Transcriber's Note:
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German Science Reader

AN
INTRODUCTION
TO
SCIENTIFIC GERMAN
FOR
STUDENTS OF PHYSICS, CHEMISTRY AND ENGINEERING
BY
CHARLES F. KROEH, A. M.
Professor of Modern Languages in Stevens Institute of Technology.

HOBOKEN. N. J.
PUBLISHED BY THE AUTHOR.

PREFACE.

The aim of this Reader is not merely to afford the student a certain amount of experience in reading scientific German, but to attack the subject systematically. The selections are not chosen at random. They are arranged progressively and consist of fundamental definitions, descriptions, processes and problems of Arithmetic, Algebra, Geometry, Physics and Chemistry. These are linguistically the most important subjects for scientific and engineering students to read first, because they contain the terms and modes of expression which recur in all subsequent reading, and because they contain these terms in the simplest possible connections. A student who has mastered these pages will find no difficulty in reading any scientific German he may meet in his professional work.

To the Student.—Do not be content with simply translating these selections. Let your object be to acquire first a good working vocabulary for all future time and secondly the ability to understand German by merely reading it. Both ends are gained by reading over the German several times after you have translated it. The best way is to read it aloud, observing pauses and emphasis, as if you were communicating the thoughts of the book to another person. Pronouncing words, phrases and sentences is a great help to the memory.

A GERMAN SCIENCE READER.

1.

ARITHMETIK UND ALGEBRA.

Study carefully the notes (beginning page 97) to which the small numbers in the text refer.

Arithmetik ist ein Fremdwort, das auf deutsch Zahlenlehre bedeutet.

1 + 2 = 3 wird gelesen: eins und zwei (oder eins plus zwei) ist drei.

25 - 13 = 12 wird gelesen: 25 weniger (oder minus) 13 ist 12.

2 × 3 = 6 wird gelesen: 2 mal 3 ist 6.

72 ÷ 6 = 12 wird gelesen: 72 dividiert durch 6 ist 12.

Alle Posten [1] zusammengenommen sind der Summe gleich.

Die Differenz kann als diejenige Zahl betrachtet werden, welche übrig bleibt, wenn man den Subtrahend vom Minuend wegnimmt; oder als diejenige Zahl, welche man zum Subtrahend addieren muss, um den Minuend zu erhalten; oder auch als diejenige Zahl, welche man vom Minuend abziehen muss, um den Subtrahend zu erhalten.

Besteht [2] eine Zahl aus zwei Faktoren, so ist der eine Faktor gleich dem Produkt dividiert durch den anderen Faktor.

Der Divisor ist die teilende, der Dividend die zu teilende Zahl.

Der Quotient ist gleich dem Dividend, wenn man denselben durch den Divisor dividiert.

Der Dividend ist ein Produkt aus dem Quotienten und dem Divisor.

Wievielmal [3] grösser man den Dividend macht, sovielmal grösser wird dadurch auch der Quotient.

Multipliziert man den Dividend und ebenso den Divisor mit einer und derselben Zahl, so bleibt der Quotient unverändert.

Je kleiner man den Divisor macht, desto grösser wird der Quotient.

Um [4] einen n mal grösseren Quotienten zu erhalten, kann man entweder den Dividenden n mal grösser oder aber [5] den Divisor n mal kleiner machen.

Brüche. In je mehr Teile ein bestimmtes Ganzes geteilt wird, desto kleiner werden die Teile.

Je grösser der Zähler eines Bruches bei gleichem Nenner ist, desto grösser ist sein Wert.

Um einen Bruch seinem Werte nach [6] n mal kleiner zu erhalten, kann man entweder einen Zähler durch n dividieren oder seinen Nenner mit n multiplizieren.

Wird eine Zahl mit 10 multipliziert, so erhält jede Art der Einheiten [7] derselben den zehnfachen früheren Wert, und daher den Namen der nächst höheren Art von Einheiten.

Schriftlich [8] wird dies angedeutet, indem [9] man jede Ziffer in die nächst höhere Stelle rückt, welches dadurch bewirkt wird, dass man das Dezimalzeichen um eine Stelle von der Linken gegen die Rechte rückt.

Ist die Zahl eine ganze Zahl, so wird die [10] dadurch leer werdende Stelle der Einer mit einer Null ausgefüllt.

Um einen gegebenen Dezimalbruch mit einer ganzen Zahl zu multiplizieren, betrachte man ihn als eine ganze Zahl und schneide sodann vom Produkte soviele Dezimalstellen ab, als deren der gegebene Dezimalbruch enthält.

2.

Eine Zahl enthält den Faktor 9 und ist daher durch 9 teilbar, wenn die Quersumme [1] der Ziffern, mit welcher die Zahl geschrieben wird, durch 9 teilbar ist.

Eine Zahl enthält den Faktor 11 und ist also [2] durch 11 teilbar, wenn die Quersumme der ersten, dritten, fünften, siebenten etc. (d. h.[8] der ungeradstelligen [3]) gleich der Quersumme der 2., 4., 6., 8., etc. (d. h. der geradstelligen) Ziffern, von der Rechten gegen die Linke gezählt, ist, oder die Differenz dieser beiden Quersummen 11 oder ein Mehrfaches [4] von 11 beträgt.

Nur Brüche mit gleichen Nennern [5] können addiert und subtrahiert werden.

Gleichnamige Brüche werden addiert, indem man ihre Zähler [5] addiert.

Brüche mit ungleichen Nennern werden addiert oder subtrahiert, indem man [6] sie zuerst in Brüche mit gleichen Nennern verwandelt, und diese sodann addiert oder subtrahiert.

Man zerlege die Nenner der gegebenen Brüche in ihre Grundfaktoren,[7] d. h. in ihre kleinsten Faktoren.

Man nehme aus der Reihe dieser Grundfaktoren zur Bildung des gemeinschaftlichen Nenners so viele als zur Darstellung jedes einzelnen Nenners, an und für sich [9] betrachtet, nötig sind.

Aus den auf diese Weise ausgewählten Grundfaktoren bildet man sodann ein Produkt; dieses ist alsdann der kleinste gemeinschaftliche Nenner.

Unter Brüchen von gleichen Nennern und ungleichen Zählern ist derjenige der grössere und beziehungsweise [10] der grösste, welcher den grösseren bezw. den grössten Zähler hat, und umgekehrt; und zwar: wievielmal grösser oder kleiner der Zähler eines Bruches als der Zähler eines anderen Bruches ist, sovielmal grösser oder kleiner ist auch der Wert des einen als der Wert des anderen Bruches.

Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multipliziert, entweder (a) indem man den Zähler mit der ganzen Zahl multipliziert; oder (b) indem man den Nenner durch die ganze Zahl dividiert.

Ein Bruch wird durch einen andern Bruch dividiert, indem man den Disivor umkehrt, (d. h. indem man dessen Nenner zum Zähler macht) und alsdann mit demselben multipliziert.

Das Verfahren, den grössten gemeinschaftlichen Faktor zweier Zahlen zu finden, besteht darin [11], dass man mit der kleineren der beiden Zahlen in die grössere, mit dem hierbei erhaltenen Reste in den vorigen Divisor, mit dem hierbei bleibenden Reste in den nächst vorhergehenden Divisor etc. dividiert. Erhält man endlich keinen Rest mehr, so zeigt dies an, dass der letzte Divisor der grösste gemeinschaftliche Faktor der beiden betreffenden [12] Zahlen ist.

Man findet das vierte Glied [12] einer geometrischen Proportion, indem man das Produkt des zweiten und dritten Gliedes durch das erste Glied dividiert.

Das Produkt der äusseren Glieder ist gleich dem Produkt der inneren Glieder. Das erste Hinterglied [13] verhält sich zum ersten Vorderglied [13], wie das zweite Hinterglied zum zweiten Vorderglied.

Eine Progression heisst steigend, wenn jedes folgende Glied derselben grösser; fallend, wenn jedes folgende Glied kleiner ist als das vorhergehende.

3.

AUFGABEN.

1. Die Zahl 5 soll [1] erhoben werden: a) ins Quadrat [2], b) in den Kubus, c) ins Biquadrat, d) in die fünfte Potenz.

2. Aus 64 soll ausgezogen werden: a) die Quadratwurzel, b) die Kubikwurzel.

3. Bei einem Geschäfte verdienen 5 Arbeiter in 42 Tagen bei 8stündiger Arbeit $210. Was würden 9 Arbeiter in 35 Tagen bei 10stündiger Arbeit verdienen?

Auflösung. Je mehr Arbeiter, desto mehr Verdienst; also setzt man 5:9. Je weniger Tage, desto weniger Verdienst; also 42:35. Je mehr Stunden, desto mehr Verdienst; also 8:10. Nun multipliziert man $210 mit dem Produkt aus den Hintergliedern und dividiert durch das Produkt aus den Vordergliedern, was man dadurch vereinfacht [3], dass man erst die gemeinschaftlichen Faktoren herausnimmt.

4. Ein Kaufmann findet, dass er durch einen glücklichen Handel mit seinem angelegten Kapital 15 Prozent gewonnen hat und dass dasselbe dadurch auf $15,571 angewachsen ist. Was war sein angelegtes Kapital? Antwort: $13,540.

5. Ein Vater sagt zu seinem Sohne: Gegenwärtig bin ich gerade sechsmal so alt als du; nach zwölf Jahren werde ich nur dreimal so alt sein als du; wie alt ist der Vater und wie alt der Sohn?

