19. Die Fortschritte der Astronomie nach der Begründung der Gravitationsmechanik.
Die Astronomie wurde während des 18. Jahrhunderts immer mehr zum Vorbild, dem die übrigen Naturwissenschaften, vor allem die Physik, nachzueifern strebten. In der Vollendung der Methoden, sowie bezüglich der Sicherheit der Resultate, zu denen die Astronomie gelangte, reichte jedoch kein anderer Zweig an sie heran.
Neben dem Wettkampf zwischen dem dioptrischen Fernrohr und dem Reflektor beschäftigten die Astronomen des 18. Jahrhunderts noch zwei wichtige Fragen, welche die vorhergehende Periode aufgeworfen hatte. Sie betrafen die Abweichung der Erde von der Kugelgestalt und die Bestimmung der Sonnenparallaxe aus den 1761 und 1769 wieder zu erwartenden Vorübergängen der Venus. Um die von Newton und Huygens herrührende Annahme, daß die Erde ein an den Polen abgeplattetes Rotationsellipsoid sei[785], auf ihre Richtigkeit zu prüfen, waren genaue Gradmessungen in der Nähe eines Pols und des Äquators erforderlich. War, der Theorie Newtons gemäß, die Krümmung in der Nähe der Pole eine geringere, so mußte sich hier für den Breitengrad eine größere Strecke ergeben als für eben dieses Maß in der Nähe des Äquators. Zur Entscheidung dieser Frage sandte die französische Regierung in den Jahren 1735 und 1736 Expeditionen nach Peru und Lappland. Die erstere, die von Bouguer[786] und de la Condamine[787] geleitet wurde, maß den Abstand zwischen zwei nördlich und südlich vom Äquator gelegenen Orten und fand für den Grad 56734 Toisen. Die von Maupertuis[788] geführte zweite Expedition stellte ihre Messungen in der Nähe des Tornea unter dem 66. Grade nördlicher Breite an. Das von dieser Expedition gefundene Ergebnis belief sich auf 57438 Toisen[789], war also um 704 Toisen größer als das am Äquator erhaltene, während sich für die Breite von 45° ein zwischen diesen beiden Größen liegender Wert von 57012 Toisen ergab. Die von Newton und Huygens aufgestellte Ansicht über die Gestalt der Erde hatte somit ihre Bestätigung erfahren. Nach de la Condamine ergaben diese Messungen, daß sich die Erdachse zum Durchmesser des Äquators wie 299 : 300 verhält, während Newton auf rechnerischem Wege das Verhältnis 288 : 289 gefunden hatte.
Zu den Männern, die Maupertuis auf seiner Lapplandexpedition begleiteten, gehörte der damals erst 23 Jahre alte Clairaut, der zu den größten Mathematikern Frankreichs zählt[790]. Ihm verdankt man die bedeutendste theoretische Untersuchung über die Gestalt der Erde[791].
Clairauts Arbeit wurde besonders dadurch veranlaßt, daß die beiden Gradmessungen zwar die Richtigkeit der von Newton und Huygens vertretenen Annahme bewiesen, daß sich aber die Abplattung als nahezu doppelt so groß herausstellte, wie sie nach der Theorie hätte sein sollen. Clairaut ging davon aus, daß die Gestalt der Erde, abgesehen von den sehr geringen, als Berg und Tal in die Erscheinung tretenden Unregelmäßigkeiten, von den Gesetzen der Hydrostatik abhängen muß. Die Ausmessung der Erde könne daher nur dasselbe ergeben, wie wenn die Messungen auf einer festgewordenen Flüssigkeit ausgeführt wären, die vorher eine dem Gleichgewicht entsprechende Gestalt angenommen hätte. An dem damit gegebenen Problem, die Gestalt der Erde aus den hydrostatischen Gesetzen abzuleiten, hat sich die mathematische Hydrostatik recht eigentlich erst entwickelt[792].
