Objektiv-Formeln.
Der Vollständigkeit halber gebe ich hier einige mathematische Belege; wer kein Interesse für die Formeln hat, mag diesen Abschnitt ohne Bedenken überschlagen, denn die Nutzanwendung für die Praxis habe ich in den vorherigen Kapiteln niedergelegt.
Fig. 69.
Wenn auf eine Sammellinse Sonnenstrahlen auffallen, so werden diese derart abgelenkt, daß sie sich in einem Punkte (wenigstens annähernd) sammeln. ([Fig. 69].) Man bezeichnet diesen Punkt (F) als Brennpunkt und den Abstand desselben (f) von der Linse als Brennweite. In Wirklichkeit bekommt man an jener Stelle ein Bildchen der Sonnenscheibe. Wenn wir nun eine irdische Lichtquelle nehmen und diese zunächst in sehr großen Abstand von der Linse bringen, so zeigt sich das gleiche: wir erhalten im Brennweiten-Abstand von der Linse eine Sammlung der Strahlen, die hier ein Bildchen der Lichtquelle abgeben; das Bildchen erscheint umgekehrt. Wenn wir die Lichtquelle der Linse nähern, so daß die Strahlen nicht mehr wie vorher (annähernd) parallel auffallen, so werden wir gleichfalls ein Bildchen bekommen, jedoch rückt dasselbe über den Brennpunkt hinaus, und zwar wird der Abstand (b) des Bildchens von der Linse um so größer, je näher die Lichtquelle herankommt. Dabei zeigt es sich, daß die Größe des Bildes in gleichem Maße wächst wie der Abstand (a) der Lichtquelle geringer wird. Aus der beigegebenen Abbildung ([Fig. 70]) ist das Verhältnis, welches zwischen Gegenstandsgröße g und Bildgröße w besteht, leicht ersichtlich: sie verhalten sich direkt wie deren Abstände a und b von der Linse. Die Formel lautet also: wg = ba.
Fig. 70.
Die Abstände a und b stehen nun weiterhin in einem bestimmten Verhältnis zur Brennweite f, und zwar wird dasselbe durch folgende Formel ausgedrückt: 1a + 1b = 1f woraus sich ergibt: b = a∙fa - f.
Stellen wir so ein, daß w = g, so wird auch b = a und aus der oben gegebenen Formel folgt dann: b = a = 2f. Darauf beruht die oben beschriebene Methode der Brennweiten-Bestimmung, die darin besteht, daß man diejenige Einstellung sucht, bei welcher Bild- und Gegenstandsgröße (w und g) gleich sind, und dann den Abstand von Bild bis Gegenstand durch 4 dividiert, indem derselbe gleich 4∙f ist.
Für zusammengesetzte Linsensysteme sind diese Formeln ebenfalls anwendbar; denn man kann sich jedes noch so komplizierte System durch eine einzige Linse ersetzt denken, welche die gleiche optische Wirkung hat. Die Brennweite dieser »äquivalenten« Linse hängt von der Brennweite der einzelnen Linsen-Bestandteile und den Abständen derselben von einander ab. Unser Projektions-Objektiv besteht in der Regel aus 4 Linsen, die paarweise angeordnet sind, sodaß man das Instrument als ein Doppel-Objektiv bezeichnet. Die Anordnung ist in Figur [60] auf Seite [90] veranschaulicht; der Einfachheit halber wollen wir uns aber die beiden Linsen-Kombinationen durch je eine Linse ersetzt denken, sodaß wir ein zweilinsiges Objektiv bekommen, wie es Figur [71] andeutet.
Fig. 71.
Die Wirkungsweise dieses Systems ist folgende: Die erste Linse allein würde ein Bild W1 im Punkte F1 hervorrufen; dieses kommt aber nicht zu Stande, da die zweite Linse die Strahlen nach F2 ablenkt. Hier entsteht ein Bild W2, welches kleiner ist als W1. Eine äquivalente Linse, welche imstande wäre, dieses System zu ersetzen, müßte ein Bild in Größe von W2 liefern; ihre Brennweite f müßte daher soviel mal kleiner sein als die der Vorderlinse (f1), wie w2 kleiner ist als w1. Mithin ff1 = W2W1. Da nun ferner, wie leicht ersichtlich, W2W1 = N F2N F1 ist, so können wir schreiben ff1 = N F2N F1 oder f = N F2N F1 f1. Wenden wir auf die zweite Linse, deren Brennweite f2 sei, die allgemeine Formel an unter Berücksichtigung, daß hier der Objekt-Abstand NF1 negativ ist, so bekommen wir: 1N F2 - 1N F1 = 1f2.