Auflösung. Es sei [4] x das gegenwärtige Alter des Sohnes; also ist 6x das des Vaters.

In 12 Jahren ist der Sohn x+12 und der Vater 6x+12 Jahre alt.

Da des Vaters Alter dann 3mal das des Sohnes beträgt [5], so muss man das des Sohnes mit 3 multiplizieren, um die Gleichung 6x+12=3x+36 zu erhalten.

Indem man nun die x zur linken und die Zahlen zur rechten des Gleichheitszeichens sammelt, erhält man 3x=24, oder x (das gegenwärtige Alter des Sohnes)=8, woraus 6x (das gegenwärtige Alter des Vaters)=48.

Beweis. Die Rechnung stimmt [6], denn in 12 Jahren hat der Sohn 8+12=20 und der Vater 48+12=60 Jahre, ist also dreimal so alt.

6. Zwei Kapitalisten berechnen ihr Vermögen. Es ergiebt sich, dass der eine doppelt so reich ist als der andere und dass sie zusammen $38,700 besitzen. Wie reich ist nun jeder?

7. Alle meine Reisen zusammen, erzählt ein Reisender, belaufen [7] sich auf 3040 Meilen; davon machte ich 3-1/2 mal so viel zu Wasser als zu Pferde, und 2-1/3 mal so viel zu Fuss als zu Wasser. Wie viele Meilen reiste dieser Mann auf jede von den drei erwähnten Arten? (240, 840, 1960).

8. Unter 3 Personen, A, B, C, sollen $1170 nach Verhältnis ihres Alters verteilt werden. Nun ist B um den dritten Teil älter, C aber doppelt so alt als A. Wie viel erhält jeder? (A 270, B 360, C 540).

9. Es werden 3 Zahlen von der folgenden Beschaffenheit [8] gesucht. Wenn man von der ersten 4 abzieht und ebensoviel der zweiten zusetzt, so verhält [9] sich der Rest zur Summe wie 1 zu 2. Zieht [10] man von der zweiten 10 ab und setzt zur dritten ebensoviel zu, so verhält sich der Rest zur Summe wie 3 zu 10. Zieht man aber von der ersten 5 ab und setzt diese der dritten zu, so verhält sich der Rest zur Summe wie 3 zu 11. Welche Zahlen sind es? (20, 28, 50).

4.

10. Eine Wittwe soll [1], nach dem Testamente ihres verstorbenen Ehemannes, mit ihren 2 Söhnen und 3 Töchtern eine Summe von $7500 teilen; und zwar [2] soll jeder Sohn doppelt so viel bekommen wie jede Tochter, sie selbst aber gerade so viel [3] wie ihre Kinder zusammengenommen und noch überdies [4] $500. Wie viel wird die Wittwe und jedes ihrer Kinder bekommen? (4000, 1000, 500).

11. Aus einem gewissen Orte wird ein Bote abgeschickt, der alle 5 Stunden 7 Meilen zurücklegt [5]. 8 Stunden nach seiner Abreise wird ihm ein zweiter nachgeschickt, und dieser muss, um jenen einzuholen, alle 3 Stunden 5 Meilen machen. Wann werden sie sich begegnen? (Antwort: 42 Stunden nach der Abreise des zweiten Couriers).

12. Um Zwölfe stehen beide Zeiger einer Uhr über einander. Wann und wie oft werden diese Zeiger in den nächsten 12 Stunden wieder übereinander stehen? (Antwort: 11 mal, 5-5/11 Minuten nach Eins und in jeder folgenden Stunde 5-5/11 Minuten später).

13. Drei Maurer sollen eine Mauer aufführen. Der erste kann 8 Kubikfuss in 5 Tagen, der zweite 9 Kubikfuss in 4 Tagen, und der dritte 10 Kubikfuss in 6 Tagen zu Stande bringen [6]. Wie viel Zeit werden diese 3 Maurer brauchen, wenn sie gemeinschaftlich arbeiten, um 756 Kubikfuss von dieser Mauer aufzuführen? (137-13/331).

14. Ein Hund verfolgt einen Hasen. Ehe der Hund zu laufen anfängt, hat der Hase schon 50 Sprünge gemacht. Wenn nun der Hase in eben [7] der Zeit 6 Sprünge macht, in welcher der Hund 5 Sprünge tut, und 9 Hasensprünge gleich 7 Hundesprüngen sind, wie viele Sprünge wird der Hase noch machen können, ehe der Hund ihn einholt? (700).

15. Ein Kaufmann ist genötigt,[8] um eine dringende Schuld zu bezahlen, eine gewisse Waare auf den Einkaufspreis herabzusetzen.[9] Wegen schlechter Buchführung kennt er weder das Gewicht noch den Einkaufspreis. Er erinnert sich nur so viel, dass er, wenn er das Pfund für .30 verkauft hätte, $12 daran gewonnen, und wenn er es für .22 verkauft hätte, $36 daran verloren haben würde. Wie gross war nach diesen Angaben [10] das Gewicht der Waare und der Einkaufspreis? (600 Pfund, .28).

16. Eine Bäuerin bringt Eier zu Markte, mehr als 100 aber weniger als 200. Sie ist unschlüssig, ob sie dieselben nach Mandeln [11] oder Dutzenden verkaufen soll; denn im ersten Fall bleiben ihr 4, im zweiten 10 Eier übrig. Wie viele Eier hat sie demnach? (154.)

17. Es soll eine Zahl gefunden werden, deren Quadrat diese Zahl um [12] 306 übertrifft. Welche Zahl ist es? (18.)

18. 37 Pfund Zinn verlieren im Wasser 5 Pfund, und 23 Pfd. Blei verlieren im Wasser 2 Pfd.; eine Komposition von Zinn und Blei, welche 120 Pfd. wiegt, verliert im Wasser 14 Pfd. Wie viel Zinn und wie viel Blei befinden sich darin? (74 Zinn, 46 Blei.)

19. Es werden zwei Zahlen gesucht, deren Summe 70 und deren Differenz 16 ist. Welche Zahlen sind es? (43, 27.)

20. Zwei Zahlen sind durch folgende Merkmale [13] gegeben: Vergrössert man die erste um 4, so wird sie 3-1/4 mal so gross als die zweite; vergrössert man aber die zweite um 8, so wird sie erst halb so gross als die erste. (48, 16.)

21. Ein König in Indien, Namens Sheran, verlangte, nach dem Berichte [14] des arabischen Schriftstellers Asephad, dass Sessa, der Erfinder des Schachspiels, sich selbst eine Belohnung wählen sollte. Dieser erbat sich hierauf die Summe der Weizenkörner, die herauskommt, wenn eins für das erste Feld [15] des Schachbretts, 2 für das zweite, 4 für das dritte, und so immer für jedes der 64 Felder doppelt so viele Körner als für das vorhergehende gerechnet werden. Als gerechnet wurde, fand man, zum Erstaunen des Königs, eine ungeheure Summe. Welche? Antwort: 18,446,744,073,709,551,615, eine Summe, welche auf der ganzen Erde, nach einer mässigen Berechnung, erst in mehr als 70 Jahren gewonnen werden könnte, wenn man auch [16] alles feste Land zum Anbau von Weizen benutzte.

5.

GEOMETRIE.

Eine gerade Linie ist diejenige, welche nicht aus ihrer Lage kommt, wenn sie sich um zwei in ihr liegenden festen Punkte, z. B.[1] um ihre Endpunkte, dreht.

Die [2] beiden einen Winkel bildenden Linien BA, BC, heissen die Schenkel, und der Punkt B, in welchem sie zusammenstossen, der Scheitel (der Scheitelpunkt, die Spitze) des Winkels.

Zwei Winkel, welche einen Scheitel gemein haben und deren beiden andern Schenkel eine gerade Linie bilden, heissen Nebenwinkel.

Alle Winkel, welche an einerlei [3] Seite einer geraden Linie liegen und einen Scheitel in derselben gemein haben, betragen zusammen zwei rechte Winkel.

Wenn zwei gerade Linien sich schneiden, so sind je zwei gegenüber liegende Winkel, welche man Scheitelwinkel nennt, einander gleich.

Alle Winkel, welche rings um einen gemeinschaftlichen Scheitelpunkt liegen, betragen zusammen immer vier rechte.

Zwei Dreiecke sind kongruent [4], wenn sie zwei Seiten und den [5] von denselben eingeschlossenen Winkel wechselweise gleich haben.

Aufgabe. Es [6] sind alle drei Seiten, a, b, c, eines Dreiecks gegeben; es soll das dadurch bestimmte Dreieck gezeichnet werden.

Auflösung. Man stecke [7] eine der gegebenen Seiten, z. B. a in der Linie BC ab, beschreibe aus dem einen Endpunkt B mit der Seite c als Radius einen Bogen mn, ebenso aus C mit der Seite b als Radius einen zweiten Bogen pq, und ziehe von dem Durchschnittspunkt A der beiden Bögen Gerade nach B und C, so ist ABC das verlangte Dreieck.

Aufgaben. 1. Auf einer Linie BH in einem bestimmten Punkte D eine Senkrechte zu errichten.

