8. Die neuere Mathematik und ihre Beziehungen zu den Naturwissenschaften.
Das 18. Jahrhundert war auf den Gebieten der Astronomie und der Physik vorzugsweise mit der Lösung der aus der Newton-Huygensperiode übernommenen Probleme beschäftigt. Fast ausschließlich in das 18. Jahrhundert fiel auch der Aufschwung, den die Lehre von der Reibungselektrizität nahm. Hier waren die beiden vorangehenden Perioden kaum über die seit alters bekannten einfachsten Wahrnehmungen hinausgekommen. Auf dem Gebiete der Chemie wurde durch zahlreiche Beobachtungen die große Tat vorbereitet, welche dieser Wissenschaft im Beginn der neuesten Zeit ein gänzlich verändertes Aussehen geben sollte, während in der Zoologie und in der Botanik die systematische Richtung überwog und nur hin und wieder das experimentelle Verfahren zum Durchbruch kam. Daß dieses Verfahren auf allen Gebieten Platz greift und daß man es überall mit der mathematischen Behandlungsweise zu verknüpfen sucht, kennzeichnet die gegen das Ende des 18. Jahrhunderts beginnende Periode in der Entwicklung der Wissenschaften, deren Betrachtung wir uns jetzt zuwenden.
Daß sich die Natur aus der Mechanik der Atome erklären lasse, galt den meisten Forschern als ausgemacht. Die atomistisch-mechanische Behandlungsweise fand ihren weitgehendsten Ausdruck durch Laplace. »Ein Geist«, sagt er, »der für einen gegebenen Augenblick alle Kräfte kennt, welche die Natur beleben und die gegenseitige Lage der Wesen, aus denen sie besteht und diese Angaben der mathematischen Analyse unterwirft, könnte in dieselbe Formel die Bewegungen der größten Weltkörper und des leichtesten Atoms einbegreifen. Zukunft und Vergangenheit wären seinem Blicke gegenwärtig.« Der menschliche Verstand, fügt Laplace hinzu, biete in der Vollendung, die er der Astronomie gegeben, ein schwaches Abbild eines solchen Geistes dar.
Für Deutschland ging die Anregung, die Mathematik auf die gesamte Naturlehre anzuwenden, besonders auf Leibniz und seinen Schüler Wolf[186] zurück. Während der ersten Hälfte des 18. Jahrhunderts war die Leibniz-Wolfsche Philosophie die herrschende. In ihr wurzelt auch die darauf folgende Zeit der Aufklärung, mit der in Deutschland wie in Frankreich die Hauptzweige der bisherigen Entwicklung der Philosophie, der idealistische und der realistische nämlich, zu einem gewissen Abschluß kamen, indem sie beide in eine verflachende Popularphilosophie ausmündeten.
In dem Bestreben, die Naturerscheinungen auf Bewegungen zurückzuführen und sie auf diese Weise der mathematischen und der mechanischen Erklärung zugänglich zu machen, hatte das 17. Jahrhundert die alte Lehre von der atomistischen Zusammensetzung als Korpuskulartheorie zu neuem Leben erweckt. Die Korpuskeln oder Partikeln spielten für die Erklärung der physikalischen Vorgänge eine große Rolle. Angeregt durch Christian Wolf versuchte Lomonossow die Korpuskulartheorie auf die Chemie auszudehnen, um dadurch auch diese Wissenschaft der mathematischen Behandlungsweise zugänglich zu machen. Lomonossows[187] Gedankengang war etwa der folgende: Alle Änderungen kommen nach der Lehre Wolfs durch Bewegungen zustande. Das gilt auch von den Änderungen der zusammengesetzten Körper, der chemischen Verbindungen, wie wir heute sagen würden. Mit den Bewegungen befaßt sich die Mechanik. Folglich müssen die Änderungen der zusammengesetzten Körper, d. h. die chemischen Vorgänge, mechanisch erklärt werden können. Nur so lasse sich die Chemie zu einer exakten Wissenschaft machen. Des weiteren fordert Lomonossow, die chemischen Veränderungen auf Grund der Versuche und Gesetze der Physik zu erklären und damit einen neuen Wissenszweig zu schaffen, den er schon als »physikalische Chemie« bezeichnet. Es blieb aber bei der Aufstellung von Forderungen und Zielen, von deren Verwirklichung die Wissenschaft noch weit entfernt war. Immerhin hat Lomonossow das Verdienst, jene Forderungen erhoben und jene Ziele erkannt und ausgesprochen zu haben. Auch auf dem Gebiete der Wärmelehre und der Oxydationsvorgänge war Lomonossow ein Vorläufer derjenigen Männer, die hier die neueren Grundlagen schufen[188]. Die Bestrebungen, die Mathematik auf die Chemie auszudehnen, ruhten jetzt nicht mehr. Und gerade im Herzen Deutschlands, wo Wolf gelehrt und Lomonossow studiert hatte, zeitigten diese Bestrebungen die ersten Früchte, indem Wenzel und Richter die Anfänge der Stöchiometrie schufen. Daß diesen Männern das ein halbes Jahrhundert früher gesteckte Ziel vorschwebte, leuchtet schon ans den Titeln ihrer stöchiometrischen Schriften hervor[189].