Die Anfangsgründe der Lehre vom Gleichgewicht der Flüssigkeiten rühren besonders von Newton und von Huygens her. Huygens hatte ausgesprochen, daß eine flüssige Masse nur dann in Ruhe ist, wenn ihre Oberfläche ein Niveau darstellt, d. h. wenn sie überall lotrecht zu den Kraftresultanten verläuft. Newton dagegen führte den Gleichgewichtszustand auf den Druck zurück, der in Flüssigkeitssäulen herrscht, die von der Oberfläche zum Kraftzentrum reichen. Clairaut endlich stellte ein umfassenderes Prinzip an die Spitze. Es spricht aus, daß eine flüssige Masse nur dann im Gleichgewicht sein kann, wenn die an allen Stellen eines beliebig geformten Kanals auftretenden Kräfte sich gegenseitig aufheben. Diesen Kanal kann man sich so entstanden denken, daß die übrige Masse der Flüssigkeit fest wird. Der Kanal kann ferner an der Oberfläche münden, in der Oberfläche selbst verlaufen oder auch in sich zurückkehren (Abb. [126]). Von diesem Prinzip des beliebigen Kanals ausgehend, gelangte Clairaut zu den partiellen Differentialgleichungen für das Gleichgewicht der Flüssigkeiten. Besteht nämlich für jeden beliebigen Kanal Gleichgewicht, so ist offenbar auch die ganze Flüssigkeitsmasse im Zustande des Gleichgewichts.
Abb. 126. Erläuterung des Clairautschen Kanalprinzips.
Bei der Verwendung hydrostatischer Untersuchungen zur Erklärung der Gestalt der Erde beschränkte sich Newton auf eine homogene Masse. Für eine solche hatte Newton das Achsenverhältnis gleich 230 : 231 berechnet. Clairaut dehnte dagegen die Untersuchung auf den Fall aus, daß die Dichte der Schichten sich mit der Annäherung an das Zentrum ändert. Auf die Einzelheiten dieser Untersuchung und das daraus sich ergebende »Clairautsche Theorem«[793] kann hier nicht näher eingegangen werden, da es sich um einen Gegenstand der höheren Analysis handelt.
Clairaut gehörte auch zu den ersten, die den höheren Kalkül auf die Theorie der Mondbewegung anwandten. Dazu bedurfte es einer Erörterung des Problems der drei Körper[794], um dessen angenäherte Lösung sich außer Clairaut besonders d'Alembert, Euler, Lagrange und Laplace verdient gemacht haben.
Erwähnt sei noch, daß sich in Clairauts »Theorie der Erdgestalt« schon der Grundgedanke der Lehre von der Kraftfunktion oder dem Potential findet, mit deren Weiterentwicklung sich besonders Green, Laplace und Gauß beschäftigt haben[795].
Weit genauer als diejenige Gradmessung, an der Clairaut sich beteiligte, war eine zweite, gegen das Ende des 18. Jahrhunderts vorgenommene. In diesem Falle handelt es sich nicht um eine vergleichende, aus rein wissenschaftlichen Gründen stattgefundene Messung, sondern um eine solche, die darauf abzielte, den genauen Wert einer den Maßen und Gewichten zugrunde zu legenden Naturkonstante zu ermitteln.
Der Wunsch, ein einheitliches Maß- und Gewichtssystem zu besitzen, war schon im 14. Jahrhundert mit dem Emporblühen des Handels rege geworden. Man empfand immer deutlicher, daß die bestehenden Unterschiede keinerlei Vorteil boten, sondern nur zu Mißbräuchen, Bedrückungen und Betrügereien Anlaß gaben. Die Bemühungen, hier Besserung zu schaffen, scheiterten schon an dem Widerstande der Fürsten und Prälaten. Es war daher eine der ersten Forderungen der Revolutionsmänner, die zahlreichen, in Frankreich wie in allen anderen Ländern bestehenden Maße durch ein gemeinsames, der Natur entlehntes Längenmaß zu ersetzen, und dieses als Grundlage für die Hohlmaße und die Gewichte festzulegen.
Als solches hatte schon 1670 ein Franzose[796] die Minute eines Längengrades vorgeschlagen. Fast zur selben Zeit brachte Huygens in seinem Werke über die Pendeluhr (1673) das Sekundenpendel als Längeneinheit in Vorschlag. Huygens wünschte den dritten Teil des Sekundenpendels als Stundenfuß in allgemeinen Gebrauch genommen zu sehen. Bald darauf entdeckte man jedoch die Abhängigkeit der Länge des Sekundenpendels von der geographischen Breite. Aus diesem Grunde wurde die von Huygens ausgehende Anregung nicht weiter verfolgt.
Im Jahre 1790 wurde die Angelegenheit in der konstituierenden Nationalversammlung behandelt. Letztere beschloß, die Länge, welche das Sekundenpendel unter dem 45. Breitengrade besitzt, als Maßeinheit zu wählen und beauftragte eine Kommission, in der sich die bedeutendsten französischen Gelehrten (wie Laplace, Lagrange, Monge und Borda) befanden, das Erforderliche in die Wege zu leiten. Ein weiterer Beschluß lief darauf hinaus, auch die englische Regierung für das Vorhaben zu gewinnen, und die französische Kommission durch eine von der Royal Society in London gewählte zu ergänzen. Man verwarf den Vorschlag, als Längenmaß das Sekundenpendel festzusetzen, weil dieses wieder durch eine andere Größe, nämlich die Zeit und ihre willkürliche Einteilung in Sekunden, bedingt sei. Die Kommission schlug deshalb vor, den Meridianquadranten möglichst genau zu messen und seinen zehnmillionsten Teil als die gewünschte Einheit anzunehmen.