2. Eine gegebene Linie zu halbieren.

3. Von einem ausserhalb einer Linie GH gegebenen Punkte A eine Senkrechte auf dieselbe zu fällen.

Wenn zwei Parallelen von einer dritten Linie geschnitten werden, so entstehen acht Winkel:

I. Auf einerlei Seite der Schneidenden:
1. Innere Winkel innerhalb der Parallelen.
2. Aeussere Winkel ausserhalb der Parallelen.
3. Korrespondierende oder gleichliegende Winkel (oder Gegenwinkel) auf einerlei Seite der Parallelen, beide unterhalb oder beide oberhalb.
II. Auf verschiedenen Seiten der Schneidenden:
Wechselwinkel: innere, äussere, korrespondierende.

Wenn zwei Linien gegen eine dritte eine solche Lage haben, dass die inneren Wechselwinkel gleich sind, so sind die Linien parallel.

In jedem Dreieck ist die Summe aller Winkel gleich zwei rechten.

Ein Dreieck kann also [8] nur einen rechten oder nur einen stumpfen Winkel enthalten; die beiden andern müssen alsdann [9] spitz sein.

Der Aussenwinkel am Dreieck ist gleich der Summe der beiden innern gegenüber liegenden Winkel.

Unter Aussenwinkel ist derjenige gemeint, den die Verlängerung einer Seite mit der daran stossenden [10] bildet.

6.

Der Kreis ist eine [1] von einer krummen Linie so begrenzte ebene Figur, dass alle ihre Punkte von einem innerhalb liegenden Punkte, den man Mittelpunkt oder Centrum (Zentrum) nennt, gleich weit entfernt sind.

Die [2] vom Mittelpunkt des Kreises auf eine Sehne [3] gefällte Senkrechte halbiert die Sehne und den dazu gehörigen [4] Bogen.

Aufgabe. Durch 3 ganz beliebig [5] gegebene, jedoch nicht in gerader Linie liegende Punkte A, B, C, einen Kreis zu beschreiben.

Auflösung. Man verbinde zwei und zwei Punkte AB und BC, so kann man die Linien AB und BC als Sehnen des zu beschreibenden Kreises betrachten. Errichtet man also auf deren Mittel Perpendikel, so muss jedes derselben durch den gesuchten Mittelpunkt gehen.

Der Centriwinkel [6] ist immer doppelt so gross als der auf demselben Bogen stehende Peripheriewinkel [7].

Jeder Winkel im Halbkreise ist ein rechter Winkel.

In jedem Parallelogramm sind die gegenüber liegenden Seiten und Winkel einander gleich, und eine Diagonale teilt es in zwei kongruente Dreiecke.

Parallelogramme von gleicher Grundlinie und Höhe sind inhaltsgleich.[8]

Der Inhalt eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt aus Grundlinie und Höhe.

DER PYTHAGORAEISCHE LEHRSATZ.

Der Pythagoräische Lehrsatz. In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse so gross wie die Quadrate der beiden Katheten [9] zusammengenommen.

Beweis. Sei [10] CAB ein bei A rechtwinkliges Dreieck, und seien über seinen drei Seiten Quadrate errichtet, so soll die Fläche des auf der Hypotenuse BC stehenden Quadrats allein so gross sein wie die Flächen der [11] beiden auf den Katheten AC und AB stehenden Quadrate zusammengenommen. Aus dem Scheitel A des rechten Winkels sei AL parallel zu CH gezogen, so ist dadurch das Quadrat der Hypotenuse in zwei Rechtecke CHLK und LKBJ geteilt, und es lässt [12] sich nun zeigen, dass jedes der beiden Rechtecke seinem benachbarten Quadrate an Inhalt gleich ist. Zieht man nämlich noch die Hülfslinien [13] AJ und CG, so haben die beiden Dreiecke ABJ und CBG zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel gleich, nämlich JB=CB.

(Man denke sich das Dreieck CBG um den Punkt B gedreht, so fällt der Punkt C auf J und G auf A.)

Das Dreieck ABJ hat nun mit dem Rechteck LKBJ einerlei Grundlinie BJ und gleiche Höhe KB; ebenso haben das Dreieck CBG und das Quadrat ABGF einerlei Grundlinie BG und gleiche Höhe AB, daher: △ ABJ=1/2 Rechteck KBJL und CBG=1/2 Quadrat ABGF. Da nun die beiden Dreiecke ABJ und CBG gleich gross sind, so ist auch 1/2 Rechteck KBJL=1/2 Quadrat ABGF, also auch das ganze Rechteck so gross wie das ganze Quadrat.

Ebenso zeigt man an der andern Seite, indem man [14] die Hülfslinien AH und BD zieht, dass auch das Rechteck CHLK dem Quadrat ACDE an Fläche gleich ist, und folglich auch beide Rechtecke zusammen, d. i.[15] das Quadrat der Hypotenuse, so gross ist, wie die Summe der Quadrate der beiden Katheten.

Zusatz. Das Quadrat der einen Kathete ist so gross wie das Quadrat der Hypotenuse weniger dem Quadrat der andern Kathete.

7.

Parallellinien. Zwei gerade Linien, welche in einerlei Ebene liegen und nach keiner Seite hin [1] zusammentreffen, wie weit [2] man sie auch verlängert denken mag, heissen parallel (gleichlaufend [3]).

Wenn man auf dem einen Schenkel eines Winkels gleiche Stücke abschneidet und durch die Teilpunkte Parallele an den andern Schenkel zieht, so schneiden diese auch auf dem andern Schenkel gleiche Stücke ab.

Parallelen zwischen den Schenkeln eines Winkels schneiden auf denselben proportionale Stücke ab.

Zwei Figuren heissen ähnlich, wenn sie gleichwinklig sind und die [4] in gleicher Ordnung zwischen gleichen Winkeln liegenden Seiten dasselbe Verhältnis zu einander haben.

In ähnlichen Dreiecken sind die [5] den gleichen Winkeln gegenüber liegenden Seiten proportional.

Die Umfänge ähnlicher Figuren verhalten sich [6] wie zwei ähnlich liegende Seiten, ihre Inhalte aber wie die Quadrate ähnlich liegender Seiten.

Wenn in einer Proportion die beiden innern Glieder gleich sind, wie in 2:6=6:18, so heisst eines der gleichen mittlern Glieder die mittlere Proportionale oder das geometrische Mittel der beiden äussern.

Das Perpendikel von einem beliebigen Punkte der Peripherie eines Kreises auf den Durchmesser ist die mittlere Proportionale zwischen den beiden Abschnitten des Durchmessers.

Die [7] vom Scheitel des rechten Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks auf die Hypotenuse gefällte Senkrechte ist das geometrische Mittel zwischen den Abschnitten der Hypotenuse.

Jede der beiden Sehnen ist die mittlere Proportionale zwischen dem anliegenden [8] Abschnitt des Durchmessers und dem ganzen Durchmesser.

Jede Kathete ist das geometrische Mittel zwischen dem anliegenden Abschnitt der Hypotenuse (begrenzt durch die Höhe auf derselben) und der Hypotenuse selbst.

Aufgabe. Ein Quadrat zu zeichnen, welches so gross ist wie ein gegebenes Rechteck; mit anderen Worten, ein gegebenes Rechteck PBDE in ein an Inhalt gleiches Quadrat zu verwandeln.

Auflösung. Es kommt nur darauf an,[9] zu den beiden gegebenen Seiten des Rechtecks PE und PB die mittlere Proportionale x zu finden, so dass PE:x=x:PB, denn dann ist x²=PE.PB.

Man füge also PE geradlinig an PB, so dass AP=PE, beschreibe über AB, als Durchmesser, einen Halbkreis, errichte in P auf AB das Perpendikel MP, so ist das über dieses Perpendikel konstruierte Quadrat MPQR das verlangte, weil MP²=AP.PB=PE.PB.

8.

Ein Vieleck heisst regelmässig, wenn alle Seiten und alle Winkel gleichgross sind.

Um um [1] einen Kreis ein regelmässiges Viereck zu beschreiben, dessen Seiten mit denen des eingeschriebenen parallel sind, halbiere [2] man einen Bogen in M, ziehe durch M eine Tangente, welche die verlängerten Radien CB, CD in T und H schneidet, dann ist HT eine Seite des umschriebenen Vierecks, welche man nur in dem mit CT als Halbmesser beschriebenen zweiten Kreise herumzutragen [3] braucht.

Der Inhalt eines [4] um den Kreis beschriebenen regelmässigen Vielecks ist gleich der Fläche [5] eines Dreiecks, dessen Grundlinie gleich dem Umfang des Vielecks, und dessen Höhe gleich dem halben Radius des Kreises ist.

Der Flächeninhalt eines Kreises ist so gross wie der eines Dreiecks, dessen Grundlinie gleich dem Umfange und dessen Höhe gleich dem Halbmesser des Kreises ist.

KOERPERLICHE [6] GEOMETRIE.

So wie man eine gerade Linie nach beiden Enden hin bis in's Unendliche [7] verlängert denken kann, so kann man sich auch eine Ebene nach allen Seiten hin bis ins Unendliche ausgedehnt denken.

Durch zwei Punkte A und B, oder durch die sie verbindende gerade Linie kann man unzählige Ebenen legen (führen).

Körper [8] heisst jeder nach allen Richtungen hin begrenzte Raum. Die Summe aller ihn begrenzenden Flächen heisst die Oberfläche des Körpers.

Die Linien, in welche sich irgend zwei [9] den Körper begrenzende Ebenen schneiden, heissen Kanten.

