkt eine gegebene Kurve durchläuft (§ 9).[^[268]] — Von da ab beginnt die Theorie der partiellen

Differentialgleichungen die wichtige Rolle zu spielen, die Monge ihr in der analytischen Geometrie zugewiesen hat; von diesem Punkte an zeigt es sich, daß es in vielen Fällen für die Bestimmung der Natur einer Oberfläche nützlicher und bequemer ist, eine Differentialgleichung für sie zu haben, als eine solche in endlichen Ausdrücken. Beispiele hierfür bieten die Flächen, die in einem speziellen linearen Komplexe enthalten sind mit einer unendlich fernen oder endlichen Axe (von Monge im § 10 und § 11 behandelt), fernere Beispiele die abwickelbaren Flächen (§ 12), andere die im § 9 beschriebenen, andere schließlich die Örter beweglicher Kurven, von welchen ein Punkt eine feste Kurve durchläuft (§ 14).[^[269]] — Die Theorie der Krümmung einer Oberfläche in einem Punkte,[^[270]] sowie das Studium der Verteilung der Normalen derselben Fläche[^[271]] führen zu einer neuen Art von Flächen, die der Betrachtung wert sind; jene und diese finden sich im § 15, der sicherlich einer der wichtigsten des Mongeschen Werkes ist. Der Spezialfall des Ellipsoides ist im § 16 behandelt, derselbe enthält die Bestimmung der Krümmungslinien dieser Fläche.[^[272]] — Groß an Zahl und von großer Wichtigkeit sind die Fragen, zu denen die Theorie der Krümmung Anlaß giebt. Man kann z. B. die Oberflächen untersuchen, bei denen der eine Krümmungsradius für jeden Punkt denselben Wert hat; Monge fand (§ 18), daß dieselben von einer Fläche von konstanter Form eingehüllt werden, die sich in der

vorhin (in den §§ 9 und 13) angegebenen Weise bewegt. Man kann dagegen auch voraussetzen, daß in jedem Punkte die beiden Krümmungsradien gleich und von gleichem Sinne seien: die Oberfläche ist dann eine Kugel. Wenn dagegen die beiden Krümmungsradien in jedem Punkte gleich, aber von entgegengesetztem Sinne sind, so ist die Fläche eine Minimalfläche.[^[273]] Oder es sei in jedem Punkte einer der Krümmungsradien gleich groß (§ 21).[^[274]]

An die Theorie der Krümmung schließen sich dann die Studien über die Röhrenflächen mit beliebiger Leitkurve (§§ 22 und 26) und über diejenigen Flächen, bei welchen alle Normalen eine gegebene Kugel (§ 23), einen gegebenen Kegel (§ 24) oder eine gegebene Developpabele (§ 25) berühren. — Für einige dieser Flächenfamilien hat Monge die Konstruktion angegeben, für alle die Gleichungen, sei es die Differentialgleichungen oder die endlichen, und, da er sich das Problem gestellt und gelöst hat, von jenen zu diesen zu gelangen, so verdient denn sein grosses Werk, daß es auch von denen, welche sich mit der Analysis des Unendlichen beschäftigen, eingehend studiert werde.

Kurz nach dem Erscheinen des Werkes von Monge wurde die Differentialgeometrie durch eine höchst wichtige Arbeit bereichert, die Developpements de Géométrie von C h. D u p i n (1813). In derselben wird unter anderem der Begriff der konjugierten Tangenten eines Punktes einer Oberfläche und der der Indikatrix eingeführt; dort sind die asymptotischen Linien (Haupttangentenkurven)[^[275]] untersucht, und

der berühmte Satz bewiesen, der unter dem Namen des Dupinschen Theorems allgemein bekannt ist.

Als Fortsetzung des Mongeschen Werkes kann man die zahlreichen Untersuchungen über Flächen mit ebenen oder sphärischen Krümmungslinien ansehen, die man D u p i n,[^[276]] A l f r e d S e r r e t (1819-1885),[^[277]] O. B o n n e t,[^[278]] D i n i,[^[279]] E n n e p e r (1830-1885),[^[280]] D a r b o u x,[^[281]] P i c a r t,[^[282]] L e c o r n u,[^[283]] D o b r i n e r,[^[284]] V o r e t s c h[^[285]] und anderen verdankt.

Von derselben Art, aber von größerer Allgemeinheit sind die wichtigen Untersuchungen von W e i n g a r t e n über solche Oberflächen, bei denen in jedem Punkte der eine Krümmungsradius eine Funktion des anderen ist,[^[286]] welche Untersuchungen D i n i (a. O.), B e l t r a m i[^[287]] und L i e[^[288]] zur Bestimmung der windschiefen Oberflächen mit derselben Eigenschaft geführt haben. Dasselbe kann man von den Untersuchungen sagen, welche man ebenfalls W e i n g a r t e n verdankt[^[289]] und die sich auf Oberflächen beziehen, deren Normalen eine andere vorgelegte Oberfläche berühren. — Dem § 20 des Mongeschen Werkes können wir die

zahlreichen Abhandlungen anschließen, welche die Minimalflächen behandeln. Wir führen zunächst die von S t e i n e r[^[290]] und W e i e r s t r a ß[^[291]] an, die sich mit der allgemeinen Theorie befassen, dann die von S c h e r k[^[292]] und B o n n e t,[^[293]] welche einige Spezialfälle derselben bearbeitet haben; S e r r e t[^[294]] beschäftigte sich dann mit solchen, die durch zwei Gerade hindurch gehen, R i e m a n n[^[295]] und W e i e r s t r a ß[^[296]] mit solchen, die einen gegebenen Umriß haben, G e i s e r[^[297]] mit algebraischen, N o e v i u s[^[298]] mit solchen periodischen, welche unendlich viele Geraden und unendlich viele ebene geodätische Linien besitzen; C a t a l a n[^[299]] mit solchen, die als geodätische Linie eine Parabel haben, H e n n e b e r g[^[300]] mit denen, welche eine semikubische Parabel als geodätische Linie haben; B o n n e t[^[301]] untersuchte solche, auf welchen sich eine Schar von ebenen Krümmungslinien befindet; B o u r[^[302]] diejenigen, welche auf eine Rotationsfläche sich abwickeln lassen; S c h w a r z solche, die durch ein windschiefes Vierseit bestimmt sind[^[303]] oder die von Kegeln eingehüllt sind,[^[304]] und solche, die ohne algebraisch zu sein, doch algebraische Kurven enthalten;[^[305]]

E n n e p e r[^[306]] untersuchte diejenigen, welche unendlich viele Kreise enthalten, u. s. w. Andere Fragen wurden von M a t h e t[^[307]] behandelt, von B e l t r a m i,[^[308]] von L i e,[^[309]] K i e p e r t,[^[310]] H e n n e b e r g,[^[311]] R i b a u c o u r,[^[312]] B i a n c h i[^[313]] und P i n c h e r l e.[^[314]] Schließlich ist die Theorie der Minimalflächen einer bemerkenswerten Erweiterung fähig, die von L i p s c h i t z[^[315]] entdeckt wurde.

Wir gehen jetzt dazu über, kurz auseinander zu setzen, welches die hervorragenderen Stellen des zweiten Werkes sind, dem wir, wie schon gesagt, die wichtigsten Lehren der Differentialgeometrie verdanken, der Disquisitiones generales circa superficies curvas von G a u ß.

Schon zu Ende des ersten Paragraphen derselben finden wir einen höchst wichtigen Begriff, nämlich den der sphärischen Abbildung einer Oberfläche, dessen Fruchtbarkeit vielfache Anwendungen, die von ihm gemacht sind, dargethan haben. Kurz darauf (§ IV) treffen wir die zwei unabhängigen Veränderlichen, vermittelst derer man die Koordinaten der Punkte einer Oberfläche ausdrückt, d. h. die krummlinigen Koordinaten auf einer Oberfläche. (Vgl. auch die §§ XVII und XIX). Dann enthält § VI die Erweiterung der Betrachtung, die man gewöhnlich zur Grundlage der Theorie der Krümmung der ebenen und unebenen Kurven nimmt, auf den Raum, aus welcher Erweiterung der Begriff des Krümmungsmaßes einer Oberfläche in einem

gewöhnlichen Punkte hervorgegangen ist.[^[316]] Bekanntlich ist dasselbe gleich dem Produkte aus den beiden Hauptkrümmungsradien der Fläche in jenem Punkte[^[317]] (§ VIII). Das Krümmungsmaß einer Oberfläche kann man sowohl durch die gewöhnlichen kartesischen Koordinaten (§§ VII und IX) als auch durch die krummlinigen Koordinaten der Oberfläche ausdrücken (§§ X und XI).[^[318]]

Bei der Untersuchung dieses letzteren Ausdruckes bieten sich die Coefficienten E, F, G des Ausdruckes des Kurvenelementes dar, deren Bedeutung in der Theorie der Oberflächen, die auf eine andere abwickelbar sind[^[319]] (§ XII), Gauß zuerst hervorgehoben hat. Dabei stellte er eine neue Betrachtungsweise der Oberflächen auf (§ XIII), indem er dieselben als unendlich dünne, biegsame und unausdehnbare Körper ansah. Die folgenden Paragraphen der Abhandlung von Gauß behandeln die geodätischen Linien und haben die Bestimmung ihrer Differentialgleichungen zum Zwecke (§ XIV und XVIII), dann die Übertragung der Polarkoordinaten, des Kreises (§ XV), der Parallelkurven (§§ XVI), auf die Geometrie auf einer Oberfläche, sowie die Berechnung der totalen Krümmung eines geodätischen Dreiecks (§ XX). Die §§ XXI und XXII beziehen sich auf die Transformation des Ausdruckes für das Kurvenelement, die übrigen behandeln andere Fragen aus der Geodäsie und dürften daher unsere Aufmerksamkeit nicht auf sich ziehen.