Veranlaßt durch diese Verhandlungen und Beschlüsse entstanden zwei Arbeiten, von denen die eine auf eine möglichst genaue Bestimmung des Sekundenpendels hinauslief. Die andere schuf die Grundlage des metrischen Systems. Sie bestand in der Messung eines von Dünkirchen bis Barcelona reichenden Meridianbogens[797].
Die Pendelmessungen währten vom Juni bis zum August 1792. Sie erfolgten unter Anwendung aller Kautelen und mit der größten Genauigkeit nach der Methode der Koinzidenzen. Das Verfahren beruhte darauf, daß die Schwingungen des Pendels einer astronomischen Uhr mit den Schwingungen des zu messenden Pendels verglichen wurden. Uhr und Pendel waren durch einen Glaskasten vor Luftbewegungen geschützt. Das Pendel bestand aus einem dünnen Platindraht und einer Platinkugel von etwa 161/6 Linien Durchmesser. Sie war auf eine besondere Art befestigt[798] und die Aufhängevorrichtung wurde so eingerichtet, daß sie auf die Schwingungsdauer des Pendels keinen Einfluß hatte. Die Beobachtung nach der Methode der Koinzidenzen, deren sich Borda zuerst bediente, geschieht folgendermaßen: Man läßt beide Pendel schwingen und beobachtet die Durchgänge durch das Gesichtsfeld eines in die Richtung DD, eingestellten Fernrohrs. Man bestimmt zunächst den Zeitpunkt, in dem beide Pendel gleichzeitig durch das Gesichtsfeld gehen (eine Koinzidenz). Da die Pendel nicht gleich lang sind, so wird bei der nächsten Schwingung das eine Pendel schon ein wenig vorangeeilt sein, und die nächste Koinzidenz wird eintreten, sobald das etwas rascher schwingende Pendel eine volle Schwingung mehr gemacht hat als das andere. Je mehr Koinzidenzen man unter jedesmaliger Feststellung der von einer Koinzidenz bis zur anderen verflossenen Zeit ermittelt, desto genauer wird die experimentelle Grundlage für die sich anschließenden Berechnungen sein. Zunächst galt es, aus der Beobachtung der Koinzidenzen die Zahl der Schwingungen zu bestimmen, die das Pendel in einem Tage mittlerer Sonnenzeit macht. Dann mußten alle erforderlichen Korrekturen vorgenommen werden, um die Entfernung des Aufhängepunktes bis zum Schwingungsmittelpunkt zu finden. Endlich galt es, aus dieser reduzierten Entfernung und der Zahl der Schwingungen, die das benutzte Pendel an einem Tage macht, die Länge des Sekundenpendels zu berechnen. Sie ergab sich für Paris (48° 50ʹ 14ʺ n. Br.) gleich 440,5593 Linien. Daraus folgt für die Beschleunigung g der Wert 9,80882 m[799].
Abb. 127. Die Bestimmung der Länge des Sekundenpendels.
Wir wenden uns jetzt der zweiten, durch den Wunsch nach einem einheitlichen Maß veranlaßten Messung zu. Sie wurde besonders im Anfange durch die Wirren der Revolution in hohem Grade gestört und nahm eine Reihe von Jahren in Anspruch. Man muß die Kühnheit, die Ausdauer und das Geschick bewundern, womit ein solches Riesenwerk in einer Zeit ins Werk gesetzt und durchgeführt wurde, in der das Land unter Greueltaten litt, von Feinden bedroht war und keine festbegründete, staatliche Ordnung besaß. Durch ein Gesetz vom 1. August 1793 wurde die Länge des Meters vorläufig auf 443,443 Linien festgesetzt unter der Voraussetzung, daß das zu erwartende Ergebnis der Gradmessung nicht wesentlich hiervon abweichen werde.