An den Punkten, in welchen drei oder mehrere Grenzebenen zusammenstossen, entsteht [10] das, was man, von aussen betrachtet, eine Ecke, von innen gesehen, einen körperlichen Winkel nennt.

Jeder Körper, dessen Grundflächen [11] kongruente Vielecke, und dessen Seitenflächen, welche die parallelen Seiten dieser Vielecke verbinden, Parallelogramme sind, heisst ein Prisma, und zwar [12] ein dreiseitiges, vierseitiges etc., je nachdem die Grundflächen Dreiecke, Vierecke etc. sind.

Walze oder Cylinder (Zylinder) heisst jeder prismatische Körper, der zwei kongruente und parallele Kreise zu Grundflächen hat und dessen Seitenfläche (Mantel) eine einzige solche krumme Fläche ist, deren sämmtliche mit der Grundfläche parallele Durchschnitte der Grundfläche gleich sind.

Man unterscheidet gerade und schiefe Cylinder, je nachdem ihre Achse senkrecht oder schief auf der Grundfläche steht.

Würfel oder Kubus heisst jedes Parallelopiped, dessen Grundflächen und Seitenflächen Quadrate sind, die folglich gleich und senkrecht auf einander sind.

Kegel heisst jeder pyramidische Körper, dessen Grundfläche gewöhnlich ein Kreis, und dessen Seitenfläche (Mantel) eine einzige solche krumme ist, dass darin von der Spitze nach jedem Punkte der Peripherie der Grundfläche eine gerade Linie gezogen werden kann.

9.

Die Seitenfläche eines geraden Prismas wird erhalten, indem man den Umfang mit der Höhe multipliziert.

Pyramiden von gleich grosser Grundfläche und Höhe sind inhaltsgleich.[1]

Der Inhalt einer Pyramide ist gleich dem dritten Teil vom Produkte aus Grundfläche und Höhe, oder, was dasselbe sagt, gleich der Grundfläche mit einem Drittel der Höhe multipliziert.

Man kann den Kegel als eine Pyramide betrachten, deren Grundfläche ein regelmässiges Vieleck von unendlich vielen Seiten ist.

Der Cylinder kann als ein regelmässiges Prisma von unendlicher Seitenzahl betrachtet werden.

Was die Mantelfläche [2] des geraden Cylinders betrifft, so kann man sich dieselbe vom Cylinder abgewickelt denken und erhält dann offenbar ein Rechteck, dessen Höhe die Höhe des Cylinders, und dessen Grundlinie gleich dem Umfange der Grundfläche (2πr) ist.

Die Kugel ist ein Körper von einer einzigen krummen Fläche dergestalt [3] begrenzt, dass alle Punkte derselben von einem innerhalb liegenden Punkt gleich weit entfernt sind.

Ein [4] von einem grössten Kreis begrenzter Abschnitt heisst Halbkugel.

Die Oberfläche einer Kugel ist viermal so gross als die Fläche eines grössten Kreises, und der Inhalt der Kugel so gross als der eines Kegels, dessen Grundfläche gleich der Oberfläche, und dessen Höhe gleich dem Radius der Kugel ist. (F=4πr². V=4/3 πr³).

Man denke sich einen Cylinder, einen Kegel und eine Kugel gezeichnet, so dass die Radien aller drei Körper gleich sind, und die Höhe des Kegels und des Cylinders gleich dem doppelten Radius sind. Wie verhalten [5] sich diese drei Körper, Kegel, Kugel und Cylinder hinsichtlich ihres Kubikinhalts zu einander? Antwort: wie 1:2:3. Dieses merkwürdige Verhältniss entdeckte Cicero auf einem [6] dem Archimed in Syrakus gesetzten Denkmale.

Die Inhalte ähnlicher Körper verhalten sich wie die Kuben ähnlich liegender Seiten.

Zwei Körper heissen ähnlich, wenn die körperlichen Winkel wechselweise gleich sind, und je zwei ähnlich liegende Kanten dasselbe Verhältnis zu einander haben. Alsdann sind offenbar auch die Seitenflächen ähnlich und beide Körper an Form vollkommen gleich, und nur an Grösse verschieden.

Zwei Körper heissen symmetrisch (ebenmässig), wenn alle entsprechenden Bestandtheile derselben, wie Ecken, Winkel, Seitenflächen etc., einzeln genommen einander vollkommen gleich sind, jedoch in der Zusammensetzung gerade entgegengesetzte Lage haben, so dass dasselbe Stück, welches bei dem einen Körper rechts, oben etc., in dem andern links, unten etc. liegt.

10.

DIE PHYSIK.

Die Physik beschäftigt sich im Wesentlichen [1] mit gewissen Erscheinungen und Veränderungen an leblosen Naturkörpern, welche nicht von einer Aenderung des Stoffes begleitet sind.

Ein Naturkörper ist ein allseitig [2] begrenzter Teil des Raumes, welcher mit Stoff (Materie, Substanz) ausgefüllt ist.

Ein jeder Körper besitzt eine gewisse Ausdehnung; er dehnt sich nach allen Richtungen aus. Man unterscheidet drei Hauptrichtungen: Länge, Breite und Höhe (Dicke).

Zur Messung von Längen dient das Längenmass, dessen Einheit [3] das Meter (m) bildet; dasselbe ist der vierzigmillionste Teil des Erdumfangs von Pol zu Pol gemessen. Die Einheit des Flächenmasses ist das Quadratmeter (qm oder m²).

Die Einheit des Raummasses ist das Kubikmeter (cbm oder m³).

Die gesetzliche Längeneinheit bildet das [4] von der Internationalen Kommission der Masse und Gewichte in Paris aufbewahrte Normalmeter aus Platiniridium.

Allgemeine Eigenschaften [5] des Stoffs. Die Undurchdringlichkeit ist diejenige Eigenschaft des Stoffs, vermöge deren an dem Ort, wo sich ein Naturkörper befindet, nicht gleichzeitig ein zweiter existieren kann. Diese Eigenschaft ist uns an den starren [6] und flüssigen Körpern durch die tägliche Erfahrung geläufig [7]. Weniger auffallend ist sie bei den luftförmigen Körpern. Sie zeigt sich indessen z. B., wenn man ein umgekehrtes Trinkglas unter Wasser drückt: das Wasser füllt dasselbe nicht an, weil die Luft nicht entweichen kann. (Hierauf beruht die Taucherglocke). Ebenso zeigt sich die Undurchdringlichkeit der Luft an den zerstörenden Wirkungen der Stürme.

Die Teilbarkeit der Körper ist ebenfalls Gegenstand der täglichen Erfahrung. Manche Körper sind in hervorragendem Masse teilbar, z. B. die edlen Metalle (das Gold lässt sich zu 0,0001 mm dicken Blättern ausschlagen), die Farbstoffe.

Mit dem Namen Porosität wird die allgemeine Thatsache bezeichnet, dass die Moleküle der Körper nicht dicht aufeinanderliegen, sondern dass sich mehr oder weniger grosse Zwischenräume zwischen denselben befinden, in welche unter Umständen die Moleküle anderer Körper eindringen können. So lässt sich durch kompakte Metalle mittelst starken Drucks Wasser hindurchtreiben, woraus wir schliessen müssen, dass die molekularen Zwischenräume oder Poren der Metalle grösser sind als die Moleküle des Wassers. Die Porosität im gewöhnlichen Sinne des Wortes, wie sie z. B. ein Schwamm oder ein Ziegelstein zeigt, ist selbstverständlich [8] keine allgemeine Eigenschaft der Körper.

Die Eigenschaft der Zusammendrückbarkeit und Ausdehnbarkeit ist eine Folge der Porosität. Sie beruht auf einer Aenderung der Grösse der Molekülzwischenräume durch äussern Druck oder Zug oder durch andere Einwirkungen, z. B. durch Erwärmen und Abkühlen.

In engem Zusammenhang mit der Volumänderung der Körper steht die allgemeine Eigenschaft der Elastizität, d. h. des Bestrebens der Moleküle, nach dem Aufhören des äusseren Zwanges ihre frühere Lage wieder anzunehmen.

11.

Das Beharrungsvermögen [1] im allgemeinsten Sinne bezeichnet diejenige Eigenschaft, wonach der Stoff von selbst keine Veränderungen erleidet, sondern hierzu äusserliche Einwirkungen erfordert, welche man Naturkräfte nennt. Man kann sogar sagen, der Stoff widersetzt sich den Veränderungen, oder er sucht in dem Zustande zu beharren, in dem er sich gerade [2] befindet. Dieses allgemeinste Prinzip aller Naturerklärung führt den Namen des Gesetzes von Ursache und Wirkung oder des Kausalgesetzes [3].

Ein ruhender Körper hat demnach das Bestreben, in Ruhe zu bleiben, während anderseits ein [4] etwa durch einen Stoss in Bewegung gesetzter Körper, wenn er durch keinerlei äussere Einwirkung daran verhindert würde, in gerader Linie und mit unveränderter Geschwindigkeit ins Unendliche sich fortbewegen würde. Dasselbe würde geschehen, wenn wir einen Körper in Drehung um eine Achse versetzten; auch diese Drehung würde mit unveränderlicher Drehungsgeschwindigkeit ins Unendliche fortdauern.