Schon aus diesen flüchtigen Andeutungen ersieht man, wie reich an fundamentalen Begriffen die Abhandlung von Gauß ist. Die Entwickelungen, die sie gehabt, und die vielen Arbeiten, welche sie hervorgerufen, und von denen wir noch kurz zu sprechen haben, werden ihre Bedeutung noch klarer machen. Unter diesen Arbeiten muß man den schönen Ricerche di analisi applicata alla geometria, die B e l t r a m i im zweiten und dritten Bande des Giornale di Matematiche veröffentlicht hat, eine hervorragende Stelle einräumen, dann den Abhandlungen von demselben Verfasser Dalle variabili complesse su una superficie qualunque,[^[320]] Teoria generale dei parametri differenziali[^[321]] und Zur Theorie des Krümmungsmasses.[^[322]] Bemerkenswert sind ferner die Studien von B o n n e t[^[323]] und von D a r b o u x[^[324]] über die sphärische Abbildung der Oberflächen, die sich an die ersten in den Disquisitiones enthaltenen Untersuchungen anknüpfen. Der Begriff der Krümmung führte zum Studium der Oberflächen mit konstanter (positiver oder negativer) Krümmung, dem so viele ausgezeichnete Geometer ihre Kräfte gewidmet haben. Unter diesen führen wir die zwei Arbeiten von B e l t r a m i an: Risoluzione del problema. Riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le geodetiche vengano rappresentate da linee rette[^[325]] und Saggio di una interpretazione della Geometria non-euclidea,[^[326]] dann die Schriften von D i n i,[^[327]] L i e,[^[328]]

B i a n c h i,[^[329]] B ä k l u n d,[^[330]] D a r b o u x[^[331]] und D o b r i n e r.[^[332]] Von derselben Art, aber allgemeiner, sind die Studien von C h r i s t o f f e l[^[333]] über die Bestimmung der Gestalt einer Oberfläche mit Hilfe von auf ihr selbst genommenen Maßen und von L i p s c h i t z[^[334]] über die Oberflächen, welche bestimmte auf die Krümmung bezügliche Eigenschaften haben, oder bei welchen der Ausdruck des Kurvenelements von vornherein festgesetzt ist.

An den Abschnitt der Gaußischen Abhandlung, welcher die geodätischen Linien behandelt, knüpfen sich einige Arbeiten von J o a c h i m s t h a l (1818-1861),[^[335]] S c h e r i n g,[^[336]] B e l t r a m i,[^[337]] die von L i e[^[338]] gemachte Einteilung der Oberflächen auf Grund der Transformationsgruppen ihrer geodätischen Linien und die Untersuchungen über geodätische Kurven von demselben Verfasser.[^[339]] Mit demjenigen Abschnitte, welcher sich auf die Abwickelbarkeit der Oberflächen bezieht, steht eine wichtige Arbeit von M i n d i n g in enger Beziehung,[^[340]] in der zum ersten Male die Frage aufgestellt ist, ob die Gleichheit der Krümmung in entsprechenden Punkten eine hinreichende Bedingung für die Abwickelbarkeit zweier Oberflächen sei: er gelangte für den allgemeinen Fall zu einem negativen Resultate, zu einem

positiven dagegen für den Fall konstanter Krümmung. Dasselbe gilt von den Arbeiten von B o u r[^[341]] (1832-1866), C o d a z z i[^[342]] und B o n n e t,[^[343]] welche für preiswürdige Antworten auf die im Jahre 1861 von der Pariser Akademie der Wissenschaften gestellte Frage erkannt worden sind. Derselbe Gegenstand oder verwandte Gegenstände wurden dann in den Abhandlungen von C h r i s t o f f e l,[^[344]] v o n M a n g o l d t,[^[345]] W e i n g a r t e n,[^[346]] B r i l l,[^[347]] M i n d i n g,[^[348]] J e l l e t,[^[349]] D i n i,[^[350]] E n n e p e r,[^[351]] R a z z a b o n i,[^[352]] L e c o r n u,[^[353]] B e l t r a m i[^[354]] und vielen anderen behandelt.

Die schöne von Gauß gegründete Theorie der krummlinigen Koordinaten einer Oberfläche ließ den Wunsch entstehen, eine analoge Theorie für den Raum zu haben. Schon im Jahre 1837 stellte L a m é sie für einen Spezialfall auf, nämlich für den der elliptischen Koordinaten,[^[355]] später wies er auf die orthogonalen krummlinigen Koordinaten

hin[^[356]] und konstruierte dann die Theorie derselben,[^[357]] ohne ihre Anwendung[^[358]] und Entwickelung[^[359]] zu vernachlässigen. Die berühmten Leçons sur la théorie des coordonnées curvilignes et leurs diverses applications (Paris, 1859) von L a m é fassen zusammen und vervollständigen die glänzenden Resultate, die von Lamé in diesem Zweige der Geometrie erhalten waren. In der Folge haben sich viele andere mit demselben beschäftigt. Vor allen führe ich A o u s t an, der ihm viele und wichtige Arbeiten widmete,[^[360]] dann B r i o s c h i,[^[361]] C o d a z z i,[^[362]] C h e l i n i (1802-1878),[^[363]] D a r b o u x,[^[364]] C o m b e s c u r e,[^[365]] L e v y,[^[366]] R o y e r[^[367]] und noch andere. Hierzu sehe man noch die Schriften, welche dreifache Systeme orthogonaler Oberflächen behandeln und von denen ich nur diejenigen von B o u q u e t,[^[368]] A. S e r r e t,[^[369]] B o n n e t,[^[370]] C a t a l a n,[^[371]] M o u t a r d,[^[372]] D a r b o u x,[^[373]] C a y l e y,[^[374]] R i b a u c o u r,[^[375]]

W e i n g a r t e n,[^[376]] S c h l ä f l i,[^[377]] H o p p e,[^[378]] B i a n c h i[^[379]] und M o l i n s[^[380]] nennen will.

Von den Arbeiten, welche spezielle Oberflächen behandeln, die nicht zu bis jetzt besprochenen Kategorien gehören, führen wir die von L i e[^[381]] an, welche sich auf Oberflächen beziehen, die infinitesimale lineare Transformationen in sich selbst zulassen; dann die von E n n e p e r,[^[382]] die sich auf Oberflächen mit speziellen Meridiankurven beziehen, ferner die von C a y l e y[^[383]] und W e i n g a r t e n[^[384]] und die von W i l l g r o d[^[385]] über Oberflächen, welche durch ihre Krümmungslinien in unendlich kleine Quadrate geteilt werden; schließlich die von B i a n c h i[^[386]] über Schraubenflächen.

Ein bemerkenswerter Fortschritt in der analytischen Infinitesimalgeometrie der Oberflächen wurde durch die Bemühungen d e S a l v e r t s geschaffen, der in einigen eleganten Arbeiten,[^[387]] wahrscheinlich hervorgerufen durch die schönen Vorlesungen über die analytische Geometrie des Raumes von H e s s e, zeigte, wie man durch Benutzung der Gleichung einer Oberfläche in ihrer allgemeineren Form, f(x, y, z) = 0, ein bei weitem bequemeres System von Formeln für die Lösung gewisser Probleme aufstellen konnte, als wenn die Gleichung z = φ(x, y) zu Grunde gelegt wird.

Über Differentialgeometrie existieren noch einige gute Darlegungen. Eine verdankt man H o p p e; sie trägt den Titel: Elemente der Flächentheorie; eine andere wurde von B r i s s e unternommen;[^[388]] die neuesten sind die von B i a n c h i in seinen sehr schönen Lezioni di geometria differenziale (Pisa, 1886) und die, welche D a r b o u x in seinen Leçons sur la théorie générale des surfaces begonnen hat, von denen wir schon den ersten Teil besitzen (Paris, 1887).

Wir wollen diesen Abschnitt beschließen, indem wir noch bemerken, daß die Zuhilfenahme der Analysis für das Studium der Infinitesimalgeometrie nicht notwendig ist; vielmehr haben B e r t r a n d[^[389]] und B o n n e t[^[390]] zuerst gezeigt, welchen Nutzen man bei diesen Studien auch aus synthetischen Betrachtungen ziehen kann. Außerdem enthalten der erste Band des Traité de calcul différential et intégral von B e r t r a n d und der Traité de géométrie descriptive von d e l a G o u r n e r i e[^[391]] und eine große Zahl von überaus schönen Abhandlungen von M a n n h e i m[^[392]] bemerkenswerte geometrische Untersuchungen, welche dem Zweige der Wissenschaft des Raumes, mit dem wir uns eben beschäftigt haben, angehören.

IV.

Untersuchungen über die Gestalt der Kurven
und Oberflächen. Abzählende Geometrie.

———

Bei der Besprechung der bedeutenderen Fortschritte, welche die Theorie der Kurven und die der Oberflächen gemacht, haben wir zwei wichtige Kategorien der Untersuchung übergangen, weil wir dieselben besser in einem besonderen Abschnitte unserer Arbeit zusammenfassen können.

Die erstere umfaßt eine Reihe von Studien besonderer Natur und hat zum Zwecke die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven und Oberflächen von gegebener Ordnung annehmen können, und ich halte es für angemessen, bei diesen eine Zeit lang zu verweilen.

Die Bestimmung der Gestalt der Kurven z w e i t e r Ordnung reicht schon in das Altertum. Für dieselbe bedurfte es auch nicht eines hervorragenden Geistes, wenn man bedenkt, daß die Alten jene Kurven als Schnitte eines Kreiskegels betrachteten.