Nun ist NF1 = f1-d, wenn wir mit d den Abstand MN der Linsen bezeichnen; also 1 N F2 — 1 f1 - d = 1 f2, woraus ferner folgt: NF2 = f2 (f1 - d)f1 + f2 - d. Dieses oben eingesetzt, ergibt für die äquivalente Brennweite den Wert f = f1 f2f1 + f2 - d. Verlängern wir die einfallenden Strahlen sowie die aus der Hinterlinse austretenden Strahlen bis zu ihren Schnittpunkten ss, so finden wir damit die Stelle, an der eine das System ersetzende Linse steht; SF2 ist die äquivalente Brennweite.
Der Abstand NF2 des Bildes von der Hinterlinse, den man vielfach als rückwärtige Brennweite bezeichnet, ist, wie es sich hier deutlich zeigt, kleiner als die eigentliche Brennweite. Wenn wir den oben gefundenen Wert für diesen Abstand etwas umschreiben, so bekommen wir NF2 = f1 - df1·f = (1 - df1)·f. Es ergibt sich daraus, daß Doppel-Objektive von gleicher äquivalenter Brennweite nur dann dieselbe rückwärtige Brennweite haben, wenn sie in Bezug auf die Brennweite der einzelnen Kombinationen und deren Abstand gleichartig sind. Die Angabe der rückwärtigen Brennweite genügt daher keineswegs zur Charakteristik des Objektives; insbesondere läßt sich die Bildgröße, welche das Instrument gibt, nur bei Kenntnis der äquivalenten Brennweite bestimmen.
Es sei hier auch der oben beschriebenen Konstruktion gedacht, welche dem photographischen Tele-Objektiv nachgebildet ist und die aus einem gewöhnlichen Projektions-Objektiv in Verbindung mit einem Zerstreuungs-Linsen-System besteht. In der beigegebenen Zeichnung ([Fig. 72]) habe ich der Einfachheit halber das Projektions-Objektiv durch eine einzelne Sammellinse ersetzt, welche die Brennweite f des ersteren hat und daher wie dieses im Punkte F ein Bild w gibt. Das Konkav-Linsen-System (ebenfalls durch eine Linse dargestellt) wirkt nun, wie die Skizze erkennen läßt, in der Weise, daß sie den Sammelpunkt F der Strahlen weiter hinaus wirft und dabei das vom Objektiv erzeugte Bild w auf W vergrößert.
Fig. 72.
Die Größen dieser beiden Bilder verhalten sich wie deren Abstände v und (f-d) von der Konkav-Linse; die Vergrößerung ist mithin M = Ww = vf - d. Auf Grund der allgemeinen Linsen-Formel erhalten wir ferner: 1v + 1f - d = - 1f3 wenn f3 die Brennweite des Konkav-Linsen-Systems ist, und daraus ergibt sich: v = f3(f - d)f3 + d - f1; mithin erhalten wir für die Vergrößerung den Wert: M = f3f3 + d - f. Da die Brennweite θ des ganzen Systems M-mal größer als die des vorderen Objektivs (f) ist, so haben wir: θ = Mf = f f3f3 + d - f. Durch Verlängerung der aus der Konkav-Linse austretenden Strahlen bis zum Schnitt mit den Einfall-Strahlen bekommen wir wieder konstruktiv die Brennweite S F (=θ), indem durch s s die Lage der äquivalenten Linse gegeben ist.
Die Konkav-Linse bewirkt, wie wir gesehen haben, eine Verlängerung der Brennweite des als positives Element verwandten Projektions-Objektives und damit eine Vergrößerung des von diesem erzeugten Bildes. Das Charakteristische der Konstruktion besteht aber darin, daß man es in der Hand hat, durch Veränderung des Abstandes d die Gesamtbrennweite zu verändern. Dies ist aus den Formeln leicht ersichtlich. Die oben gefundenen Werte für θ und M können wir nämlich auch schreiben: θ = f f3d - (f - f3) und M = f3d - (f - f3). Damit wir hierfür positive Werte bekommen, muß d größer sein als (f - f3), ferner aber muß zur Erzielung eines reellen Bildes d kleiner sein als f. Nehmen wir d etwas kleiner als f, so wird M nahezu = 1 und θ ungefähr = f. Je kürzer wir nun den Abstand der Linsen machen, desto größer werden Brennweite und Vergrößerung, bis beide bei einem Abstand d = (f - f3) unendlich groß werden. Die Grenzen der Vergrößerung liegen also zwischen 1 und unendlich.
Den Wert für die rückwärtige Brennweite hatten wir oben festgestellt; wir können die betreffende Formel auch folgendermaßen schreiben: v = M(f - d) = Mf - Md = θ - Md. Der Abstand des Objektivs vom Film bezw. Glasbild ist also, wie es die Zeichnung schon zeigt, jetzt im Verhältnis zur Gesamt-Brennweite recht kurz, und zwar ist er um ein Stück gleich M·d kürzer als die Brennweite.