Der erste Teil des obigen Satzes wird fortwährend durch die tägliche Erfahrung bestätigt; hierauf beruht z. B. das Durchschlagen einer Fensterscheibe durch eine abgeschossene Kugel. Die Festigkeit [5] des Glases reicht nicht hin [6], um den Widerstand, mit dem sich die ruhende Scheibe der Annahme [7] der grossen Geschwindigkeit der Kugel widersetzt, zu überwinden; infolgedessen [8] bricht der von der Kugel unmittelbar getroffene Teil heraus, ehe die benachbarten Teile des Glases in so grosse Bewegung gerathen können, dass ein Springen der ganzen Scheibe eintritt. Legt man eine Münze auf einem Kartenblatt über die Mündung einer Flasche, so fällt sie beim Wegschnellen [9] des Kartenblatts in die Flasche.

Für den zweiten Teil des Satzes haben wir keine strengen Erfahrungsbeweise, weil auf der Erde jede Bewegung Widerstände erfährt und infolgedessen ein durch Stoss bewegter Körper nach längerer oder kürzerer Zeit zur Ruhe kommt.

Beispiele [10] für seit undenklichen Zeiten gleichmässige Drehungsbewegungen bieten die Achsendrehungen der Planeten.

Statt Beharrungsvermögen gebraucht man auch den weniger entsprechenden [11] Ausdruck Trägheit.

12.

Die Schwere äussert [1] sich als das Bestreben eines jeden Körpers, sich nach dem Erdmittelpunkte hin zu bewegen. Wird [2] demnach ein Körper an dieser Bewegung nicht verhindert, so setzt sich derselbe in der Richtung nach dem Erdmittelpunkte in Bewegung; wird jedoch durch eine feste Unterlage [3] oder durch Aufhängen diese Bewegung unmöglich gemacht, so übt [4] der Körper einen Druck oder Zug aus. Diesen Druck oder Zug nennt man das Gewicht des Körpers.

Die Fallbewegung geschieht also [5] an jedem Orte in der Richtung des Erdhalbmessers; dieselbe Richtung nimmt ein biegsamer Faden an, an welchem ein schwerer Körper aufgehängt ist (Lot [6]). Man nennt diese Richtung die lotrechte, senkrechte oder vertikale. Eine zu dieser Richtung rechtwinklige Ebene oder Linie nennt man wagerecht oder horizontal.

Um das Gewicht eines Körpers zu bestimmen, vergleicht man es mittels der Wage mit dem Gewichte bestimmter Körper, deren Gewichte bestimmte Vielfache [7] oder Bruchteile der Gewichtseinheit sind; dieselben nennt man kurz Gewichte.

Als Gewichtseinheit dient das Gramm (g), welches demjenigen Druck gleichgesetzt ist, den ein Kubikzentimeter Wasser von 4° C. auf seine Unterlage ausübt. (1000 Kilogramm (kg) sind eine Tonne (t), 100 kg sind 1 Meterzentner oder Doppelzentner.)

Ein Körper von doppeltem Volumen besitzt doppelt soviel, ein Körper von 10fachem Volumen 10mal soviel Gewicht als ein gleichartiger Körper von einfachem Volumen, oder allgemein: Das Gewicht eines Körpers ist dem Volumen proportional.

Gleich grosse Volumina verschiedenartiger Körper besitzen im Allgemeinen verschiedene Gewichte.

Man nennt das Gewicht der Volumeneinheit eines Körpers sein spezifisches Gewicht. Anstatt dessen giebt [8] man gewöhnlich an wie viel mal so gross das Gewicht eines Körpers ist als das Gewicht eines gleich grossen Volumens Wasser von 4° C. Diese unbenannte Zahl nennt man das relative Gewicht oder auch die Dichtigkeit oder Dichte, oder auch vielfach ebenfalls das spezifische Gewicht.

Dieses relative Gewicht erhält man, wenn man das Gewicht des Körpers durch das Gewicht eines gleichgrossen Wasservolumens dividiert. Ersteres bestimmt man mit der Wage; letzteres kann auf mehrfache Weise gefunden werden; z. B. mittels des Pyknometers [9]. So nennt man ein kleines Glaskölbchen mit engem Hals und trichterförmig erweiterter Mündung. Diese kann durch einen aufgelegten Glasdeckel verschlossen werden, um während der Wägung die Verdunstung zu verhindern. Es sei [10] nun P₁ das Gewicht des gut ausgetrockneten, leeren Pyknometers mit dem Glasdeckel. Man füllt dasselbe alsdann [11] bis zu etwa einem Drittel mit der zerkleinerten Substanz; das Gewicht sei jetzt P₂. Hierauf füllt man bis zu einer [12] an dem verengerten Halse angebrachten Marke mit Wasser und sorgt dafür, dass in der eingefüllten Substanz keine Luftblasen zurückbleiben; das Gewicht sei nun P₃. Endlich entfernt man die Substanz vollständig und füllt bis zur Marke mit Wasser; das Gewicht sei P₄. Alsdann ist das Gewicht der Substanz P=P₂-P₁, das Gewicht des gleichen Wasservolumens p=P₄+P₂-P₁-P₃ und das relative Gewicht D=P:p.

13.

Ruhe und Bewegung. Wenn ein Körper zu verschiedenen, aufeinander folgenden Zeiten verschiedene Orte und Lagen [1] einnimmt, so sagen wir, derselbe ist in Bewegung. Bleibt [2] Ort und Lage im Laufe der Zeit ungeändert, so sagen wir, der Körper ist in Ruhe.

Wir können folgende Arten der Bewegung unterscheiden:

1. Die Bewegung des ganzen Körpers gegen ausserhalb desselben gelegene [3] Körper oder die fortschreitende [4] Bewegung. Je nachdem die Aufeinanderfolge der Orte (der Weg oder die Bahn des Körpers) eine gerade oder krumme Linie bildet, unterscheidet man geradlinige und krummlinige Bewegungen.

2. Die Bewegungen der einzelnen Punkte eines Körpers um einen als fest angenommenen Punkt oder um eine feste Linie (Achse) des Körpers selbst, die drehenden Bewegungen. Alle Bewegungen können stets aus den beiden vorhergehenden Arten zusammengesetzt werden.

Die [5] von einem [6] in fortschreitender Bewegung begriffenen Körper zurückgelegten Wege sind entweder immer gleich gross, dann heisst die Bewegung gleichförmig; oder sie sind ungleich, dann heisst die Bewegung ungleichförmig oder veränderlich. Werden [7] im zweiten Falle diese Wege im Laufe der Zeit immer kleiner, so nennt man die Bewegung verzögert; werden sie grösser, beschleunigt.

Die Geschwindigkeit ist der [8] in der Zeiteinheit (gewöhnlich in einer Sekunde) zurückgelegte Weg. Die Geschwindigkeitszunahme in der Zeiteinheit heisst Beschleunigung, die Geschwindigkeitsabnahme heisst Verzögerung.

Unter Geschwindigkeit einer veränderlichen Bewegung in einem bestimmten Augenblick verstehen wir denjenigen Weg, den der Körper in der nächsten Zeiteinheit zurücklegen würde, wenn er sich von diesem Augenblick an nur infolge [9] seines Beharrungsvermögens, also gleichförmig, weiter bewegte.

In einem sehr kleinen Zeitabschnitt, welchen wir mit dt bezeichnen wollen, können wir die Geschwindigkeit v als unveränderlich ansehen. Der in diesem Zeitabschnitt zurückgelegte Weg, welcher ebenfalls sehr klein ist, sei ds. Dann ist v=ds/dt der Wert für die Geschwindigkeit einer beliebig [10] veränderlichen Bewegung in einem bestimmten Augenblick.

Eine gleichförmig beschleunigte oder verzögerte Bewegung kommt dadurch zu stande [11], dass auf einen Körper in der Richtung seiner Bewegung oder gegen dieselbe eine unveränderliche (konstante) Kraft wirkt.

In solchen Fällen lehrt die Erfahrung:

1. Bei [12] gleichen Massen verhalten sich die hervorgebrachten Beschleunigungen wie die wirkenden Kräfte.

2. Bei gleichen Kräften verhalten sich die Beschleunigungen umgekehrt wie die Massen.

3. Bei gleichen Beschleunigungen verhalten sich die Kräfte wie die Massen.

Das Gewicht z. B. ist eine konstante Kraft, welche auf jeden Körper auf der Erde einwirkt.

14.

Die Gewichtseinheit [1] kann gleichzeitig als Krafteinheit dienen. Man benutzt in der Mechanik das Kilogramm als Einheit der Kraft. Eine Kraft von 28 kg heisst [2] demnach, dass dieselbe 28 mal so gross ist, wie der Druck, welchen 1 l Wasser infolge der Schwere auf seine Unterlage ausübt, wenn g=9,806 m/sec² ist. (Man definiert jetzt 1 kg als das Gewicht von 1 l Wasser unter 45° geographische Breite [3] am Meeresspiegel [4], wo g=9,806 m/sec² ist).

Die Masseneinheit werden wir am bequemsten [5] so wählen, dass dieselbe durch die Einwirkung der Kraft 1 kg eine Beschleunigung von 1 m/sec² (=Einheit der Beschleunigung) erlangt. Die Masseneinheit wird demnach dargestellt [6] z. B. durch 9,81 l Wasser oder 1,40 l Zink etc.

Für die Berechnung der Masse eines Körpers erhalten wir die Regel: Die Masse ist gleich dem Gewicht dividiert durch die Schwerebeschleunigung unter 45° Breite.