Dagegen ist die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven d r i t t e r Ordnung annehmen können, nicht ohne Schwierigkeit. N e w t o n überwand diese, indem er lehrte, daß alle Kurven dritter Ordnung durch Projektion von fünfen derselben, welche er divergierende Parabeln nannte, erhalten werden können.[^[393]] Zu dieser ersten Einteilung der Formen

der Kurven dritter Ordnung fügte C h a s l e s[^[394]] eine weitere hinzu, die, obwohl sie auf einem ganz anderen Gedanken beruhte, mit der von Newton eine nicht zu verkennende Analogie bietet. Nach ihr kann man die Formen der Kurven dritter Ordnung sämtlich auffinden durch Projektion von fünfen derselben, die symmetrisch in bezug auf ein Zentrum sind. Eine dritte Methode der Einteilung endlich stützt sich auf das konstante Doppelverhältnis der vier Tangenten, die man an die allgemeine Kurve dritter Ordnung von einem ihrer Punkte aus ziehen kann; diese wurde von D u r è g e entwickelt.[^[395]]

Bei weitem grössere Schwierigkeit bietet das Studium der Gestalt der ebenen Kurven v i e r t e r Ordnung, die schon angeführten Arbeiten von B r a g e l o g n e, E u l e r und P l ü c k e r bilden hierzu einen wichtigen Beitrag. Es scheint aber nicht, daß man diese — dasselbe gilt auch von den schon genannten auf die kubische Kurve bezüglichen — als die Grundlage zu einer allgemeinen Theorie der Gestalt der ebenen Kurven ansehen darf; vielmehr muß man dieselben als die ersten Vorläufer jener Lehren betrachten, die man heute als eine feste Grundlage dieser Theorie ansieht. Solche Lehren gehören in das Gebiet der synthetischen Geometrie, zum Teil aber waren sie das Resultat der Anwendung der Abelschen Funktionen auf die Wissenschaft der Ausdehnung. Von den ersteren wurden einige von S t a u d t in seiner Geometrie der Lage[^[396]] auseinandergesetzt und beziehen sich auf die Gestalten der ebenen Polygone und der Polyeder, die paaren und die unpaaren Züge der Kurven, die Rückkehrelemente der Figuren; andere wurden von T a i t[^[397]] angegeben und von J. M e y e r entwickelt,[^[398]] andere schließlich von H a r t angedeutet[^[399]] und mit vielem Glücke von E. K ö t t e r verallgemeinert.[^[400]] Die zweiten sind fast alle aus der Schule von K l e i n hervorgegangen. Da ich auf die vielen Einzelheiten dieses Gegenstandes nicht eingehen kann, so möge es hier genügen, unter den schon erhaltenen Resultaten einige besondere Sätze über die Kurve vierter Ordnung anzuführen, die man Z e u t h e n[^[401]] und C r o n e[^[402]] verdankt; dann

eine sehr wichtige Relation zwischen den Zahlen der reellen und imaginären Singularitäten einer ebenen Kurve, zu welcher K l e i n geführt wurde,[^[403]] als er die von P l ü c k e r[^[404]] und Z e u t h e n vorgeschlagenen Klassifikationen der Kurven vierter Ordnung studierte; ferner einen sehr schönen Lehrsatz,[^[405]] von H a r n a c k (1851-1888) entdeckt, welcher dadurch, daß er eine unerwartete Beziehung zwischen der Form einer Kurve und ihrem Geschlechte enthüllte, die Wichtigkeit des letzteren von neuem bestätigte.

Wenn so die Theorie der Gestaltlichkeit der ebenen Kurven noch weit entfernt vom Zustand der Reife ist, so kann man von den analogen Untersuchungen über die Oberflächen sagen, daß sie sich noch in ihrer Kindheit befinden. Allgemeine Untersuchungen auf diesem Felde existieren meines Wissens nicht, außer denjenigen, die von M ö b i u s in seiner Theorie der elementaren Verwandtschaften niedergelegt sind,[^[406]] und welche, so scharfsinnig und interessant sie auch sind, einen geschickten Nachfolger erwarten lassen, welcher die ganze Fülle derselben zu Tage fördert. Dasselbe gilt für gewisse originelle Gesichtspunkte, die in den vielen Arbeiten von K l e i n zerstreut sind. Für den Fortschritt der Geometrie würde es von höchstem Interesse sein, beide weiter entwickelt zu sehen; unglücklicherweise wird aber diese Theorie wenig betrieben, in den letzten Jahren ist vielleicht Rohn[^[407]] der einzige, der hierin einige Fortschritte gemacht hat, die wert sind, verzeichnet zu werden.

Wenn auch die allgemeine Theorie ein bis jetzt noch unbefriedigtes Bedürfnis ist, so fehlt es doch nicht an Spezialuntersuchungen. Die Bestimmung der Gestalt der Oberflächen zweiten Grades übergehe ich als zu einfach und führe die der Oberflächen dritter Ordnung an, die mit Erfolg von K l e i n,[^[408]] S c h l ä f l i,[^[409]] Z e u t h e n[^[410]] gemacht ist, und neuerdings von B a u e r durch die Untersuchung der Gestalt der parabolischen Kurve vervollständigt wurde;[^[411]] ferner die der Dupinschen Cykliden, die wir M a x w e l l[^[412]] verdanken; dann die der Oberflächen vierter Ordnung mit Doppelkegelschnitt, die ebenfalls von Z e u t h e n[^[413]] herrührt; die der Oberflächen vierter Ordnung mit Cuspidalkegelschnitt, die von C r o n e[^[414]] ausgeführt ist; endlich die der Kummerschen Flächen und der Kegelflächen viertes Grades, welche der Gegenstand wichtiger Untersuchungen von R o h n[^[415]] gewesen sind. Die reichhaltige Sammlung von Modellen von L u d w i g B r i l l, die sich jedes Jahr um neue und interessante Serien vermehrt, zeigt das Interesse, welches das gelehrte Deutschland für vorliegende Untersuchungen hat.[^[416]]

Was die Gestalt der Kurven d o p p e l t e r Krümmung angeht, so existieren darüber bis jetzt noch keine allgemeinen Untersuchungen von Bedeutung; man kann sagen, daß sich dieselben auf die Beobachtungen beschränken, die C h r. W i e n e r[^[417]]

und B j ö r l i n g[^[418]] gemacht haben, indem sie die Modelle der gewöhnlichen Singularitäten einer Raumkurve konstruierten.

Eine zahllose Reihe wichtiger Untersuchungen hat die Bestimmung der Anzahl der geometrischen Gebilde zum Ziele, welche Bedingungen genügen, die hinreichen, eine endliche Zahl derselben festzulegen. Der B é z o u t sche Lehrsatz, welcher die Zahl der Lösungen eines bestimmten Systems von algebraischen Gleichungen angiebt, ist fast immer nicht verwendbar für die Lösung solcher Fragen, da, während dieser Satz auf allgemeine Gleichungen ihres Grades sich stützt, die Gleichungen, welche man bei dem Versuche, diese Probleme analytisch zu lösen, erhält, von spezieller Form sind. Wahrscheinlich ist das der Grund dafür, daß diese Probleme größtenteils bis in verhältnismäßig neuerer Zeit ungelöst geblieben sind.[^[419]]

Auf C h a s l e s fällt der Ruhm, in seiner Methode der Charakteristiken ein feines und mächtiges Hilfsmittel gefunden zu haben (1864), mit dem er eine große Zahl von Problemen der angedeuteten Art für den Fall, daß die betrachteten Gebilde Kegelschnitte in einer Ebene sind, lösen konnte und einen Weg bahnte, um auch in dem Falle, wo die

Gebilde beliebige sind, zur Lösung derselben zu gelangen.[^[420]] Der Hauptgedanke desselben war die fortwährende Betrachtung der ausgearteten Kurven und der systematische Gebrauch der Charakteristiken eines einfach-unendlichen Systemes von Kegelschnitten, d. h. der Zahlen, die angeben, wie viele Kegelschnitte des Systemes durch einen gegebenen Punkt gehen, wie viele eine gegebene Gerade berühren.