Die Vorstellung von der atomistischen und molekularen Konstitution der Materie gewann noch größere Bedeutung, nachdem sie Dalton um 1800 zu einer wohlbegründeten Theorie ausgestaltet hatte. Auf Grund dieser Theorie suchte man jetzt unter der Annahme von molekularen Fernkräften, für welche das Newtonsche Gravitationsgesetz ein Analogon darbot, die Naturerscheinungen der mathematischen Analyse zu unterwerfen. Das Ziel indessen, das Laplace und seinen Zeitgenossen vorschwebte, und das in der Forderung gipfelte, aus möglichst wenigen Voraussetzungen den Gesamtverlauf der Naturerscheinungen mechanisch zu erklären, hat sich nicht verwirklichen lassen. An seine Stelle setzte die neuere Mechanik, um mit den Worten Kirchhoffs zu reden, die bescheidenere Aufgabe, den Ablauf der Vorgänge auf die einfachste Weise möglichst vollständig zu beschreiben.
Die Mathematik hatte sich bis zum Beginn des 19. Jahrhunderts Hand in Hand mit den Naturwissenschaften entwickelt. Descartes, Galilei, Kepler, Newton, Leibniz, sie alle hatten auf beiden Gebieten Hervorragendes geleistet, weil sie von dem Gedanken des innigen Zusammenhanges beider Wissenschaften durchdrungen waren. Zwar tauchten auch mathematische Probleme auf, die zunächst außer Beziehung zur realen Welt zu stehen schienen. Und sie wurden von den Mathematikern darum nicht etwa hintangesetzt. Doch kannte man jene im 19. Jahrhundert lange herrschende Richtung, die sich so stolz als »reine Mathematik« bezeichnete und schließlich jede Fühlung mit der Wirklichkeit verlor, weder im 17. noch im 18. Jahrhundert. Wir haben in einem früheren Abschnitt erfahren, wie Bernoulli, Lagrange und Euler die Infinitesimalrechnung zu einem der allerwichtigsten Hilfsmittel, sozusagen zum Handwerkszeug des Naturforschers, ausgestalteten. Um die Wende des 18. zum 19. Jahrhundert erlangen zwei neue mathematische Zweige für die Naturwissenschaften und ganz besonders für ihre Anwendungen eine ähnliche Bedeutung. Es sind das die darstellende und die projektivische Geometrie. In ihren Anfängen reichen beide zwar in weit frühere Perioden zurück.
Die darstellende Geometrie, deren Aufgabe es ist, Raumgebilde in der Ebene darzustellen und aus diesen Darstellungen mit vollkommener Genauigkeit wieder zu rekonstruieren, wird gewöhnlich als eine Schöpfung von Monge betrachtet. Man darf aber nicht vergessen, daß die Benutzung von Grund- und Aufrißzeichnungen so alt ist, wie die Baukunst. Papyrusfunde haben bewiesen, daß die Ägypter für ihre Bauten derartige Zeichnungen anfertigten. Und Vitruvius gibt in seinem zur Zeit des Augustus entstandenen Werke über die Architektur eine ausführliche Darstellung des von den römischen Baumeistern geübten Grundriß- und Aufrißverfahrens. Seine Weiterentwicklung erfuhr dieses aus unmittelbaren Bedürfnissen entstandene Wissen nicht am Schreibtisch des Gelehrten, sondern an den Stätten der Praxis, vor allem in den Bauhütten des Mittelalters. Die wunderbaren architektonischen Werke jener Zeit konnten nur entstehen, wenn ihre Schöpfer Aufgaben der darstellenden Geometrie, wie sie besonders für den Schnitt der Gewölbe in Betracht kamen, zu lösen vermochten. Ohne Zweifel wurde manche der erforderlichen Konstruktionen empirisch gefunden und verwendet, ohne daß man den mathematischen Beweis für ihre Richtigkeit erbracht hätte. Dies geht z. B. auch daraus hervor, daß manche Schriften des 16. und 17. Jahrhunderts für die Baukunst wichtige Konstruktionen mitteilen, ohne auch nur den Versuch eines Beweises zu machen.
Ein nicht minder großes Interesse an der Entwicklung des Verfahrens, körperliche Gebilde in der Ebene richtig darzustellen, besaßen die Maler. Es kann daher nicht Wunder nehmen, daß das erste deutsche Buch über diesen Gegenstand von einem Maler und zwar von unserem großen Albrecht Dürer herstammt. Er verdient deshalb nicht minder als Lionardo da Vinci einen Platz in der Geschichte der Wissenschaften.
Dürers Schrift erschien 1525; sie führt den Titel: »Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in Linien, ebenen und gantzen corporen.« Die Bedeutung dieser Schrift besteht weniger in den Konstruktionen, die sie lehrt, als in der Forderung, die perspektivische Grundlage eines Bildes nicht wie bisher aus freier Hand zu fertigen, wobei grobe Fehler ganz unvermeidlich seien, sondern die perspektivische Zeichnung nach mathematischen Vorschriften zu machen. Dürer ist dadurch zum Begründer der Lehre von der Perspektive geworden.