So ist z. B. die Masse eines Eisenbahnzuges von 100 t [7] Gewicht = 100,000/98,06 = 10198 kg.sec²/m. Soll [8] also derselbe durch die Lokomotive eine Beschleunigung von 0,2 m/sec² erhalten, so muss deren Zugkraft=0,2.10198=2040 kg sein.[9]

Wir sagen, es wird mechanische Arbeit verbraucht, wenn ein Körper sich in Bewegung befindet, während Kräfte vorhanden sind, welche dieser Bewegung Widerstand leisten. Die Arbeit besteht also [10] kurz gesagt in einer Ueberwindung von Widerstandskräften und wird von denselben verbraucht. Diese verbrauchte Arbeit muss von anderen (den treibenden Kräften) geleistet werden.

Wenn der Widerstand verdoppelt oder verdreifacht wird, so nimmt [11] die erforderliche Arbeitsleistung in demselben Verhältniss zu, d. h. die Arbeit ist dem überwundenen Widerstand proportional. Ebenso ist die Arbeit proportional dem Wege, längs dessen der Widerstand überwunden wird. Bezeichnen wir somit den Widerstand oder die Kraft mit K, den Weg mit S und die Arbeit mit A, so ist A=KS.

Vorausgesetzt ist dabei, dass der Widerstand stets in der Richtung der Bewegung wirkt. Wirkt [12] eine Kraft rechtwinklig gegen eine Bewegung, so sucht sie dieselbe weder zu hindern noch hervorzubringen; alsdann wird weder Arbeit verbraucht noch geleistet.

Bildet die Kraft mit dem Weg einen Winkel a, so kann man entweder den Weg in eine mit ihr zusammenfallende Komponente, oder auch die Kraft in eine zum Wege rechtwinklige und in eine in seine Richtung fallende Komponente zerlegen. Nur die letztere leistet oder verbraucht Arbeit, deren Grösse ist A=KS cos a.

Als Arbeitseinheit dient das Meterkilogramm=1 mkg, d. h. diejenige Arbeit, welche geleistet werden muss, um einen Widerstand von 1 kg längs eines Weges von 1 m zu überwinden. Die Arbeitseinheit wird z. B. geleistet, wenn man ein Gewicht von 1 kg um [13] 1 m senkrecht in die Höhe hebt.

Die Gesammtarbeit [14] mehrerer gleichzeitig wirkender Kräfte ist gleich der Summe der Einzelarbeiten [15].

15.

Besitzt [1] ein Körper die Geschwindigkeit v, so besitzt er damit einen Arbeitsinhalt (lebendige Kraft, Bewegungsenergie) von der Grösse A=Mv²/2. Derselbe wird bei Steigerung der Geschwindigkeit des Körpers von 0 auf v vom Körper aufgespeichert [2], bei Verminderung [3] der Geschwindigkeit von v auf 0 wieder abgegeben.

Um z. B. eine Flintenkugel von 30 g Gewicht um [4] 4587 m senkrecht in die Höhe zu heben, bedarf es einer Arbeit von 0,03.4587=138 mkg. Um diese Höhe zu erreichen, musste [5] die Kugel eine Geschwindigkeit von 300 m/sec besitzen. Ihre Masse ist 0,03/9,806 = 0,00306 kg.sec²/m. Demnach ist Mv²/2 = 0,00306.300.300/2 = 138 mkg. Dieser Arbeitsinhalt wird beim Aufsteigen der Kugel zur Ueberwindung der Schwere gänzlich verbraucht. Fällt die Kugel wieder um 4587 m herab, so nimmt sie schliesslich wieder die Geschwindigkeit von 300 m/sec an, d. h. sie steigert ihren Arbeitsinhalt wieder auf 138 mkg. Die hierzu nötige Arbeit wird von der Schwere geleistet [6]. Streng genommen [7] sind diese Betrachtungen nur richtig, wenn kein Luftwiderstand vorhanden ist.

Wenn wir ein Gewicht heben, eine Feder spannen [8], Luft zusammen pressen, so leisten wir eine Arbeit, welche immer gemessen wird durch das Produkt aus widerstehender Kraft mal Weg.

Man nennt diese gewissermassen latent gewordene Arbeit Spannkraft [9] oder besser Energie der Lage.

Ausser der Grösse der geleisteten Arbeit ist bei Beurteilung [10] des Wertes einer Arbeitsleistung wesentlich die Zeit massgebend [11], in welcher sie geleistet wurde. Eine Dampfmaschine z. B., welche dieselbe Arbeit in dem dritten Teile der Zeit leistet, wie eine andere, ist hinsichtlich [12] ihrer Leistung dreimal so viel wert als letztere.

Der Wert einer Arbeitsleistung wird durch die in der Zeiteinheit (1 sec) geleistete Arbeit gemessen; diese nennt man Leistung oder Effect. Die Einheit der Leistung entspricht einer Arbeit von Meterkilogramm in 1 Sekunde = 1 Mkg/sec (gelesen 1 Meterkilogramm in 1 Sekunde).

Als grössere Leistungseinheit dient in der Technik die Pferdestärke (1 PS)=75 Mkg/sec Eine Pferdestärke vermag also in der Sekunde 75 kg 1 m hoch zu heben oder auch 25 kg 3 m oder 1 kg 75 m u. s. f.[13]

16.

Einfache und zusammengesetzte Maschinen. Die schiefe Ebene mit ihren Nebenformen [1], dem Keil und der Schraube, und der Hebel mit seinen Nebenformen, der Rolle und dem Rad an der Welle, sind die sogenannten einfachen Maschinen oder mechanische Potenzen. Alle noch so komplizierten [2] Maschinen lassen sich aus diesen Elementen zusammensetzen.

Infolge seines Gewichtes P sucht ein Körper auf einer schiefen, d. h. gegen den Horizont geneigten starren Ebene herabzugleiten oder zu -rollen [3]. Hieran soll er durch eine Kraft Z verhindert werden, welche zunächst parallel der schiefen Ebene wirken mag. Gleichgewicht wird sein, wenn die Resultierende von Z und P gerade senkrecht auf der schiefen Ebene steht. Dieselbe stellt [4] alsdann einen [5] auf die schiefe Ebene ausgeübten Druck D dar, welcher durch die Festigkeit der Ebene aufgehoben [6] wird.

Es sei l die Länge, b die Basis und h die Höhe der schiefen Ebene. Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke folgt für den Fall [7] des Gleichgewichts

Z:P=h:l oder Z=P.h/l=P sin a
D:P=b:l oder D=P.b/l=P cos a.

Wird der Zug Z parallel der Basis ausgeübt, so ist im Falle des Gleichgewichts Z=P tang a und D=P/cos a.

In dieser letzteren Form findet die schiefe Ebene Anwendung als Keil und Schraube.

Den Keil hat man aufzufassen [8] als zwei mit der Basis aufeinander gelegte schiefe Ebenen. Die Kraft wirkt auf den Rücken parallel zur gemeinschaftlichen Basis; der Gegendruck erfolgt parallel zum Rücken.

Im Falle des Gleichgewichts verhält sich die Kraft zu diesem Gegendruck wie der Rücken des Keils zur gemeinsamen Basis (Höhe des Keils).

Die Schraube kann man sich dadurch entstanden [9] denken, dass ein vierkantig- oder dreikantigprismatischer Streifen so um einen Zylinder herumgewickelt worden ist, dass er mit der Zylinderachse immer den gleichen Winkel bildet; man erhält so eine flachgängige [10] bez.[11] scharfgängige [12] Schraube. Ein voller Umlauf des Streifens bildet einen Schraubengang [13]; die Gesamtheit der Schraubengänge bilden das Gewinde [14] der Schraube. Der äussere Durchmesser heisst die Bolzenstärke [15], der Durchmesser des zylindrischen Kerns die Kernstärke [16].

Arbeitet [17] man in der Wand eines Hohlzylinders, dessen Durchmesser gleich der Kernstärke ist, vierkantig- bez.[11] dreikantigprismatische Schraubengänge aus, so dass der entstehende Hohlraum und die Schraube selbst einander kongruent sind, so erhält man die zur Schraube passende Schraubenmutter.

Stellt man die Achse der Schraube senkrecht, so bildet die obere (oder untere) Grenzfläche eines jeden Schraubenganges eine Fläche, die überall gegen den Horizont unter gleichem Winkel geneigt ist, für die somit die Gesetze der schiefen Ebene Anwendung finden können. Der Betrag, um den [18] das Gewinde bei einem jeden Umgang steigt, heisst Steigung oder Ganghöhe [19]; dieselbe entspricht der Höhe der schiefen Ebene, während der Umfang des Bolzens der Basis entspricht.

Bei der Schraube wirkt in der Regel die Kraft parallel zum Umfange des Bolzens, der Gegendruck erfolgt in der Richtung der Achse desselben; lässt man die Kraft am Umfange des Bolzens selbst wirken, so verhält sich im Falle des Gleichgewichts die Kraft zum Gegendruck wie der Umfang zur Steigung. Je kleiner also [20] die Steigung und je grösser der Umfang ist, einen um so stärkeren Druck kann man mit einer gegebenen Kraft in der Richtung der Achse der Schraube hervorbringen. Hierauf beruht die Verwendung der Schraube zur Befestigung und zur Erzeugung von starken Drucken (Schraubenpresse). Ferner verwendet man die Schraube vielfach, um sehr kleine Bewegungen hervorzubringen (Mikrometerschrauben, Stellschrauben [21]).