Dadurch, daß man diese Begriffe weiter ausdehnte, konnte man Hilfsmittel erhalten, die auf andere Figuren anwendbar sind. C h a s l e s selbst entdeckte alsbald die Anwendung seiner Untersuchungen auf die Kegelschnitte im Raume[^[421]] und auf die Flächen zweiter Ordnung.[^[422]] Z e u t h e n und M a i l l a r d gaben neue Beispiele der Erweiterung, der eine in der wichtigen Abhandlung, die wir schon Gelegenheit hatten zu zitieren, Almindelige Egenskaber ved Systemer af plane Kurver,[^[423]] der andere in seiner Dissertation Recherches des caractéristiques des systèmes élémentaires de courbes

planes du troisième ordre;[^[424]] andere findet der Leser in den Schriften von S t u r m über die kubischen Raumkurven[^[425]] und denen von S c h u b e r t über die ebenen Kurven dritter Ordnung und dritter und vierter Klasse, im Raume betrachtet.[^[426]] Ferner sind die von Chasles gemachten Betrachtungen enge mit denjenigen verbunden, welche in den wichtigen Abhandlungen von C a y l e y, On the curves which satisfy given conditions[^[427]] enthalten sind, sowie in einigen Arbeiten von J o n q u i è r e s über Systeme von Kurven und Flächen.[^[428]] Endlich gehören hierher noch die Untersuchungen von H i r s t[^[429]] und S t u r m[^[430]] über Systeme von Projektivitäten und Korrelationen, sowie die von Z e u t h e n[^[431]] über die Plückerschen Charakteristiken der Enveloppen. Wir wollen noch bemerken, daß zwischen den Systemen ebener Kurven und den Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Variabelen eine sehr innige Beziehung besteht, die sich zu erkennen giebt, indem die Integrale einer dieser Gleichungen ein System von Kurven darstellen. Die gegebene Differentialgleichung läßt jedem Punkte eine bestimmte Anzahl von ihm ausgehender Richtungen entsprechen und einer Geraden eine bestimmte Anzahl auf ihr liegender Punkte. Auf diese Beziehungen wurde C l e b s c h durch seine Untersuchungen über die Konnexe[^[432]] (vgl. § VI) und unabhängig von F o u r e t[^[433]]

geführt. In ähnlicher Weise kann man eine Beziehung zwischen den Differentialgleichungen erster Ordnung mit drei Variabelen und einem Systeme von Oberflächen aufstellen, wie dies ebenfalls F o u r e t[^[434]] bemerkt hat. Dieser Zusammenhang ist von grosser Wichtigkeit, weil er gestattet, Sätze auf transcendente Kurven oder Oberflächen auszudehnen, von denen man glaubte, daß sie nur für algebraische Kurven oder Oberflächen gültig seien; so konnte F o u r e t den Satz über die Zahl der Kurven eines Systemes, welche eine gegebene algebraische Kurve berühren, auf Systeme von transcendenten Kurven ausdehnen,[^[435]] konnte ferner die Ordnung des Ortes der Berührungspunkte eines einfach unendlichen Systemes von Oberflächen mit den Oberflächen eines doppelt unendlichen Systemes bestimmen,[^[436]] ebenso die Ordnung des Ortes der Berührungspunkte der Oberflächen eines doppelt unendlichen Systemes mit einer gegebenen algebraischen Oberfläche[^[437]] u. s. w.[^[438]]

Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kürze wegen übergehe, war die ganze Tragweite der C h a s l e s schen Betrachtungen noch nicht offenbar geworden; das geschah durch den letzten, von dem ich zu sprechen habe, durch H e r m a n n S c h u b e r t in seinem Kalkül der abzählenden Geometrie.[^[439]] Dieses Buch, das noch viel zu wenig

geschätzt wird, kann man mit Recht als dasjenige betrachten, welches zuerst von Grund auf das Problem behandelte, »zu bestimmen, wie viele geometrische Gebilde von gegebener Definition einer hinreichenden Zahl von Bedingungen genügen,« d. h. das Problem der abzählenden Geometrie. Dort sind die Korrespondenzprinzipien unter ihrem wahren Gesichtspunkte auseinandergesetzt,[^[440]] dort ist klar erörtert, was man unter dem Charakteristikenproblem einer bestimmten Figur zu verstehen hat, und sind Methoden von außerordentlicher Macht für dessen Lösung gezeigt. Die Schubertschen Methoden sind dazu bestimmt, eines Tages das übliche Hilfsmittel für den Mathematiker zu werden, wie es augenblicklich die Cartesische Geometrie ist, und niemand wird mich der Übertreibung beschuldigen, der bedenkt, daß dieselben in einer Unzahl von Fällen zur Lösung des allgemeinen Problemes der Elimination dienen, d. h. die Zahl der Lösungen eines Systemes von algebraischen Gleichungen zu bestimmen. Daher müssen alle, Analytiker und Geometer, dem Werke von Schubert, durch welches er die abzählende Geometrie zu einer besonderen Disziplin erhoben hat, reiches Lob zollen, oder besser, anstatt es blos zu bewundern, sich

vornehmen, die fruchtbaren Methoden desselben zu vervollkommnen und sie von Mängeln frei zu machen, d. h. sie von dem Tadel, der ihnen von einigen gemacht worden ist, daß sie nicht ganz strenge seien, zu befreien und sie selbst oder wenigstens die Anwendungen, deren sie fähig sind, zu vermehren.

Die auf die Theorie der Charakteristiken bezüglichen Andeutungen[^[441]] würden eine unverzeihliche Lücke darbieten, wenn sie nicht einen Hinblick auf eine wichtige Frage böten, die zwischen einigen Geometern ventiliert wurde, und die man heute als schon gelöst betrachten darf. Geleitet nämlich durch einen Induktionsschluß, behauptete C h a s l e s, daß die Zahl derjenigen Kegelschnitte eines einfach unendlichen Systemes, welche einer neuen einfachen Bedingung genügen, ausgedrückt wird durch eine homogene lineare Funktion der Charakteristiken des Systemes, deren Koeffizienten einzig und allein von dieser Bedingung abhängen. D a r b o u x,[^[442]] C l e b s c h,[^[443]] L i n d e m a n n,[^[444]] H u r w i t z und S c h u b e r t,[^[445]] sowie noch andere glaubten diesen Satz beweisen zu können. Aber daß die von ihnen angeführten Gründe nicht beweiskräftig waren, wurde in einer Reihe von Arbeiten gezeigt, in welchen H a l p h e n[^[446]] die Hinfälligkeit der Vermutung Chasles' klar legte und zeigte, wie man den vorher angeführten Satz modifizieren müsse. In der Theorie der Charakteristiken der Systeme von Flächen zweiten Grades hat man einen analogen Satz, den ebenfalls H a l p h e n[^[447]] entdeckt hat. Jedoch glaube man nicht, daß diese Sätze

von Halphen die Resultate zerstören, welche man erhalten, indem man den Chaslesschen Weg einschlug; vielmehr sind dieselben glücklicherweise meistenteils unabhängig von dem fraglichen Theorem, und für die anderen Fälle ist es leicht zu zeigen, welche Korrektionen man machen muß.[^[448]]

V.

Theorie der Kurven doppelter Krümmung.

———

Die Theorie der ebenen Kurven kann man in zwei verschiedenen Richtungen verallgemeinern. Indem man die Thatsache ins Auge faßt, daß eine solche Kurve durch e i n e Gleichung zwischen den Koordinaten eines Punktes einer Ebene dargestellt wird, so ergiebt sich als Analogon im Raume die Theorie der Oberflächen, indem diese als durch e i n e Gleichung zwischen den Koordinaten eines Punktes im Raume darstellbar betrachtet werden, auf welche Betrachtung wir im Vorhergehenden eingegangen sind. Wenn man hingegen eine ebene Kurve als eine Reihe von einfach unendlich vielen Punkten ansieht, so kann man die Theorie ausdehnen, indem man die Beschränkung aufhebt, daß diese in einer Ebene gelegen seien: dann entsteht die Theorie der unebenen Kurven.

Das Studium der Infinitesimaleigenschaften derselben kann man leicht genug mit Hilfe von Methoden machen, die nicht sehr verschieden sind von denjenigen, die für die

ebenen Kurven angewandt werden. Deshalb wurde dasselbe, wie ich schon sagte, vor mehr als einem Jahrhundert von C l a i r a u t unternommen und wurde hernach von L a n c r e t (1774-1807),[^[449]] M o n g e,[^[450]] T i n s e a u,[^[451]] d e S a i n t - V e n a n t (1797-1886),[^[452]] von F r e n e t,[^[453]] A l f r e d S e r r e t[^[454]] und P a u l S e r r e t, von L i o u v i l l e (1809-1882),[^[455]] B e r t r a n d,[^[456]] von P u i s e u x (1820-1883),[^[457]] von L i e[^[458]] und vielen anderen fortgesetzt.[^[459]]

Aber abgesehen von dieser Betrachtungsrichtung bietet das Studium der übrigen allgemeinen Eigenschaften der unebenen Kurven sehr große Schwierigkeiten. Man vermutete eine Zeit lang, daß jede Kurve im Raume als der vollständige Schnitt zweier Oberflächen angesehen werden und daher durch ein System von z w e i Gleichungen zwischen den Koordinaten eines Punktes im Raume dargestellt werden könnte;[^[460]] aber bald erkannte man die Existenz von Kurven, die nicht der vollständige Schnitt von Oberflächen sind, und die Notwendigkeit, dieselben nicht vermittelst zweier,

sondern dreier Gleichungen darzustellen, die ebenso vielen durch dieselbe hindurchgehenden Oberflächen entsprechen. Man setzte voraus, daß die Kenntnis der Ordnung zur Einteilung der unebenen Kurven hinreichen würde, aber sobald man an die vierte Ordnung gekommen war, erkannte man, daß dieselbe nicht genüge.[^[461]] Man hätte nun glauben sollen, daß die Ordnung und die Zahl der scheinbaren Doppelpunkte für den besagten Zweck hinreichen würden, aber als man an die neunte Ordnung herantrat, sah man, daß man sich geirrt habe.[^[462]] Auch eine dritte Zahl, die niedrigste Ordnung der Kegel, die durch die von einem Punkte herkommenden Sehnen (Doppelsekanten) der Kurve gehen, konnte nur bei den Kurven von niederer, als der fünfzehnten Ordnung dazu verhelfen. So kam man denn zu dem Schlusse, daß es unmöglich sei, eine gegebene Kurve vermittelst einer bestimmten Menge von vornherein angebbarer Zahlen zu charakterisieren.

Ich habe diese Thatsachen anführen wollen, um zu zeigen, daß die a l l g e m e i n e Theorie der unebenen Kurven keine Ähnlichkeit mit irgend einem anderen Teile der Geometrie zeigt und, indem ich auf die erschreckliche Dunkelheit, die sie darbietet, hinwies, dem Leser das Mittel geben wollen, den Grund zu finden, warum die Kenntnisse, die wir über diese Gebilde haben, so wenig zahlreich und erst neueren Ursprunges sind.