Monge dagegen gebührt das große Verdienst, die im Verlaufe einer langen Entwicklung entstandenen Ansätze, von denen hier nur einige Erwähnung finden konnten, nicht nur vermehrt, sondern zu einem, auf strenge Beweisführung gegründeten, wissenschaftlichen Lehrgebäude, der heutigen deskriptiven oder darstellenden Geometrie, ausgestaltet zu haben.
In dem äußeren wie dem inneren Leben von Monge spiegeln sich die geistigen, politischen und kulturellen Zustände seiner Ära, des Zeitalters der französischen Revolution, die bald zu einer europäischen werden sollte, mit besonderer Deutlichkeit wieder.
Gaspard Monge ging aus dem durch die Revolution erst zur Geltung gelangenden dritten Stand, der in geistiger Beziehung bald der erste werden sollte, hervor. Monge wurde 1746 in einem burgundischen Städtchen als der Sohn eines armen Handwerkers geboren, der sich die größten Entbehrungen auferlegte, um seinen Söhnen eine wissenschaftliche Ausbildung zu geben. Mit 16 Jahren wirkte Monge schon als Lehrer der Physik in Lyon. Später lehrte er an einer Schule für Militäringenieure Baukonstruktionslehre. Aus der Beschäftigung mit diesem Gegenstande schuf Monge in dem Bestreben, die teils umständlichen, teils noch empirischen älteren Methoden zu vereinfachen und wissenschaftlich zu begründen, seit 1770 etwa seine darstellende Geometrie. Veröffentlicht hat Monge sein Lebenswerk erst 1798[190], weil ihm, solange er an der Militärschule wirkte, die Geheimhaltung seines genialen Lehrganges zur Pflicht gemacht worden war.
Monge gehörte, wenn er politisch auch weniger hervortrat, zu den großen Männern der französischen Revolution. Der Konvent ernannte ihn zum Leiter der Geschützgießereien. In dieser Stellung verfaßte er ein Werk über die Anfertigung von Kanonen. Während der Schreckensherrschaft wurde er in den Anklagezustand gesetzt. Er floh daher ins Ausland, kehrte aber bald nach Frankreich zurück und fand Gelegenheit, bei der Gründung der École polytechnique, dem großartigen Vorbilde für die technischen Schulen des 19. Jahrhunderts, einen maßgebenden Einfluß auf die Gestaltung des gewerblichen Unterrichtswesens[191] auszuüben. Die damals von Monge erhobenen Forderungen, nämlich naturwissenschaftlicher Unterricht, Übung der Schüler im Gebrauch wissenschaftlicher Instrumente, Pflege des wissenschaftlich begründeten Zeichnens, Anwendung der darstellenden Geometrie auf die Bau- und Maschinenkonstruktionslehre, sind für die Folge die wichtigsten Grundlagen geblieben, auf denen allein die moderne Technik zu der sie heute auszeichnenden Vollendung emporwachsen konnte.
Aus dem späteren Leben von Monge verdient noch Erwähnung, daß er neben Berthollet der hervorragendste Gelehrte war, der sich an Napoleons Expedition nach Ägypten beteiligte. Napoleon, welcher die Bedeutung der exakten Wissenschaften wie kein anderer Herrscher zu würdigen verstand, überhäufte Monge mit Ehren. Auch während des Kaiserreichs war Monge an der École polytechnique als Lehrer tätig. Nach der Rückkehr der Bourbonen wurde er seiner Ämter entsetzt. Er verfiel infolgedessen in geistige Umnachtung, von der ihn jedoch ein baldiger Tod im Jahre 1818 erlöste.
Unter den mathematischen und mechanischen Schriften, die wir Monge verdanken, nimmt seine »Darstellende Geometrie«, durch welche er diese Disziplin wissenschaftlich begründete, die erste Stelle ein. Ihre Aufgabe ist nach Monge eine doppelte. Einmal gilt es, alle Gebilde von drei Dimensionen auf Gebilde von zwei Dimensionen, die sich auf dem Zeichenblatte darstellen lassen, zurückzuführen. Zweitens lehrt die darstellende Geometrie aus der Zeichnung alle Beziehungen ableiten, die aus der Gestalt und der gegenseitigen Lage der in der Ebene dargestellten Raumgebilde entspringen.
Die von Monge zur Lösung dieser Aufgaben angewandte Projektionsmethode geht von der Voraussetzung aus, daß die Lage eines Punktes im Raume mathematisch bestimmt ist, wenn man seine Projektionen auf zwei zu einander senkrechten Ebenen kennt. Unter der Projektion eines Punktes auf eine Ebene versteht Monge den Fußpunkt des von dem Punkte auf die Ebene gefällten Lotes. Sehr übersichtlich wurde das Projektionsverfahren vor allem dadurch gemacht, daß Monge sich die vertikale Ebene um ihre Schnittlinie mit der horizontalen Ebene gedreht denkt, bis sie mit der letzteren zusammenfällt. Die vertikale Ebene wird also mit den Projektionen, welche sie enthält, auf demselben Blatt gezeichnet, das für die horizontale Projektion dient. Beide Ebenen sind nur durch eine Schnittlinie (Projektionsachse) getrennt. Und man muß sich stets daran erinnern, daß die vertikale Ebene um diese Schnittlinie wie um ein Scharnier um 90 Grad gedreht werden muß, um in ihre eigentliche Stellung zu kommen. Dieser treffliche Grundgedanke bot eine Menge von Vereinfachungen und Vorteilen. So erkennt man ohne weiteres, daß die beiden Projektionen jedes Punktes in ein- und derselben, senkrecht zur Schnittlinie gezogenen Geraden liegen, daß eine Ebene durch ihre beiden Schnitte mit den Projektionsebenen (ihren Spuren) vollständig bestimmt ist, und daß diese Spuren die Schnittlinie der beiden Projektionsebenen (die Projektionsachse) in ein- und demselben Punkte treffen.