17.

Der Hebel. Unter Hebel versteht man einen starren Körper, welcher um eine feste Achse drehbar ist, und auf welchen Kräfte einwirken, welche ihn um diese Achse nach verschiedenen Richtungen zu drehen suchen. Gleichgewicht findet statt, wenn die algebraische Summe der Drehungsmomente gleich null ist.

Gewöhnlich besitzt der Hebel die Form einer geradlinigen Stange. Die Entfernung des Angriffspunktes der Kraft von der Achse heisst Hebelarm. Beim Winkelhebel liegen die Hebelarme nicht in gerader Linie.

Wenn beim geraden Hebel die Kräfte parallel sind, verhalten [1] sie sich, im Falle des Gleichgewichts, umgekehrt wie die Hebelarme.

Bekannt [2] ist die Anwendung des geraden Hebels zum Heben der Lasten. Je kürzer hierbei [3] der Hebelarm der Last und je länger derjenige der Kraft ist, um so grösser kann erstere, um so kleiner letztere sein. Ein Gewinn an Arbeit findet [4] beim Hebel nicht statt, weil der Weg der Kraft gerade so vielmal so gross ist, als derjenige der Last, wie der Hebelarm der ersteren als derjenige der letzteren.

Der Winkelhebel dient hauptsächlich dazu, Richtungsänderungen bei der Uebertragung von Bewegungen hervorzubringen, z. B.[5] bei Klingelzügen.

Die feste Rolle bildet einen zweiseitigen, gleicharmigen Hebel, wobei [6] die Kraft P und die Last L an den Enden eines über die Rolle gelegten Seiles wirken. Gleichgewicht herrscht, wenn P=L ist. Sie dient hauptsächlich dazu, um einer gegebenen Kraft eine andere Richtung zu geben. Die lose Rolle hängt frei im Seile, welches einerseits befestigt ist, während an der andern Seite die Kraft wirkt; die Last ist an der Achse der Rolle aufgehängt. Zur Hebung grösserer Lasten bedient man sich in der Regel [7] einer Verbindung mehrerer fester und loser Rollen, welche man Flaschenzug [8] nennt.

Das Rad an der Welle [9] in seiner einfachsten Form finden wir bei der gewöhnlichen Winde; die Last hängt an einem [10] um die Welle geschlungenen Seile, die Kraft wirkt am Umfange des Rades. Gleichgewicht besteht, wenn sich die Kraft zur Last verhält wie der Halbmesser der Welle zu demjenigen des Rades.

Eine besondere Form des Wellrades ist die Kurbel. Ferner gehören hierher das Zahnrad in seinen mannigfaltigen Formen, endlich die Riemen- und Seilscheiben.[11]

18.

Fortpflanzung [1] eines Drucks innerhalb einer Flüssigkeit. Wenn man auf einen Teil der Oberfläche einer [2] vollständig von den Wänden eines Gefässes umschlossenen Flüssigkeit einen Druck ausübt, so suchen die Teilchen diesem Drucke nach allen Richtungen hin auszuweichen; infolgedessen [3] pflanzt [4] sich der Druck nach allen Richtungen hin mit gleicher Stärke fort.

Ein [5] in eine Flüssigkeit eingetauchter starrer Körper erleidet durch dieselbe einen Druck nach oben, einen Auftrieb, welcher gleich ist dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit. Dieser Satz ist das sogen.[6] Archimedische Prinzip.

Um das relative Gewicht eines starren Körpers zu bestimmen, hängt man denselben an einem feinen Draht auf, bestimmt sein Gewicht P₁, taucht ihn alsdann in ein Gefäss mit Wasser und ermittelt abermals das Gewicht P₂. Alsdann ist D=P₁:(P₁-P₂). Der Gewichtsverlust des eingetauchten Drahtstücks ist meist so klein, dass es nicht berücksichtigt zu werden braucht.

Ist [7] ein Körper spezifisch leichter als eine Flüssigkeit, und taucht [7] man denselben ganz unter die letztere, so ist der Auftrieb grösser als das Gewicht des Körpers, und der letztere hat infolgedessen das Bestreben in der Flüssigkeit emporzusteigen; er steigt jedoch nur so weit, bis zwischen dem Auftrieb, welcher der noch eintauchende Teil des Körpers erfährt und seinem Gewicht gerade Gleichgewicht besteht. Alsdann schwimmt der Körper, und dabei [8] gilt [9] das Gesetz: Ein schwimmender Körper taucht gerade so weit ein, dass das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit gleich dem Gewicht des Körpers wird. So schwimmt Kork auf Wasser, Eisen auf Quecksilber. Besitzt der Kork z. B. das relative Gewicht 0,2, so taucht beim Schwimmen nur 0,2 seines Volumens in das Wasser ein. Schwimmt Eisen vom relativen Gewicht 7,8 auf Quecksilber vom relativen Gewicht 13,6, so ist das eingetauchte Volumen 7,8/13,6=0,574 von dem Gesammtvolumen des Eisens.

Ausfluss von Flüssigkeiten. Macht man in die Wandung eines [10] mit einer Flüssigkeit gefüllten Gefässes eine Oeffnung, so fliesst die Flüssigkeit aus derselben in Form eines zusammenhängenden Strahls aus. Die Geschwindigkeit, mit der die Flüssigkeitsteilchen aus der Oeffnung herausgeschleudert werden, die sogenannte Ausflussgeschwindigkeit, ist gleich derjenigen eines Körpers, welcher die Höhe von der Oberfläche bis zur Ausflussöffnung frei durchfallen hat, d. h. v=√2gH, wenn H diese Druckhöhe [11] ist. Dieser Satz ist das sogenannte Torricellische Theorem.

19.

Der Heber[1] dient dazu, eine Flüssigkeit selbsttätig [2] über den Rand eines Gefässes hinweg von einem höheren auf ein tieferes Niveau [3] zu befördern. Derselbe besteht aus einer zweischenkelig [4] gebogenen Röhre, die (am einfachsten durch Ansaugen) mit der betreffenden Flüssigkeit gefüllt wird und mit dem einen Schenkel in die Flüssigkeit eintaucht. Dann fliesst die Flüssigkeit so lange aus der Oeffnung des äusseren Schenkels heraus, und wird dabei [5] über die Gefässwand hinweggehoben, als das Niveau im Gefäss höher als die äussere Oeffnung liegt.

Festigkeit[6] nennt man den Widerstand, den ein starrer Körper einer Trennung seiner Teile entgegensetzt. Als Mass [7] der Festigkeit dient die zur Trennung erforderliche Kraft. Man unterscheidet

1. Die absolute Festigkeit oder Zugfestigkeit [8], den Widerstand gegen das Zerreissen. Dieselbe ist dem Querschnitt [9] proportional und ausserdem vom Stoff abhängig. Man giebt sie in der Regel in Kilogramm für das Quadratmeter an und nennt diese Grösse [10] den Festigkeitsmodulus oder -Koeffizient.

2. Die rückwirkende [11] Festigkeit oder den Widerstand gegen das Zerdrücken.

3. Die relative [12] Festigkeit oder den Widerstand gegen das Zerbrechen.

4. Die Torsionsfestigkeit oder den Widerstand gegen das Zerdrehen.

5. Die Scher- oder Schubfertigkeit oder den Widerstand gegen das Abscheren.

6. Die Härte oder den Widerstand gegen das Eindringen eines anderen Körpers in die Oberfläche.

Unter Elastizität versteht man die Eigenschaft der Körper, vermöge deren sie nach Grössen- und Formänderungen,[13] die innerhalb einer gewissen Grenze bleiben, wieder in die frühere Grösse und Form zurückkehren. Die Grenze, welche hierbei nicht überschritten werden darf, heisst die Elastizitätsgrenze.

Man nennt Körper, die schon bei geringen Formänderungen brechen, spröde [14]; solche, die starke Formänderungen ertragen, ohne dass sie den Zusammenhang verlieren, zähe [15], dehnbar [16] oder geschmeidig.[17]

20.

Der Schall. Wir verstehen unter Schall eine Gehörempfindung,[1] welche im Gehörorgan durch eine longitudinale Wellenbewegung [2] der Luft erregt wird. Diese Wellenbewegung wird durch gewisse Schwingungsbewegungen starrer, flüssiger oder gasförmiger Körper verursacht.

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit [3] des Schalls in der Luft bei 0° ist 332,4 m/sec Sie ist unabhängig vom Luftdruck, ändert sich aber mit der Temperatur.

Sehr gut pflanzt sich auch der Schall in starren und flüssigen Körpern fort. Hierauf beruht das sogenannte Fadentelephon [4]. Zwei [5] über Holzringe ausgespannte Stücke Blase sind durch einen in ihren Mitten befestigten, frei ausgespannten Faden oder Metalldraht verbunden, der mehr als 100 m lang sein kann. Spricht man gegen die eine Membran, so reproduziert die andere die Worte ziemlich deutlich.

Wie jede Wellenbewegung, so wird auch der Schall, wenn er an eine Grenze des Mittels [6], in welchem er sich ausbreitet, gelangt, daselbst teilweise in das alte Mittel zurückgeworfen. Dies geschieht z. B. an Felswänden, Wäldern, Häusern, aber auch an verschieden warmen Luftschichten.