Die ersten allgemeinen Resultate über die Kurven doppelter Krümmung verdanken wir C a y l e y, welcher ihnen zwei wichtige Abhandlungen gewidmet hat. In einer derselben stellte er die Formeln (analog denen von Plücker) auf, welche die Zahl der Singularitäten einer Raumkurve

untereinander verbinden.[^[463]] In der anderen führte er für das Studium der Raumkurven von der Ordnung n diejenigen bemerkenswerten Flächen ein, welche er »Monoide« nannte.[^[464]]

Nach diesen Arbeiten müssen wir, um einen wirklich bemerkenswerten Fortschritt in der Theorie, welche uns beschäftigt, zu finden, uns zu H a l p h e n und N ö t h e r wenden, deren Abhandlungen[^[465]], im Jahre 1882 von der Akademie zu Berlin mit dem Preise gekrönt, die Grundlage für eine allgemeine Theorie der Raumkurven sind; denn sie behandeln die Probleme: »alle voneinander verschiedenen Kurven von gegebener Ordnung zu bestimmen«, »anzugeben, welche Kurven es auf einer gegebenen Oberfläche giebt« und noch viele andere von nicht geringer Bedeutung. Diese beiden Arbeiten verschlingen sich so enge und durchdringen sich so innig, daß es sehr schwer wird, zu entscheiden, welcher Anteil jedem der beiden Autoren in den vielen gemeinsamen

Resultaten zufällt, die sie enthalten. Wenn einerseits N ö t h e r die Theoreme, welche Ende des Jahres 1870 von H a l p h e n in den Comptes rendus und an anderen Stellen[^[466]] ausgesprochen sind, ausbeuten konnte, so konnte dieser sich der Sätze bedienen, welche in der sehr bedeutenden Abhandlung von B r i l l und N ö t h e r, Über die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie[^[467]] enthalten sind, und in derjenigen, in welcher N ö t h e r streng den Fundamentalsatz der Theorie der algebraischen Funktionen dargethan hatte, welcher in der Auseinandersetzung von H a l p h e n unumgänglich notwendig war.[^[468]] Und man glaube nicht, daß die von den beiden Geometern bei ihrem Thema eingeschlagenen Wege im wesentlichen verschieden gewesen seien, vielmehr benutzten sie beide (wie Cayley geraten hatte) Monoide, und wenn der eine vorzugsweise Formeln und Sätze aus der Theorie der Abelschen Integrale gebraucht, so wendet der andere solche Lehrsätze über die algebraischen Funktionen an, welche zu denselben Eigenschaften führen. Jedenfalls steht es außer Zweifel, daß diese beiden hervorragenden Produktionen unseres Zeitalters bestimmt sind, die Grundlage für die zukünftigen geometrischen Untersuchungen zu bilden, und wenn bis jetzt sich ihr Einfluß noch nicht so allgemein geltend gemacht hat, so ist dieses vorzugsweise den großen Schwierigkeiten zuzuschreiben, die ihr Gegenstand noch immer darbietet, und vielleicht auch den Lücken, die in den Methoden vorhanden sind, die man zu Hilfe nehmen könnte, um jene zu überwinden.[^[469]]

Aber vor der Begründung der allgemeinen Theorie wurden viele einzelne Kurven einem genaueren Studium unterworfen; da ich aber wünsche, mehr als getreuer, denn als glänzender Geschichtsschreiber angesehen zu werden, so muß ich hier eine Aufzählung der Arbeiten unternehmen, in welchen die hervorragenderen unter diesen Untersuchungen enthalten sind.

»Degli altri fia laudabile il tacerci,

Chè il tempo saria corto a tanto suono.«[^[470]]

Unter ihnen verdienen den ersten Platz diejenigen, welche die kubischen Raumkurven behandeln. Über diese haben M ö b i u s[^[471]] und C h a s l e s[^[472]] verschiedene sehr schöne Eigenschaften aufgefunden; dieselben vermehrten sich mit solcher Schnelligkeit, daß S t a u d t[^[473]] binnen kurzem die vollständige Analogie, die zwischen ihnen und den Kegelschnitten besteht, feststellen konnte; diese Analogie hat sich von Tag zu Tag mehr vervollkommnet, dank den Studien von S e y d e w i t z,[^[474]] J o a c h i m s t h a l[^[475]] C r e m o n a,[^[476]]

S c h r ö t e r,[^[477]] R e y e,[^[478]] E m i l W e y r,[^[479]] S t u r m,[^[480]] H u r w i t z,[^[481]] welche nicht allein die Aufstellung einer vollständigen synthetischen Behandlung dieser Kurven gestatten, sondern auch das Terrain für die so elegante analytische Auseinandersetzung ebneten, die mein innigst geliebter Lehrer E. d ' O v i d i o[^[482]] und P i t a r e l l i[^[483]] gemacht haben.

Dann will ich die Theorie der unebenen, auf einem einschaligen Hyperboloide gezeichneten Kurven anführen, für welche C h a s l e s[^[484]] das Fundament gelegt hat, und die von unserem C r e m o n a[^[485]] so sehr bereichert ist. Ferner will

ich der vielen Eigenschaften erwähnen, welche P o n c e l e t,[^[486]] C h a s l e s,[^[487]] C r e m o n a,[^[488]] R e y e,[^[489]] P a u l S e r r e t,[^[490]] L a g u e r r e,[^[491]] M i l i n o w s k i[^[492]] und viele andere über die Raumkurven vierter Ordnung erster Art gefunden haben, und die schönen Anwendungen, die sie für die Theorie der zweifach periodischen Funktionen geliefert haben, — H a r n a c k,[^[493]] L a n g e,[^[494]] W e s t p h a l,[^[495]] L é a u t é[^[496]] u. s. w. Auch kann ich die schönen Arbeiten von C r e m o n a,[^[497]] von A r m e n a n t e,[^[498]] B e r t i n i[^[499]] und E m. W e y r[^[500]] über die Raumkurven vierter Ordnung zweiter Art nicht stillschweigend übergehen, ferner nicht die von K l e i n und L i e über die durch unendlich viele lineare Transformationen in sich selbst transformierten

Kurven,[^[501]] noch auch die von F i e d l e r[^[502]] angestellte Bestimmung der Kurven von nicht höherer als neunter Ordnung, die zu ihren eigenen Tangenten-Developpabelen dual sind. Und wie könnte ich es unterlassen, einen Blick auf die große Zahl von Kurven zu werfen, welche C r e m o n a und S t u r m[^[503]] studiert haben, indem sie sich mit der Geometrie auf einer Oberfläche dritter Ordnung beschäftigten, dann auf die wichtigen Probleme, die von C l e b s c h und seinen Schülern über die rationalen,[^[504]] elliptischen und hyperelliptischen[^[505]] Kurven gelöst sind, und die eleganten Eigenschaften, welche B e r t i n i[^[506]] an den rationalen Kurven fünfter Ordnung auffand, sowie W. S t a h l[^[507]] bei denjenigen, deren Punkte auf einer Oberfläche zweiten Grades liegen, während die Oskulationsebenen eine solche zweiter Klasse berühren?

Indem der unerfahrene Leser so bedeutende und so verschiedene Untersuchungen aufzählen hört, wird er sich von einem gewissen Kleinmute bedrängt fühlen und sich fragen, wie es in kurzer Zeit möglich sei, dieselben, wenn auch nicht alle, so doch größtenteils sich anzueignen? Man beruhige sich. Die Übersicht ist für den Studierenden viel weniger schwierig, als es nach meiner Besprechung scheinen könnte. Die von den Geometern der ersten Hälfte unseres Jahrhunderts aufgestellten Prinzipien sind so fruchtbar, daß, wenn jemand sich dieselben gründlich zu eigen gemacht hat, er nicht allein selbst viele weitere Untersuchungen ableiten, sondern auch noch darnach streben kann, die Wissenschaft selbst weiter zu fördern. Und dieses — was sicherlich ein

nicht zu unterschätzender Vorzug der heutigen Wissenschaft vor der unserer Väter ist — wurde in Kürze von einem ihrer Gründer mit den fortan klassischen Worten ausgesprochen: »Peut donc qui voudra dans l'état actuel de la science généraliser et créer en géométrie; le génie n'est plus indispensable pour ajouter une pierre à l'édifice«,[^[508]] goldene Worte, welche jeder, der Mathematik betreiben will, sich einprägen muß; indem sie ihn auf einen wahrscheinlichen Sieg hoffen lassen, werden sie ihn anspornen, sich mutig den geistigen Kämpfen entgegenzustellen, die ihn erwarten.

VI.

Abbildungen, Korrespondenzen, Transformationen.

———

Bei dieser flüchtigen Musterung der neuesten geometrischen Entdeckungen gelangen wir nun zur Lehre von den Abbildungen, Korrespondenzen und Transformationen. — Es ist bekannt, daß zwischen zwei ebenen Punktfeldern eine Korrespondenz (Verwandtschaft) besteht, wenn jedem Punkte des einen eine Gruppe von Punkten des anderen zugeordnet ist; diese heißen dann die »entsprechenden« zu jenem. Wenn im speziellen Falle jeder Punkt des einen Feldes einen einzigen entsprechenden in dem anderen hat, so heißt die Korrespondenz »eindeutig«.