Auf das Werk von Monge noch weiter einzugehen, verbietet sich von selbst. Es trägt die einzelnen Aufgaben über die Darstellung ebener und krummer Flächen, ihrer Schnitte, der wichtigsten Körper und ihrer Durchdringungen nach Umfang und Form in der noch heute üblichen Weise vor. Eine Weiterentwicklung hat die darstellende Geometrie erst in der neuesten Zeit durch ihre innigere Verknüpfung mit der von Poncelet und Steiner begründeten neueren synthetischen Geometrie erfahren.
Die ersten Untersuchungen, durch welche die neuere synthetische Geometrie vorbereitet wurde, reichen bis ins 17. Jahrhundert zurück. Sie rühren von zwei Zeitgenossen und Landsleuten des Descartes, von Desargues und von Pascal, her. Desargues[192] zeigte in seiner Schrift »Über die Tatsachen, zu welchen der Schnitt eines Kegels durch eine Ebene Veranlassung gibt,« daß für die Kegelschnitte eine zu den allgemeinsten Sätzen führende Betrachtungsweise möglich ist. Denkt man sich das Auge in der Spitze des Kegels, so erscheint ein elliptischer Schnitt in dieser Perspektive in der Form eines Kreises. Desargues stellte sich die Aufgabe, aus den Eigenschaften dieses Kreises die Eigenschaften der Kegelschnitte durch eine Art perspektivischer Beweisführung abzuleiten und gelangte so zuerst zu Sätzen, die für alle Arten der Kegelschnitte gelten. Einer dieser für alle Kegelschnitte gültigen Sätze wird noch heute als der Satz von Desargues bezeichnet[193].
Unter seinen Zeitgenossen wurde Desargues wohl nur von Pascal verstanden. Desargues Satz vom Sehnenviereck fügte Pascal den Satz vom Pascalschen Sechseck hinzu. Dieser besagt von jedem einem Kegelschnitte einbeschriebenen Sechseck, daß die drei Punkte, in welchen sich je zwei gegenüberliegende Seiten schneiden, auf einer geraden Linie liegen. Auch dieser Satz wurde zunächst für den Kreis bewiesen. Aus dem perspektivischen Zusammenhange zwischen dem Kreis und den Kegelschnitten wurde dann erst seine Verallgemeinerung abgeleitet.
Der weitere Ausbau der perspektivischen, oder, wie sie auch wohl genannt wird, der projektiven Geometrie erfolgte im 19. Jahrhundert. Die erste systematische Zusammenfassung rührt wieder von einem Franzosen und zwar von Poncelet her, einem der genialsten Vertreter der angewandten Mathematik.
Jean Victor Poncelet wurde 1788 als Sohn armer Eltern in Metz geboren. Er starb 1867. Als Zögling der École polytechnique genoß er den Unterricht eines Ampère, Fourier, Légendre und anderer Zierden der Wissenschaft, mit denen Frankreich um die Wende zum 19. Jahrhundert so reich gesegnet war. Als Genieoffizier nahm Poncelet an dem Feldzuge gegen Rußland teil. Er fiel in die Hände der Russen, und es folgten zwei Jahre Kriegsgefangenschaft. Diese unfreiwillige Muße füllte Poncelet damit aus, daß er die Grundzüge seines Verfahrens zu einem der bedeutendsten mathematischen Werke, dem »Traité des propriétés projectives des figures« entwickelte[194]. Durch dieses Buch ist Poncelet der Schöpfer der neueren synthetischen oder projektivischen Geometrie geworden. Dem Grundgedanken der neuen Betrachtungsweise sind wir schon im 17. Jahrhundert begegnet[195]. Sie unterscheidet sich von dem Verfahren der darstellenden Geometrie[196], das Monge ausbildete, in folgendem. Während Monge die Gebilde vermittelst paralleler Linien auf zwei zu einander senkrechte Ebenen projiziert, betrachtet Poncelet ihr perspektivisches Bild. Ein solches entsteht, wenn man von dem betrachtenden, als Punkt gedachten Auge aus Strahlen nach den Punkten des zu untersuchenden Gebildes zieht und in den Weg dieser Strahlen eine Fläche, in der Regel eine Ebene, bringt. Die Punkte, in welchen die Strahlen jene Ebene schneiden, bilden das perspektivische Bild. Aus diesem ergeben sich die Eigenschaften der zu untersuchenden und verwandter Gebilde oft mit überraschender Einfachheit. Zudem ist das Verfahren Poncelets in solchem Grade rein geometrisch, d. h. es verzichtet so gänzlich auf alle besonderen Hilfsmittel, daß es in dieser Hinsicht alle anderen Methoden übertrifft. Während wir uns in der analytischen Geometrie der Koordinaten und des Kalküls und in der darstellenden Geometrie des Auf- und Grundrisses bedienen, operiert Poncelet lediglich mit den Objekten selbst.