Durch die Reflexion des Schalles entsteht auch das Echo. Da wir Schalleindrücke nur dann deutlich getrennt wahrnehmen, wenn zwischen ihnen mindestens 0,1 Sekunde liegt, so muss der reflektierende Gegenstand für ein einsilbiges Echo mindestens 17 m entfernt sein. Bei geringerer Entfernung beobachtet man nur einen Nachhall.[7]

Beim Sprachrohr und Hörrohr benutzt man die Zurückwerfung des Schalles an starren Wänden, um die Schallstrahlen vorwiegend [8] nach einer Richtung hin zu lenken. Das erstere besteht aus einem etwa 2 m langen, schwach konischen Rohr, am besten aus mehrfach übereinandergeleimtem Papier hergestellt und gut lackiert. Blecherne Rohre klirren. Der Schall der am engeren Ende hineingesprochenen Worte pflanzt sich infolge der Reflexion vorwiegend in der Richtung der Achse fort. Umgekehrt wirkt das Hörrohr. In nicht zu engen Rohrleitungen pflanzt sich der Schall auf weite Strecken ziemlich ungeschwächt fort. Hiervon macht man praktische Anwendung, um zwischen entfernten Räumen eines Hauses Sprechverbindung herzustellen.

Man unterscheidet Geräusche und Klänge. Das Geräusch entsteht durch unregelmässige, der Klang durch regelmässige oder periodische Schwingungsbewegungen. Sind [9] insbesondere diese Schwingungen einfache Sinusschwingungen,[10] so nennen wir den Klang einen Ton oder auch einen einfachen Ton. An einem Ton unterscheidet man vor Allem zwei Eigenschaften, eine bestimmte Höhe und eine bestimmte Stärke. Die Höhe des Tons hängt [11] von der Schwingungszahl oder von der Wellenlänge ab: je grösser die Schwingungszahl ist, desto höher ist der Ton.

Kein musikalisches Instrument giebt einfache Töne, wie sie einfachen, stehenden [12] Sinusschwingungen entsprechen würden, sondern bei [13] allen, nur bei den einen mehr, bei den ändern weniger, erklingen immer mit dem Grundton [14] gleichzeitig Obertöne. Je nach der Höhe, Zahl und Stärke der letzteren gewinnt dadurch der Grundton ein anderes Gepräge [15]; man bezeichnet dies mit dem Namen Klangfarbe.[16]

21.

Das Licht. Körper, welche an sich die Fähigkeit besitzen, Licht auszusenden, heissen selbstleuchtend [1], im Gegensatz hierzu müssen dunkle Körper von ändern beleuchtet werden, wenn sie sichtbar sein sollen. Alle Erscheinungen des Lichts lassen sich nur dann ungezwungen [2] erklären, wenn wir annehmen, dass das Licht aus einer transversalen Wellenbewegung eines Mittels [3] besteht, welches man Lichtäther [4] oder Aether nennt. In diesem beträgt die Fortpflanzungsgeschwindigkeit sehr nahe 300000000 m/sec. Die geraden Linien, längs deren das Licht sich fortpflanzt, nennt man Lichtstrahlen.

Die geradlinige Fortpflanzung der Lichtstrahlen erkennt man daran [5], dass ein leuchtender Punkt unsichtbar wird, wenn zwischen ihn und das Auge in die gerade Verbindungslinie beider ein undurchsichtiger Körper tritt. Besitzen [6] der leuchtende und der undurchsichtige Körper eine gewisse Ausdehnung, so erhält ein Teil des Raumes hinter dem letzteren gar kein Licht (Kernschatten [7]), während ein anderer Teil des Raumes nur von einem Teil des leuchtenden Körpers Licht empfängt (Halbschatten [8]). Bei den Mondfinsternissen tritt der Mond in den Kernschatten der Erde; bei den totalen Sonnenfinsternissen streicht der Kernschatten des Mondes über die Erde.

Wir sind nicht im Stande Lichtstärken unmittelbar [9] zu messen; wir haben nicht einmal die Fähigkeit, durch unser Auge die Beleuchtung einer Fläche in Zahlen abzuschätzen. Wir sind daher bei der Messung der Stärke einer Lichtquelle auf die Vergleichung derselben mit derjenigen eines Normallichtes angewiesen [10]. Zu diesem Zwecke lässt man von zwei unmittelbar nebeneinander liegenden Flächen die eine von der Normalkerze, die andere von der zu messenden Lichtquelle unter gleichen Einfallswinkeln [11] beleuchten und reguliert die Entfernungen so, dass die Beleuchtungen dieselben werden. Alsdann verhalten sich die beiden Lichtstärken wie die Quadrate der Entfernungen der Lichtquellen von den beleuchteten Flächen. Dieses Verfahren heisst Photometrie und die dazu verwendeten Apparate nennt man Photometer.

In dem Photometer von Bunsen ist die von den beiden Lichtquellen gleichzeitig beleuchtete Fläche ein Schirm [12] von weissem Papier, der in der Mitte einen Stearinfleck hat. Beleuchtet die eine Lichtquelle den Schirm von der einen Seite, so erscheint der Fleck von dieser Seite aus dunkel gegen das Papier, weil er mehr Licht durchlässt und weniger zurückwirft als die reine Papierfläche. Bringt man nun auf die andere Seite des Schirmes die andere Lichtquelle in eine solche Entfernung, dass der Fleck beiderseits hell erscheint, so sind beide Seiten des Schirmes gleich stark beleuchtet.

22.

Alle Strahlen, welche von einem leuchtenden Punkt vor einem ebenen Spiegel [1] ausgehen, werden so zurückgeworfen, dass sie für das Auge eines Beobachters von einem Punkte hinter dem Spiegel herzukommen scheinen; diesen Punkt nennt man das Spiegelbild [2] des leuchtenden Punktes. Dieses Spiegelbild liegt auf der [3] vom leuchtenden Punkt auf die Spiegelebene gefällten Senkrechten, und zwar ebensoweit hinter dieser Ebene wie der leuchtende Punkt davor.

Befindet sich ein leuchtender Gegenstand zwischen zwei einen spitzen Winkel einschliessenden Spiegeln, so dient das Bild von einem der Spiegel als Gegenstand für den ändern und umgekehrt. Wir erhalten so eine Anzahl von Bildern, welche mit dem Gegenstand auf einem [4] um den Durchschnitt [5] der beiden Spiegel beschriebenen Kreis liegen. Ist z. B. der Spiegelwinkel 60°, so gruppieren sich Gegenstand und Bilder in Form eines Sechsecks. Benutzt man als Gegenstände, die man zwischen die Spiegel bringt, bunte Glasstückchen, Perlen [6] etc., so erhält man beim [7] Hineinblicken mosaikartige Bilder in Form von sechseckigen Sternen (Kaleidoskop).

Ein [8] von zwei [9] unter einem Winkel a gegen einander geneigten Ebenen begrenztes, durchsichtiges Mittel nennt man in der Optik ein Prisma; die beiden Ebenen, durch die der Lichtstrahl ein- und austritt, heissen die brechenden [10] Flächen, ihre Durchschnittslinie heisst die brechende Kante, der Winkel a zwischen den beiden Ebenen heisst der brechende Winkel des Prismas. Man giebt gewöhnlich einem solchen Körper die Gestalt eines geraden dreiseitigen geometrischen Prismas.

Lässt man weisses Licht, z. B. Sonnenlicht, durch einen [11] parallel zur brechenden Kante gestellten, engen Spalt hindurch auf ein Prisma fallen, so erhält man nicht ein einfaches weisses, sondern ein bandförmig auseinandergezogenes [12] und an verschiedenen Stellen verschieden gefärbtes Bild des Spaltes, weil sich im Prisma die Strahlen von grösserer Wellenlänge rascher fortpflanzen als die von kleinerer. Ein solches farbiges Spaltbild nennt man Spektrum. Das weisse Licht besteht aus einem Gemisch von unendlich vielen Strahlen verschiedener Farbe. Das rote Licht ist am wenigsten, das violette am stärksten brechbar.[13]

Glühende Gase und Dämpfe von geringer Dichte besitzen die merkwürdige Eigenschaft, nur einzelne [14] ganz bestimmte Lichtarten auszusenden, während alle anderen Farben fehlen. Im Spektroskop erhält man dann, den einzelnen vorhandenen Farben entsprechend, einzelne farbige Spaltbilder in Gestalt von leuchtenden Linien auf dunkelem Grunde. Man erhält derartige [15] Dämpfe, indem man [16] leichtflüchtige Metallsalze in die nichtleuchtende Flamme des Bunsenschen Gasbrenners bringt. Wo die Temperatur der Bunsenflamme nicht ausreicht, verwendet man das Knallgebläse [17] oder das elektrische Kohlenlicht.

Kirchhoff und Bunsen wiesen nach, dass diese Linien für die betreffenden [18] Metalle charakteristisch sind, so dass aus ihrer Anwesenheit im Spektrum auf die Anwesenheit des betreffenden Metalles geschlossen werden kann [19]. Hierauf gründet sich die Spektralanalyse.

23.

Die Wärme. Wärme ist, ähnlich dem Licht und Schall, eine gewisse Empfindung, welche durch gewisse in der Oberhaut endigende Nerven vermittelt [1] wird. Wir nennen einen Körper kalt oder warm, je nachdem seine Temperatur niedriger oder höher ist als die unserer Haut.