Die einfacheren Fälle der eindeutigen Korrespondenz sind die Homologie — von P o n c e l e t studiert (1822) — und die Kollineation (Homographie), von M ö b i u s (1827), M a g n u s (1833) und C h a s l e s (1837) studiert. In diesen Fällen entspricht nicht nur jedem Punkte ein Punkt, sondern

auch jeder Geraden eine Gerade. — Ein Beispiel einer komplizierteren Korrespondenz wurde von S t e i n e r (1832) durch folgende Konstruktion erhalten:[^[509]] Gegeben sind zwei getrennte Ebenen und zwei windschiefe Geraden; durch jeden Punkt der einen von jenen ziehe man die Gerade, welche die beiden gegebenen Geraden schneidet, und bestimme den Schnittpunkt mit der anderen Ebene. Indem man diesen Schnittpunkt dem in der ersten Ebene gewählten Punkte zuordnet, erhält man eine eindeutige Beziehung von der Art, daß jeder Geraden in der einen Ebene ein Kegelschnitt in der anderen entspricht. Läßt man nun die beiden Ebenen zusammenfallen, so erhält man eine Korrespondenz, welche im wesentlichen nicht von der durch P o n c e l e t[^[510]] zwischen in bezug auf ein Kegelschnittbüschel konjugierten Punkten gefundenen verschieden ist, und welche auf analytischem Wege von P l ü c k e r[^[511]] untersucht wurde, sodann von M a g n u s (1790-1861)[^[512]] und von unserem S c h i a p a r e l l i,[^[513]] synthetisch aber von S e y d e w i t z[^[514]] und später von R e y e.[^[515]] — Auf ein drittes Beispiel führte die Lösung einiger Probleme aus der mathematischen Physik; man gelangt dazu auf folgende Weise: Gegeben sei in einer Ebene ein fester Punkt, man associiert zwei mit ihm in gerader Linie gelegene Punkte, deren Abstände von ihm umgekehrt proportional sind. Man erhält dann eine eindeutige Korrespondenz, welche jede Gerade in einen Kreis, und jeden Kreis wieder in einen Kreis verwandelt. Diese wurde von Sir W i l l i a m T h o m s o n[^[516]]

als »Prinzip der elektrischen Bilder« studiert und ist unter dem Namen »Transformation durch reciproke Radien« oder »Inversion« allgemein bekannt.[^[517]]

Alle diese Transformationen sind linear oder quadratisch, da sie eine Gerade in eine Kurve erster oder zweiter Ordnung verwandeln. Jedoch machte M a g n u s schon die Bemerkung, daß, wenn man eine quadratische Transformation wiederholt, man im allgemeinen eine solche höherer Ordnung erhält.[^[518]] Diese wichtige Bemerkung blieb aber bis zu dem Zeitpunkte unfruchtbar (1863), in welchem C r e m o n a von den wenigen bisher erörterten Fällen zur allgemeinen Theorie der geometrischen Transformationen der ebenen Figuren überging.[^[519]]

Um dem Leser die Bedeutung der Schriften, welche C r e m o n a dieser Theorie[^[520]] gewidmet hat, zu zeigen, würde ich auseinanderzusetzen haben, auf welche Weise dieser große Geometer das Studium der eindeutigen Transformationen auf das eines homaloidischen Netzes von Kurven zurückgeführt hat, und die Bestimmung eines solchen Netzes auf die Lösung eines unbestimmten Systemes von linearen Gleichungen; aber da die Anlage meiner Abhandlung mir das nicht gestattet, so muß ich mich darauf beschränken, ihn davon durch den alten Beweis des »consensus omnium« zu überzeugen. Dann führe ich noch die Namen von Geometern an wie C a y l e y,[^[521]] C l e b s c h,[^[522]] N ö t h e r,[^[523]] R o s a n e s,[^[524]] S. R o b e r t s,[^[525]] die sich bemüht haben, die (bei der ersten Behandlung des Stoffes unvermeidlichen) Lücken, die sich in den C r e m o n a schen Abhandlungen[^[526]] fanden, auszufüllen; ferner die Arbeiten von R u f f i n i,[^[527]] J o n q u i è r e s,[^[528]] K a n t o r,[^[529]] G u c c i a,[^[530]] A u t o n n e,[^[531]] welche mit dieser Lehre

eng zusammenhängende Fragen behandeln, endlich die von H i r s t,[^[532]] T. C o t t e r i l l[^[533]] (1808-1881), von S t u r m,[^[534]] S c h o u t e[^[535]] und sehr vielen anderen, welche sich das bescheidenere Ziel gesetzt haben, die Verbreitung derselben durch geeignete Beispiele und elegante Formeln zu erleichtern.[^[536]]

Unter den Arbeiten, welche sich an die von C r e m o n a anschließen, verdienen eine hervorragende Stelle diejenigen von B e r t i n i,[^[537]] welche er den ebenen involutorischen Transformationen gewidmet hat, welche Arbeiten noch größere Einfachheit und Eleganz erhielten durch den Begriff der Klasse und andere Begriffe, die von C a p o r a l i[^[538]] (1855-1886) eingeführt wurden, jenem ausgezeichneten Geometer, dessen frühen Verlust ganz Italien betrauert.[^[539]]

Von ganz verschiedenem Charakter sind hingegen die eleganten Untersuchungen von L a g u e r r e über solche Transformationen, welche er »Transformationen durch reciproke Richtungen« nannte; da es nicht möglich ist, den Grundgedanken in wenigen Worten zusammenzufassen und die vielfachen Anwendungen, welche der Erfinder davon gemacht hat, anzudeuten, verweisen wir den Leser auf die Originalarbeiten des hervorragenden französischen Geometers.[^[540]]

Von der Theorie, die wir jetzt besprechen, bildet auch die Lehre von den »isogonalen Transformationen« einen Teil, welcher sich auf die geometrische Darstellung der komplexen Zahlen stützt und deren Nützlichkeit (welche vielleicht grösser

ist für die mathematische Physik als für die reine Geometrie) M ö b i u s,[^[541]] S i e b e c k,[^[542]] D u r è g e,[^[543]] B e l t r a m i,[^[544]] V o n d e r - M ü h l l,[^[545]] F. L u c a s,[^[546]] W e d e k i n d[^[547]] und neuerdings H o l z m ü l l e r[^[548]] dargethan haben.[^[549]]

Den Begriff der eindeutigen Korrespondenz zwischen zwei Ebenen kann man auf verschiedene Weise verallgemeinern; die Weisen, die sich so ziemlich von selbst darbieten, sind folgende:

Vor allem, ohne die Ebene zu verlassen, kann man eine Korrespondenz aufstellen zwischen jedem Punkte derselben und einer Kurve eines doppelt unendlichen Systemes in derselben oder auch einer anderen Ebene;[^[550]] diese Art der Korrespondenz ist eine Erweiterung der Korrelation (Reciprocität) zwischen zwei Feldern; angegeben von P l ü c k e r, wurde dieselbe von C l e b s c h[^[551]] entwickelt und veranlaßte die Theorie der Konnexe.[^[552]]

Wenn man dann zum Raume übergeht, kann man eine Korrespondenz zwischen den Punkten zweier Oberflächen aufstellen (insbesondere zwischen den Punkten einer krummen Oberfläche und denen einer Ebene) oder zwischen den Punkten zweier Räume.

Die Darstellung einer Oberfläche auf einer Ebene kann man bis ins Altertum zurückverfolgen, da schon H i p p a r c h und P t o l o m a e u s (und wahrscheinlich andere vor ihnen) sich die Aufgabe der Herstellung geographischer Karten gestellt und Lösungen derselben mitgeteilt haben, die auf derjenigen Projektion beruhen, welche man heute die stereographische nennt. — Die Projektion von M e r c a t o r (1512-1594), die Untersuchungen von L a m b e r t (1728-1777) und L a g r a n g e, die berühmte Antwort von G a u ß auf eine von der dänischen Akademie gestellte Frage[^[553]] zeigen, wie die täglichen Bedürfnisse der Geographie und Navigationskunde unaufhörlich die Gelehrten angetrieben haben, sich mit dem Probleme der eindeutigen Darstellung der Oberfläche unseres Planeten auf einer Ebene zu beschäftigen.[^[554]] — Die erste Abbildung einer Oberfläche auf einer anderen jedoch, die nur in der Absicht gemacht wurde, um eine derselben leichter studieren zu können, verdanken wir Gauß, der 1827 in seinen berühmten Disquisitions generales circa superficies curvas es als sehr vorteilhaft erkannte, die Punkte

einer beliebigen Oberfläche den Punkten einer Kugelfläche entsprechen zu lassen, indem man zwei solche Punkte zuordnet, deren Normalen einander parallel sind.[^[555]] Eine besondere Eigentümlichkeit dieser Korrespondenz ist die, daß, um Eindeutigkeit zu erhalten, es fast immer nötig ist, nur den Teil der Oberfläche abzubilden, den man gerade ins Auge faßt; wir wollten diese Eigenschaft nicht stillschweigend übergehen, da deren Anführung uns Gelegenheit giebt, den Unterschied hervorzuheben, der zwischen der sphärischen Abbildung und den Abbildungen besteht, welche von P l ü c k e r,[^[556]] C h a s l e s[^[557]] und C a y l e y[^[558]] für das Studium der Geometrie auf einer Fläche zweiten Grades, denen, die von C l e b s c h[^[559]] und C r e m o n a[^[560]] für das Studium der Geometrie auf einer kubischen Fläche, und von denen endlich, die von späteren Geometern für die Untersuchung anderer Flächen vorgeschlagen sind.