Über dieses Ergebnis konnte die Kommission für Maß und Gewicht erst mehrere Jahre später berichten. Das durch geodätische Bestimmungen gefundene, als Meter bezeichnete Maß belief sich auf 443,296 Linien (3 Fuß 11,296 Linien). Das provisorische Maß war also um 0,146 Linien, d. h. um etwa 1/3 mm länger als das durch die Gradmessung ermittelte Meter. Darauf wurde die Einheit des Gewichtes im dezimalen metrischen System bestimmt. Es ergab sich, daß das Kubikdezimeter destillierten Wassers von größter Dichte im leeren Raum 18827,15 Gran wog[800]. Die so erhaltenen, sehr genau gearbeiteten, aus Platin verfertigten Normalmaße (ein Meter und ein Kilogramm) wurden am 22. Juni 1799 im Staatsarchiv hinterlegt. Sie werden dort mit größter Sorgfalt aufbewahrt und nur selten zur Verifizierung gebraucht, da für diesen Zweck von ihnen entnommene Maße dienen.
Es konnte nicht ausbleiben, daß man später Fehler in der Bestimmung des Gradbogens entdeckte. Eine 1840 unternommene Berechnung ergab für das Meter 3 Fuß 11,375 Linien. Danach ist ein Meridianquadrant nicht 10000000, sondern 10000856 mal so groß, wie der in Paris aufbewahrte étalon primitif. Man beschloß aber, an letzterem festzuhalten, »weil man auf dem eingeschlagenen Wege doch nicht in aller Strenge zu einem natürlichen Maße gelangen« könne.
Wie das Ergebnis dieser zu den denkwürdigsten wissenschaftlichen Untersuchungen zählenden Gradmessung, so ist auch ihre Ausführung von Interesse. Übertraf sie doch alle früheren an Umfang und Genauigkeit. Die äußersten Punkte des gemessenen Bogens waren Dünkirchen (51° 2ʹ 10,5ʺ n. Br.) und ein Turm (41° 21ʹ 44,8ʺ n. Br.) in der Nähe von Barcelona. Die Länge dieses Bogens betrug also 9° 40ʹ 25,7ʺ. Seine Mitte lag unter 49° 11ʹ 58ʺ. Da man die Mitte des Bogens möglichst unter 45° n. Br. zu haben wünschte, dehnte man die Triangulationen später (1806) weiter nach Süden bis zur Insel Formentera aus. Der Bogen erhielt dadurch eine Länge von 12° 22ʹ 13,44ʺ. Seine Mitte fällt unter 44° 51ʹ 2,83ʺ.
Der Triangulation wurden zwei Standlinien zugrunde gelegt. Die eine in der Nähe von Paris war 6075,9 Toisen lang, die andere in der Nähe der spanischen Grenze (Perpignan) besaß eine Länge von 6006,25 Toisen und diente zur Kontrolle. Ausgemessen wurden diese Standlinien mit Platinstangen, die unter der Aufsicht von Borda mit der größten Sorgfalt verfertigt waren. Besondere Vorkehrungen dienten dazu, um die jeweils herrschende Temperatur bei der Benutzung dieser Stangen in Betracht zu ziehen usw. In wissenschaftlicher Hinsicht hatte die Messung das bemerkenswerte Ergebnis, daß die Erde kein regelmäßiges Rotationsellipsoid vorstellt, daß also kein Meridianquadrant genau gleich dem anderen ist. Auch eine zur selben Zeit in England unternommene Gradmessung kleineren Umfangs, die aber mit größter Genauigkeit durchgeführt wurde, ergab die gleiche Anomalie. Um also wenigstens annähernd die Gestalt der Erde zu bestimmen, mußte man die Ergebnisse aller an den verschiedenen Orten der Erde vorgenommenen Gradmessungen zusammenfassen und nach der Methode der kleinsten Quadrate diejenige Gestalt daraus berechnen, die der wahren Gestalt der Erde am nächsten kommt. Diese Aufgabe, mit der sich schon Bessel beschäftigte, suchte das im Jahre 1886 gegründete Unternehmen der internationalen Erdmessung zu lösen. Das Ergebnis, zu dem man seitdem vorgedrungen ist, läuft darauf hinaus, daß die Erde keine regelmäßige mathematische Gestalt besitzt. Sie bildet zwar eine nach außen überall konvexe Fläche, zu deren Bestimmung indessen die geodätische Untersuchung nur vorzudringen vermag, wenn sie sich mit der systematisch durchgeführten Schweremessung verbindet. Man hat sie als Geoid bezeichnet und bringt sie mit dem Normalellipsoid in der Art in Verbindung, daß die Abweichungen zwischen diesem und dem Geoid durch trigonometrische Messung, geodätisches Nivellement und Schweremessung ermittelt werden, um auf diese Weise immer genaueren Aufschluß über die wahre Gestalt der Erde zu erlangen.