Nach der Veröffentlichung seiner projektivischen Geometrie war Poncelet als Lehrer der technischen Wissenschaften in seiner Vaterstadt und später in Paris tätig. Dieser Umstand und die Angriffe, die seine mathematischen Arbeiten aus kleinlichen Beweggründen erfuhren, bewogen ihn, sich vorwiegend mit angewandter Mathematik zu beschäftigen. Auch auf diesem Gebiete reihen sich seine Leistungen den höchsten an. Was Poncelet in der Hydromechanik und in der Maschinentheorie geschaffen, wird noch heute zu den »Grundsäulen« dieser Wissenszweige gerechnet[197]. Erwähnt sei nur, daß Poncelet die Wasserräder verbesserte (Ponceletrad) und das Kilogrammmeter als Einheit für die mechanische Arbeit, deren Äquivalenz mit der lebendigen Kraft er besonders hervorhob, einführte.
Zehn Jahre nach dem Erscheinen der projektivischen Geometrie Poncelets fand diese Wissenschaft in Deutschland die hervorragendste Förderung durch Steiners »Systematische Entwicklung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten voneinander«[198].
Jakob Steiner wurde 1796 als Sohn eines armen Bauern in der Nähe von Solothurn geboren[199]. Er empfing den ersten Unterricht in einer Dorfschule und besuchte darauf Pestalozzis Erziehungsanstalt. Hier, sowie in Heidelberg, wo Steiner drei Jahre seinen Lebensunterhalt durch Privatstunden erwarb, fand er für seine wissenschaftliche Richtung kaum irgend welche Anregung. Er war vielmehr auf seinem Gebiete, da es in Deutschland dafür zu jener Zeit kaum einen Vertreter gab, vorwiegend Autodidakt. Nachdem Steiner Heidelberg verlassen, wirkte er als Lehrer an einer Erziehungsanstalt in Berlin. Dort wurde er durch einen Zufall mit Alexander von Humboldt bekannt. Einer der schönsten Züge Humboldts bestand darin, daß er junge Talente sozusagen entdeckte und sie vermöge der hervorragenden Stellung, in die ihn Geburt und Verdienst gewiesen, neidlos förderte. Steiner wurde durch Vermittlung Humboldts an der Berliner Gewerbeschule angestellt, an der auch der Chemiker Wöhler wirkte. Später erhielt Steiner auf die Empfehlung Humboldts und Jacobis hin eine Professur an der Berliner Universität. Durch das Zusammenwirken von Steiner mit Crelle und dem in den zwanziger Jahren gleichfalls in Berlin lebenden nordischen Mathematiker Abel entstand 1826 Deutschlands bedeutendste mathematische Zeitschrift, das Crellesche Journal für reine und angewandte Mathematik.
Zu den ersten Beiträgen Steiners für diese Zeitschrift gehört seine unter dem Titel »Einige geometrische Betrachtungen« veröffentlichte Abhandlung vom Jahre 1826[200]. In dieser Abhandlung beschäftigt sich Steiner, angeregt durch das Malfattische Problem, besonders mit Kreisberührungsaufgaben. Auf den Inhalt kann hier nicht näher eingegangen werden. Erwähnung verdient jedoch Steiners von ihm selbst geschilderte Art, wissenschaftlich zu arbeiten. Steiner sagt nämlich, er pflege über eine Aufgabe oder einen Gegenstand sich nicht eher aus den Schriften anderer zu unterrichten, bis er eine Auflösung oder einen Weg durch eigenes Nachdenken gefunden habe. Erst dann vergleiche er seine Resultate mit den schon vorhandenen[201]. Es ist das zwar nicht ein Verfahren für jedermann. Es ist aber dasjenige, das am sichersten den Fortschritt der Wissenschaft verbürgt.
In einer zweiten Abhandlung löst Steiner die Aufgabe, einzig mit Hilfe eines Lineals ohne Anwendung des Zirkels alle geometrischen Konstruktionen auszuführen, wenn nur irgend ein fester Hilfskreis gegeben ist. Die ältere Geometrie benötigte nämlich für die Mehrzahl ihrer Aufgaben des Lineals und des Zirkels. Die betreffende Abhandlung[202] Steiners bringt die Lehre von den harmonischen Strahlen und Punkten, von den harmonischen Eigenschaften des Kreises, den Ähnlichkeitspunkten, Potenzen von Kreisen und schließlich die Lösung aller geometrischen Aufgaben mittelst des Lineals, wenn ein fester Kreis gegeben ist.