Wir kommen nun zu den Betrachtungen über Bildgröße und Distanz beim Projektions-Verfahren sowie über deren Beziehung zur Objektiv-Brennweite. Oben fanden wir, daß sich Bild- und Gegenstandsgröße zu einander verhalten wie die Abstände zum Objektiv. Dies gilt ohne weiteres auch für die Projektion; als Gegenstand ist das »leuchtend gemachte« Glas- und Filmbild anzusehen, von dem die Linse das Lichtbild (W) auf der Wand erzeugt. Wenn wir die Abstände mit b bezw. a bezeichnen, so gilt also: WG = ab. Nun wissen wir aus der Formel, die zwischen a, b und der Objektiv-Brennweite f besteht, daß b = a·fa - f ist, mithin ergibt sich für obiges Verhältnis, welches uns gleichzeitig die Vergrößerung (V) angibt: V = WG = a - ff.
Diese Formel läßt sich vereinfachen, wenn wir statt des genauen Abstandes a (Lichtbild vom Objektiv) mit einer Distanz rechnen, welche um ein Stück gleich der Brennweite f kleiner ist als a; diese Distanz wäre also D = (a - f) und die Formel lautet jetzt: V = WG = Df.
Die Vergrößerung (V) ergibt sich also, indem man die Werte für D und f durcheinander dividiert. Durch Umschreiben der Formel in folgende Form: fG = DW kommen wir zu der oben von mir gegebenen einfachen Regel, welche lautet: die Distanz (D) ist ebenso viel Mal größer wie das Lichtbild (W), als die Brennweite (f) größer ist wie das Glas- oder Filmbild (G).
Bei Anwendung dieser Regel muß berücksichtigt werden, daß der wirkliche Abstand (a) des Lichtbildes vom Objektiv (bezw. dem »optischen Mittelpunkt« desselben) um ein Stück gleich der Brennweite größer ist als D. Wenn wir also wissen wollen, auf welche Entfernung hin das Objektiv ein Lichtbild bestimmter Größe liefert, und erstere dann mit Hilfe der Regel ermitteln, so müssen wir, um zu einem genauen Resultate zu kommen, zu dem gegebenen Werte noch die Brennweite hinzuzählen. Gilt es andererseits die Größe des Lichtbildes zu bestimmen, welche das Objektiv auf eine gegebene Entfernung hin liefert, und rechnen wir dabei diese Entfernung vom Objektiv (bezw. seinem optischen Mittelpunkt) aus, wobei also in die Formel statt des Wertes von D derjenige von a eingesetzt wird, so bekommen wir einen Fehler. Während wir nämlich den Wert erhalten W = Gf·a, so ist dieser in Wirklichkeit W = Gf·(a - f) = Gf·a - G; mithin wird das Lichtbild bei dieser Rechnung linear um ein Stück gleich der Größe des Glas- bezw. Filmbildes kleiner. Ich wies bereits darauf hin, daß sowohl bei der Projektion von Glasbildern, wo das Bild im Lichten in der Regel etwa 7 cm mißt, besonders aber bei der kinematographischen Projektion, wo die Breite des Bildes nur 2 1/2 cm beträgt, dieser Fehler hinreichend klein ist, daß man ihn in der Regel vernachlässigen kann.
Bei Feststellung der Bildgröße unter Anwendung meiner vereinfachten Regel verschlägt es also im allgemeinen nichts, wenn man die Distanz bis zur Vorderlinse des Objektivs rechnet, statt bis zur Brennweiten-Entfernung vor dem »optischen Mittelpunkt«. Dagegen wird man bei Ermittelung der Distanz für eine bestimmte Bildgröße den durch die Regel gegebenen Fehler wohl zu berücksichtigen haben, wenn es sich um ein Objektiv langer Brennweite handelt.
Bei den nach dem Prinzip des Tele-Objektivs konstruierten Systemen ist insbesondere noch zu beachten, daß der optische Mittelpunkt vor dem Objektiv liegt, und zwar um eine Strecke gleich (M‑1)·d vor dem optischen Mittelpunkt des als positives Element verwandten Objektives.
Will man den Abstand E des Lichtbildes bis zur Bildbühne des Apparates berechnen, so hat man den Wert für b hinzuzuzählen; er ist genau E = fG·W + f + b. Da aber bei der Projektion b in der Regel nur um ein Geringes größer ist als f, so können wir ohne merklichen Fehler schreiben: E = fG·W + 2f; man hat also in diesem Fall dem durch die Regel gefundenen Wert 2f hinzuzufügen.