Die erste Arbeit, welche ex professo die Theorie der Abbildungen dieser Art behandelt, verdankt man C l e b s c h.[^[561]] Die zahlreichen Beispiele, durch welche der Verfasser in dieser Arbeit, sowie in einigen älteren und späteren[^[562]] die allgemeine Theorie illustrierte, haben zur Aufstellung der Geometrie auf einer grossen Zahl von Flächen mit vielen Einzelheiten geführt. Ferner haben die fast gleichzeitigen Abhandlungen

von C r e m o n a[^[563]] und N ö t h e r,[^[564]] sowie die ihnen folgenden von A r m e n a n t e,[^[565]] K l e i n,[^[566]] K o r n d ö r f e r,[^[567]] C a p o r a l i[^[568]] und von noch anderen[^[569]] im Verlaufe weniger Jahre diese Zahl außerordentlich vermehrt.[^[570]] Man kann sich eine ziemlich genaue Vorstellung von dem Reichtum dieses Zweiges der Geometrie machen, wenn man die schöne Abhandlung von C a p o r a l i über die dreifach unendlichen linearen Systeme ebener Kurven liest,[^[571]] in welcher er einerseits die Theorie der Abbildung einer Oberfläche auf eine Ebene auf das Studium solcher Systeme anwandte, andererseits in derselben wertvolle Hilfsmittel der Untersuchung fand.

Bei dem Studium der Abbildung einer Oberfläche bietet sich von selbst eine wichtige Frage dar, nämlich die, ob sie alle eindeutig auf eine Ebene abbildbar sind, oder allgemeiner: ob zwei Oberflächen sich als Punkt für Punkt

einander entsprechend darstellen lassen. Und da man leicht erkannte, daß die Antwort auf diese Frage eine negative sei, so wurde man natürlich auf die andere Frage geführt: Welche Oberflächen lassen sich eindeutig auf einer Ebene abbilden? Oder allgemeiner: Welche Oberflächen kann man eindeutig auf einer gegebenen abbilden? — Die analoge Frage für zwei (ebene oder unebene) Kurven wurde von C l e b s c h vermittelst der Betrachtung des Geschlechtes und der Moduln gelöst. Diese Analogie veranlaßte nun C l e b s c h, die Lösung des vorhin angegebenen Problems in einer Ausdehnung des Begriffes des Geschlechtes auf die Oberflächen[^[572]] zu suchen. Dieser Versuch wurde jedoch nach meinem Dafürhalten nicht von gutem Erfolge gekrönt, und auch heute muß man trotz der nach C l e b s c h angestellten Versuche ausgezeichneter Mathematiker wie C a y l e y,[^[573]] N ö t h e r,[^[574]] Z e u t h e n[^[575]] die Frage als noch ungelöst betrachten; um das zu beweisen, genügt es zu sagen, daß, wenn es auch bekannt ist, daß alle Oberflächen zweiter und dritter Ordnung (die nicht Kegelflächen sind) eindeutig auf einer Ebene abbildbar sind, doch noch nicht alle Oberflächen vierter Ordnung bestimmt sind, welche dieselbe Eigenschaft haben.[^[576]]

Die allgemeineren Resultate, die man auf diesem Gebiete kennt, waren, wenn ich nicht irre, von N ö t h e r[^[577]] erhalten; dieser gelangte durch eine überaus elegante analytische Betrachtung bei jeder Oberfläche, welche eine einfach unendliche Schar rationaler Kurven enthält, zu einer Abbildung derselben auf einem Kegel.

Die Schwierigkeit aber, auf welche man bei der eindeutigen Abbildung gewisser Oberflächen auf eine Ebene stieß, ließen bei C l e b s c h den Gedanken entstehen, zwischen einer Oberfläche und einer Ebene eine vielfache Korrespondenz aufzustellen, oder auch (wie er an die R i e m a n n schen Flächen denkend sagte) eine Fläche auf eine vielfache Ebene abzubilden und dann diese auf eine einfache Ebene zu beziehen.[^[578]] Diese Idee, deren Keime sich vielleicht bis zu der von C h a s l e s[^[579]] vorgeschlagenen Verallgemeinerung der stereographischen Projektion zurückverfolgen lassen, konnte nicht mehr vollständig von ihrem Urheber entwickelt werden; jedoch blieben die von ihm gegebenen Andeutungen nicht unfruchtbar, vielmehr entstand aus ihnen die Theorie der doppelten ebenen Transformationen, welche d e P a o l i s aufgestellt und durch vielfache Anwendungen erläutert hat.[^[580]]

Die zweite Verallgemeinerung der C r e m o n a schen Transformationen veranlaßte die Theorie der rationalen Transformationen im Räume. Zwei Beispiele einer solchen Korrespondenz boten sich in der Homographie zweier Räume (und deren Spezialfällen) dar und — wie M a g n u s,[^[581]] H e s s e[^[582]] und C r e m o n a[^[583]] bemerkt haben — in der Transformation, die man erhält durch drei zu demselben Räume korrelative (reciproke) Räume, indem man jedem Punkte jenes Raumes

den Schnitt der Ebenen zuordnet, die ihm in diesen entsprechen. Die allgemeine Theorie entstand jedoch erst um das Jahr 1870 durch die Bemühungen C a y l e y s,[^[584]] N ö t h e r s[^[585]] und C r e m o n a s,[^[586]] obwohl schon M a g n u s[^[587]] Ende 1837 dieselbe angestrebt und ihre Wichtigkeit eingesehen hatte.

Von den bemerkenswerten Arbeiten, in welchen diese Gelehrten unsere Theorie im allgemeinen begründeten, ist ohne Zweifel die wichtigste jene, die wir der Feder unseres berühmten Landsmannes verdanken. Geleitet durch die Analogie, welche diese Disziplin mit der der eindeutigen Korrespondenz zwischen zwei Ebenen darbietet, zeigte er, wie jene sich auf das Studium der dreifach unendlichen homaloidischen Systeme von Oberflächen zurückführen läßt. Darauf setzte er auf eine sehr schöne Weise auseinander, wie man unendlich viele solcher Systeme erhalten könne, wenn man die ebene Abbildung e i n e r Oberfläche kennt, und zeigte zuletzt durch treffende Beispiele, wie man die Theorie der rationalen Transformationen auf die Abbildung vieler Flächen auf andere zurückführt, insbesondere auf die ebene Abbildung einiger von ihnen. Diese Anwendung, vereint mit der obenerwähnten Methode, zeigt klar, wie man aus der ebenen Abbildung einer Oberfläche nicht nur die Abbildungen von unendlich vielen anderen erhalten kann, sondern auch unzählig viele rationale Transformationen des Raumes.

Ungeachtet der Schriften, durch welche England, Deutschland und Italien so mächtig zur Gründung und Erweiterung dieser Theorie beigetragen haben, kann man doch nicht sagen, daß dieselbe den Grad der Vollendung erreicht habe,

den andere erlangt haben. Das kommt vielleicht daher, daß die schwierigsten Fragen, welche sich in derselben darbieten, innig mit der Bestimmung der Singularitäten der Oberflächen zusammenhängen, und über diese — wir müssen es leider gestehen — sind unsere Kenntnisse noch sehr beschränkt. Darin hat man vielleicht die Erklärung der Thatsache zu suchen, daß die Geometer, die auf jene oben erwähnten folgten, sich mehr mit der Erläuterung der Methoden ihrer Meister, als mit der Vervollkommnung derselben und der Ausfüllung ihrer Lücken beschäftigt haben.[^[588]] Und dennoch — wenn auch das Studium der Figur selbst ohne Zweifel dem der transformierten vorzuziehen ist — giebt es bei dem heutigen Standpunkte der Wissenschaft sehr wenige Theorien, die so sehr es verdienen, daß man sie in allen ihren Einzelheiten vervollkommne, als gerade diese. In der That, um die Worte eines großen Mannes zu gebrauchen, »wenn man über das Verfahren der Algebra nachdenkt und den Grund

der gewaltigen Vorteile aufsucht, die sie der Geometrie bietet, sieht man da nicht, daß sie dieselben der Leichtigkeit verdankt, mit welcher man anfänglich eingeführte Ausdrücke Transformationen unterziehen kann, Transformationen, deren Geheimnis und deren Mechanismus die wahre Wissenschaft bilden und die das ständige Ziel der Analysten sind? Ist es darum nicht natürlich, zu versuchen, in die reine Geometrie analoge Transformationen einzuführen, welche direkt auf die vorgelegten Figuren und ihre Eigenschaften hinsteuern?[^[589]]

Auf das allgemeine Studium der Transformationen folgt das solcher Transformationen, bei denen man einen gewissen Zweck im Auge hat,[^[590]] z. B. die Verwandlung der Figuren in sich selbst oder ihre Zurückführung zur ursprünglichen Figur, wenn die Transformationen mehrmals hintereinander angewandt werden. Es existieren in der That auch schon einige gute Arbeiten, in welchen die Kollineationen und Korrelationen behandelt sind, welche eine Fläche zweiter Ordnung, einen linearen Komplex[^[591]] oder eine kubische Raumkurve[^[592]] in sich selbst transformieren, sowie über die cyklischen Projektivitäten.[^[593]]

Wir wollen diesen Abschnitt unserer Arbeit beschließen, indem wir noch einige Worte über die vielfachen Transformationen zwischen zwei Gebilden zweiter und dritter Stufe sagen, auf welche ich nur im Vorübergehen hinweisen konnte, indem ich einige Abhandlungen von P a o l i s anführte. Der erste, der sich mit ihnen beschäftigte, war C h r. W i e n e r,[^[594]] welcher sie untersuchte, indem er eine eindeutige Korrespondenz in der Ebene herstellte zwischen den Geraden einer Ebene und den Kurven eines linearen Systemes; dann ist einem Punkte, betrachtet als Schnitt zweier Geraden, die Gruppe der Grundpunkte des Büschels zugeordnet, der durch die entsprechenden Kurven konstituiert wird. Diese Art und Weise, vielfache Transformationen zu erzeugen, wurde von T o g n o l i[^[595]] auf den Raum ausgedehnt; derselbe ließ jedem Punkte, betrachtet als Schnitt dreier Ebenen, die Grundpunkte desjenigen Netzes entsprechen, das durch die drei den drei Ebenen entsprechenden Oberflächen eines dreifach unendlichen linearen Systemes bestimmt wird. Solche Untersuchungen haben sich bis jetzt jedoch noch nicht als sehr fruchtbar gezeigt. Ziemlich wichtig dagegen sind die schon genannten Untersuchungen von P a o l i s über die doppelten Transformationen. Das zeigen die Arbeiten, in denen V i s a l l i[^[596]] und J u n g[^[597]] die vielfachen Transformationen untersucht haben und welche die Fortsetzungen jener sind.