Wir gelangen endlich zu dem für die neuere Geometrie grundlegend gewordenen Hauptwerk Steiners, seiner »Systematischen Entwicklung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten voneinander«[203]. Das Werk läßt sich als der erste Versuch bezeichnen, die Geometrie von einem Keime aus nach allen Richtungen organisch zu entwickeln[204], sodaß an Stelle des Heeres von auseinander gerissenen Eigentümlichkeiten eine umfassende und klare Übersicht gewonnen wurde.
Auf dem bisher üblichen Wege gelangte man wohl zu einer Sammlung scharfsinniger Kunststücke, aber nicht zu einem innerlich zusammenhängenden Ganzen. Durch die Aneignung der Grundbeziehungen, so lauten Steiners Ausführungen über das Ziel seines Unternehmens, mache man sich zum Herrn des ganzen Gegenstandes. »Es tritt Ordnung in dem Chaos ein, und man sieht, wie alle Teile naturgemäß ineinander greifen und zu wohlbegrenzten Gruppen sich vereinigen. Der Kern der Sache besteht darin, daß die Abhängigkeit der Gestalten voneinander und die Art und Weise aufgedeckt wird, wie ihre Eigenschaften von den einfacheren Figuren zu den zusammengesetzteren sich fortpflanzen. Eigenschaften der Figuren, wie die konjugierten Durchmesser der Kegelschnitte und das mystische Sechseck und Sechsseit[205], von deren Vorhandensein man sich sonst durch künstliche Beweise überzeugen mußte, und die, wenn sie gefunden waren, als etwas Wunderbares dastanden, zeigen sich nun als notwendige Folgen der unscheinbarsten Eigenschaften der aufgefundenen Grundelemente.«
Wenn wir es uns auch versagen müssen, Steiners »Systematische Entwicklung« im einzelnen zu erörtern, so wollen wir doch bei seiner Behandlung der Kegelschnitte, jenes Gebietes, das die Mathematiker seit der Zeit des Menächmos und des Apollonios bis auf den heutigen Tag beschäftigt, noch etwas verweilen. Erst bei der Erzeugung der Kegelschnitte durch projektivische Gebilde ergaben sich fundamentale Sätze, d. h. Sätze, die so umfassend sind, daß die übrigen Eigenschaften der Kegelschnitte klar aus ihnen folgen. Steiner folgerte z. B. aus seinen Fundamentalsätzen[206], daß durch fünf beliebige Tangenten oder durch irgend fünf Punkte in einer Ebene ein Kegelschnitt bestimmt ist. Fünf beliebige Gerade in einer Ebene können also stets von einem, aber auch nur von einem einzigen Kegelschnitt berührt werden. Oder auch: Fünf beliebige Punkte in einer Ebene liegen jedesmal in einem, aber auch nur in einem einzigen Kegelschnitte.
In ganz neuer Beleuchtung und der Eigenschaft des Wunderbaren entkleidet erschienen nun auch die Sätze vom Pascalschen und Brianchonschen Sechseck. Zahlreiche Mathematiker hatten Beweise für diese Sätze beigebracht und die Lehre von den Kegelschnitten in mehr oder minder umfassender Weise darauf zu begründen versucht. Pascals Satz lautet, daß bei jedem einem Kegelschnitt umschriebenen Sechseck die Linien, welche die gegenüber liegenden Ecken verbinden, in einem Punkte zusammentreffen. Der Satz von Brianchon besagt, daß bei jedem einem Kegelschnitte eingeschriebenen Sechseck die drei Schnittpunkte der gegenüber liegenden Seiten in einer geraden Linie liegen. Steiner zeigte, daß beide Sätze nicht die eigentliche Grundlage für die Untersuchung der Kegelschnitte bilden, sondern daß sie zugleich mit vielen anderen Eigenschaften aus einer umfassenderen Quelle, nämlich aus der Beziehung projektivischer Gebilde fließen.
Von der Behandlung der Kegelschnitte nach projektivischer Methode wendet sich Steiner zur Erzeugung projektivischer Raumgebilde[207]. Die Untersuchung dreht sich besonders um die Eigenschaften der Paraboloide und der Hyperboloide.
Konnten Steiners Verdienste um die neueste Entwicklung der Geometrie hier auch nur angedeutet werden, so geht aus dem Gesagten doch hervor, daß durch ihn die Lehre von den Kegelschnitten, die wir ihrer Beziehungen zur Naturwissenschaft und zur Technik wegen an manchen Stellen dieses Werkes in Betracht gezogen haben, im wesentlichen und auf allgemeinster Grundlage zum Abschluß kam. »Was seitdem noch in dieser Beziehung geleistet worden ist, beschränkt sich auf die weitere Durcharbeitung und die formale Vollendung«[208].
Trotz dieser großen Erfolge der projektivischen Geometrie wurde die analytische Behandlung geometrischer Probleme keineswegs gänzlich beiseite geschoben. Wie die synthetische, so gewann auch die analytische Geometrie in der Neuzeit einen erhöhten Standpunkt. Dies geschah besonders durch Plückers »System der analytischen Geometrie«[209]. Plückers Verfahren bedeutet eine Loslösung von den zwei oder drei Achsen, auf die bisher die Flächen- oder die Raumgebilde bezogen wurden. Anstatt der Koordinaten führte er lineare Funktionen ein, welche den Strahlenbüscheln Steiners entsprechen. Die neueren Methoden der synthetischen und der analytischen Geometrie laufen daher, weil man sich auf beiden Gebieten beweglicher Elemente an Stelle der bisher üblichen festliegenden Grundgebilde bedient, auf eine Annäherung hinaus, die zu einer immer größeren, wechselseitigen Durchdringung und Befruchtung geführt hat[210].
Die Erkenntnis, daß gewisse Axiome der gewöhnlichen (Euklidischen) Geometrie sich nicht beweisen lassen, führte im Verlaufe des 19. Jahrhunderts zu einer neuen, nichteuklidischen Geometrie. Eine der ersten, früher nie angezweifelten Grundlagen der elementaren Geometrie ist das Parallelenaxiom. Es besagt, daß man durch einen Punkt außerhalb einer Geraden in der durch den Punkt und die Gerade festgelegten Ebene nur eine einzige Gerade ziehen kann, welche die erste Gerade nicht schneidet.
Bezweifelt man das Parallelenaxiom, so wankt auch der Satz, daß die Summe der Winkel eines Dreiecks gleich zwei Rechten ist. Kurz, die wichtigsten Grundlagen der Geometrie scheinen mit einer gewissen Unsicherheit behaftet zu sein, die eben daraus entspringt, daß man das Parallelenaxiom nicht beweisen kann. Gauß sprach daher, weil er die Unzulänglichkeit der zur Sicherstellung des Parallelenaxioms unternommenen Beweise erkannte, den Gedanken aus, daß es für die reine Mathematik von großem Wert sein müsse, eine Geometrie zu schaffen, die sich nicht auf jenes Axiom stützt. Was Gauß nur angedeutet, führte Lobatschefskij[211] aus. Er schuf in seiner Pangeometrie eine neue umfassendere Lehre, welche die gewöhnliche Geometrie als einen besonderen Fall, der unserer Auffassung vom Raume am vollkommensten entspricht, in sich einschließt[212]. Näher auf dieses Gebiet einzugehen, liegt nicht im Rahmen dieses Werkes, das die Mathematik nur insofern berücksichtigen kann, als sie die Entwicklung der Naturwissenschaften beeinflußt hat.
Das Ergebnis seiner Untersuchungen veröffentlichte Lobatschefskij 1856. Sein Urteil über die Bedeutung der nichteuklidischen Geometrie geht dahin, daß sie, auch wenn sie in der Natur keine Geltung hat, doch in unserer Vorstellung bestehen und ein neues weites Feld für mathematische Untersuchungen erschließen kann.
Nachdem wir einen Blick auf die Entwicklung geworfen, welche die Geometrie in ihrer jüngsten Phase genommen hat, wollen wir in aller Kürze auch einige wichtige Fortschritte des Kalküls erörtern. Seit dem frühen Altertum beschäftigten sich die Mathematiker mit der Lehre von den Gleichungen. Das Eindringen in ihre Probleme war besonders mühselig und setzte alle Kräfte in Bewegung. Wie lange dauerte es, bis man das Wesen der negativen Wurzeln und vor allem den Zusammenhang der Wurzeln mit den Koeffizienten erkannt hatte. Erst die Mathematiker des 18. Jahrhunderts (Euler, Lagrange 1772, Gauß 1799) bewiesen, daß jede Gleichung sich in soviel reelle oder imaginäre Faktoren auflösen läßt, als ihr Grad anzeigt. Trotzdem vermochten selbst Euler und Lagrange es nicht, Gleichungen aufzulösen, welche den vierten Grad überschreiten. Schon Gauß äußerte daher die Ansicht, daß die allgemeine Gleichung fünften Grades wahrscheinlich nicht lösbar sei. Den Beweis für diese Tatsache brachte der große norwegische Mathematiker Abel, mit dessen Bedeutung für die neueste Entwicklung des Kalküls wir uns zunächst zu beschäftigen haben.
Niels Henrik Abel wurde 1802 als der Sohn eines norwegischen Dorfpfarrers geboren. Er studierte in Christiania Mathematik und wurde seiner ungewöhnlichen Begabung wegen von der norwegischen Regierung mit einem Stipendium bedacht, um seine Studien in Deutschland und in Frankreich fortzusetzen. In Berlin gehörte Abel nebst Steiner zu den ersten Mitarbeitern des neu gegründeten Crelleschen Journals für die reine und angewandte Mathematik[213]. Abel starb mit 26 Jahren an einem Lungenleiden. Seine Berufung an die Berliner Universität traf ihn nicht mehr lebend an.
Von Abels Arbeiten verdient zunächst eine Untersuchung über die binomische Reihe Erwähnung[214]. Abel untersuchte diese Reihe zuerst für komplexe Werte und summierte sie für diese. Seine Arbeit ist für das Gebiet der unendlichen Reihen ein Muster exakter Beweisführung geworden.
Wichtiger als die erwähnte Arbeit ist Abels Nachweis, daß eine algebraische Gleichung von höherem als dem vierten Grade sich nicht allgemein auflösen läßt[215]. Einige Jahre später zeigte Abel, daß es trotzdem für jeden Grad eine besondere Klasse von Gleichungen gibt, deren algebraische Auflösung möglich ist. Die Auflösung dieser Gleichungen, die man später als »Abelsche Gleichungen« bezeichnet hat, ist dadurch möglich, daß zwischen ihren Wurzeln gewisse Beziehungen bestehen[216].