Mit einigen speziellen vielfachen Transformationen des Raumes haben sich R e y e[^[598]] und S e g r e[^[599]] beschäftigt und von ihnen elegante Anwendungen gemacht. A s c h i e r i[^[600]] übertrug eine spezielle ebene zweifache Transformation, welche P a o l i s bearbeitet hatte, auf den Raum und dehnte auch die

Anwendungen, die jener davon gemacht hatte, auf die Nicht-Euklidische Geometrie aus. Allgemeine Untersuchungen auf diesem Gebiete haben wir jedoch keine außer den wenigen, die in einer kurzen Arbeit von R e y e[^[601]] aufgezeichnet sind, und den sehr wichtigen über die doppelten Transformationen des Raumes von P a o l i s.[^[602]] Wir zweifeln nicht, daß diese und jene als Grundlage einer allgemeinen Theorie der zweifachen Transformationen, die wir noch erwarten, dienen können; und wir erwarten dieselbe mit Ungeduld, da wir sicher sind, daß dieselbe der Geometrie nicht geringere Dienste leisten wird, als die sehr bekannten, die ihr durch die birationalen Transformationen geleistet sind, und jene, die, wie P a o l i s bemerkt, die doppelten leisten können.

Neben die vielfachen Korrespondenzen zwischen zwei Räumen von Punkten (oder Ebenen) kann man die zwischen einem Punktraume und einem Ebenenraume stellen. Untersucht wurden dieselben für den Fall, daß durch jeden Punkt die entsprechenden Ebenen gehen und in jeder Ebene die entsprechenden Punkte liegen. Zusammen betrachtet bilden die zwei Räume ein höheres Nullsystem oder Punktebenensystem. Die Theorie dieser Systeme ist in diesen letzten Jahren besonders durch die Arbeiten von A m e s e d e r,[^[603]] von S t u r m[^[604]] und V o ß[^[605]] hervorgetreten, während R e y e[^[606]] das Verdienst zukommt, den Begriff des gemeinen Nullsystemes[^[607]] zuerst, doch in einer anderen Weise — die entsprechenden Elemente sind nicht Punkte und Ebenen, sondern Flächen zweiter Ordnung und zweiter Klasse — erweitert zu haben.

VII.

Geometrie der Geraden.

———

Die griechische Geometrie betrachtet den Punkt als das erzeugende Element aller Figuren; die analytische Geometrie des Cartesius machte die Bestimmung des Punktes zur Grundlage aller ihrer Rechnungen. Das Prinzip der Dualität führte nun die Gelehrten zu dem Schlüsse, daß die Gerade in der Ebene und die Ebene im Raume mit gleichem Rechte und gleichem Erfolge, wie der Punkt, die Rolle spielen könne, die bis jetzt dieser in der Geometrie inne gehabt, und führte in der Folge dazu, die Gerade und die Ebene als Elemente der Ebene und des Raumes anzunehmen und ein neues System der (synthetischen und analytischen) Geometrie aufzustellen. Das Verdienst dieses bemerkenswerten Fortschrittes gebührt größtenteils P l ü c k e r.[^[608]]

Aber ganz auf P l ü c k e r fällt der Ruhm, ein drittes die räumlichen Gebilde erzeugendes Element — die Gerade — eingeführt und auf eine solche Betrachtung eine neue Geometrie des Raumes begründet zu haben. Dieser berühmte Gelehrte kehrte, nachdem er fast zwanzig Jahre hindurch die Geometrie verlassen hatte, um seine bedeutenden Geisteskräfte der Physik zu widmen, zu der Wissenschaft zurück, die ihm ursprünglich seinen Ruhm gesichert hatte, um sie

mit einer neuen und wichtigen Disziplin zu beschenken, mit »der Geometrie der Geraden«.

Die ersten Mitteilungen über diesen Gegenstand, die im Jahre 1865 der Königlichen Gesellschaft zu London[^[609]] von dem großen deutschen Geometer gemacht wurden, enthalten die Sätze über einige allgemeine Eigenschaften der Komplexe, Kongruenzen und Regelflächen und einige spezielle Eigenschaften der linearen Komplexe und Kongruenzen;[^[610]] die Beweise derselben sind nur angedeutet und sollen, nach Angabe des Autors, vermittelst der Koordinaten einer Geraden im Raume geführt werden, die er als einen eigenen Gedanken eingeführt hatte, die man später aber als Spezialfall dessen erkannte, was schon C a y l e y[^[611]] aufgestellt hatte, um vermittelst einer einzigen Gleichung eine beliebige Kurve im Raume darstellen zu können.

Diese Mitteilungen veranlaßten plötzlich eine Reihe wichtiger Arbeiten, in denen B a t t a g l i n i nicht nur, was Plücker behauptet hatte, sondern auch viele Lehrsätze bewies, die sich auf die Komplexe zweiten und höheren Grades beziehen.[^[612]] — Indessen hatte P l ü c k e r schon die von ihm

skizzierten Gedanken ausgeführt und in dem Werke vereinigt, welches den Titel trägt: Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement.[^[613]]

Von diesem Buche zu sagen, daß es in allen seinen Teilen gleich wichtig und interessant sei, würde eine der Wahrheit nicht entsprechende Behauptung sein. Plücker schätzte nicht die Eleganz der Rechnung, an die wir durch L a g r a n g e, J a c o b i, H e s s e, C l e b s c h gewöhnt sind; er teilte sicherlich nicht mit L a m é[^[614]] die Ansicht, daß »die Bezeichnung für die Analysis das sei, was die Stellung und Wahl der Worte für den Stil ist«; bei ihm brauchte die Rechnung nur der einen Bedingung zu genügen, nämlich schnell zur Lösung der ins Auge gefaßten Probleme zu führen. Dieser Mangel, der allen Arbeiten von Plücker gemeinsam ist, macht sich lebhafter in dem letzten Werke bemerklich, welches einen Wettstreit eingehen sollte mit Mustern der Eleganz, wie den Vorlesungen über analytische Geometrie des Raumes von H e s s e und den Vorlesungen über Dynamik von J a c o b i, die kurz vorher (1861 und 1866) herausgekommen waren. Außer diesem nicht geringen Mangel ist ein anderer noch bedeutenderer dadurch entstanden, daß Plücker lange Zeit hindurch es vernachlässigt hatte, den Fortschritten der Geometrie nachzugehen. Infolge dieser einseitigen Ausbildung finden wir in seinem Buche eine Menge von Untersuchungen, die uns nicht mehr interessieren, da sie unter andere allgemeinere, schon gemachte fallen, eine große Anzahl von Spezialfällen, von deren Wichtigkeit wir uns nicht überzeugen können, eine Menge von komplizierten Formeln, deren Nutzen wir nicht einsehen. Trotz dieser Fehler — die ich anführen muß, um die geringe Anzahl der Leser, die sie heute findet, zu begründen — kann man nicht verkennen, daß die letzte Arbeit von Plücker reich an originellen Blicken ist, und es würde die Lektüre derselben jedem zu raten sein, der das Studium dieses Teiles der Geometrie unternehmen will, wenn nicht die Nachfolger

Plückers seine Untersuchungen in besserer Form auseinandergesetzt und mit anderen Methoden ausgeführt, und jene Gedanken, die er nur hingeworfen hat, größtenteils entwickelt hätten.

Plücker hatte nicht die Zeit, die Theorie der Komplexe zweiten Grades zu vollenden, da der Tod ihn traf, als er gerade im Begriffe stand, den zweiten Teil seines Buches zu veröffentlichen; aber die Untersuchungen, die er unvollendet zurückließ, wurden von seinem Schüler F. K l e i n[^[615]] zu Ende geführt. Ihm verdanken wir nicht nur den allgemeinen Begriff der Koordinaten einer Geraden und eine Anzahl sehr schöner Lehrsätze über die Komplexe zweiten Grades, sondern auch verschiedene allgemeine und außerordentlich fruchtbare Ideen über die Geometrie der Geraden. In der That ist es K l e i n, der, einen Gedanken seines Lehrers präzisierend, die Bemerkung machte, daß man die Geometrie der Geraden ansehen könne als das Studium einer quadratischen Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen, enthalten in einem linearen Raume von fünf Dimensionen, und zeigte, daß jeder Komplex durch eine einzige Gleichung zwischen den Koordinaten einer Geraden darstellbar ist. Daß diese Bemerkung und dieser Lehrsatz von der größten Bedeutung für den Fortschritt der Geometrie der Geraden seien, wurde in glänzender Weise durch die schönen Untersuchungen meines lieben Freundes S e g r e[^[616]] gezeigt, die mit denen von K l e i n innig zusammenhängen.

Gleichzeitig mit Klein beschäftigten sich P a s c h,[^[617]] Z e u t h e n,[^[618]] D r a c h,[^[619]] später auch P a o l i s[^[620]] wiederholt