Von dem großen Verdienst endlich, das sich Abel um die Mitbegründung der Theorie der elliptischen Funktionen erworben hat, wird an anderer Stelle die Rede sein. Hier gilt es zunächst, die weitere Entwicklung der Lehre von den Gleichungen zu verfolgen. Diese Entwicklung ist insbesondere den französischen Mathematikern Fourier und Sturm zu danken.
Mit Fouriers Verdiensten um die mathematische Physik werden wir uns an anderer Stelle beschäftigen. Hier haben wir es nur mit seiner wichtigsten rein mathematischen Schrift zu tun, die 1831 unter dem Titel »Die Auflösung der bestimmten Gleichungen« erschien[217]. Fourier lehrte darin die reellen Wurzeln finden, die zwischen zwei beliebigen Werten von x liegen, und verbesserte Newtons Berechnungsmethode wesentlich. An sein Theorem über die Bestimmung von Intervallen für die reellen Wurzeln einer Gleichung knüpfte Charles Sturm an (geboren 1803 in Genf, Professor an der École polytechnique. Er starb 1855). Seine Abhandlung über die Auflösung der numerischen Gleichungen (1835) zeigte, wie sich vermittelst des nach ihm benannten Theorems auf die einfachste Weise die Anzahl der reellen Wurzeln erkennen und ihre Begrenzung finden läßt. Sie bedeutet deshalb den hervorragendsten Fortschritt in dem Verfahren der numerischen Auflösung algebraischer Gleichungen mit reellen Koeffizienten[218].
Als das hervorragendste mathematische Hilfsmittel der Naturwissenschaft erwies sich auch im 19. Jahrhundert in stetig wachsendem Maße die Differential- und Integralrechnung. Unter den zahlreichen Arbeiten, welche diese mathematische Disziplin während des ersten Zeitraums des 19. Jahrhunderts förderten, verdienen die Abhandlungen von Pfaff und von Cauchy besondere Erwähnung.
Pfaff[219] löste zuerst das Integrationsproblem der partiellen Differentialgleichungen, um welches Euler und Lagrange sich vergeblich bemüht hatten, in voller Allgemeinheit[220]. Euler vermochte nicht einmal für den einfachsten Fall, der mit der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei Veränderlichen gegeben ist, zu einer allgemeinen Theorie zu gelangen. Lagrange war zwar bis zur Integration solcher Gleichungen vorgedrungen; er hatte sich indessen auf den Fall beschränken müssen, daß die partiellen Differentialquotienten, falls mehr als drei Veränderliche in Betracht kommen, darin nur linearisch auftreten.
Auch um die Reihenlehre, die Kombinationslehre und die Anwendung der letzteren auf die Probleme der höheren Analysis hat sich Pfaff verdient gemacht. Seine neue Summationsmethode für unendliche Reihen (1788) besteht darin, daß er die Glieder der unendlichen Reihe, deren Summe gesucht wird, wieder in unendliche Reihen verwandelt und deren Glieder so verbindet, daß neue summierbare Reihen entstehen.
Unabhängig von Pfaff fand auch der französische Mathematiker Cauchy eine allgemeine Methode, um die partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung zu integrieren, »welches auch die Zahl der unabhängigen Veränderlichen sein möge«[221]. Augustin Louis Cauchy wurde 1789 in Paris geboren. Er wurde Zögling der »École polytechnique« und zeichnete sich schon als Knabe, ähnlich Pascal und Clairaut, durch eine solch hervorragende mathematische Beanlagung aus, daß sogar der große Lagrange auf ihn aufmerksam wurde. Später wirkte Cauchy als Lehrer an der »École polytechnique«. Er starb nach manchen, durch politische Ereignisse hervorgerufenen Wechselfällen im Jahre 1857. Unter den mathematischen Abhandlungen Cauchys verdient diejenige vom Jahre 1825 besondere Erwähnung, da er darin »den Grad der Allgemeinheit« feststellte, den ein bestimmtes Integral zwischen imaginären Grenzen zuläßt und die Zahl der Werte, die es annehmen kann, ermittelte[222]. In welchem Maße die mathematischen Untersuchungen Cauchys durch ihn und andere der theoretischen Physik, vor allem der Optik, zugute gekommen sind, wird an anderer Stelle gezeigt werden.
Für die Entwicklung der höheren Analysis war ferner die Neugestaltung der Theorie der elliptischen Funktionen von der größten Wichtigkeit. Sie erfolgte durch Abel, dessen Verdienste um die Theorie der Reihen und der Gleichungen wir schon kennen lernten, und durch den großen deutschen Mathematiker Jacobi.
Karl Gustav Jacobi wurde 1804 in Potsdam geboren. Er widmete sich zunächst unter Böckh der klassischen Philologie, entschied sich aber, angeregt durch die Werke von Euler, Lagrange, Laplace und Gauß bald darauf für das Studium der Mathematik. Mit 21 Jahren wurde er Dozent für dieses Fach an der Berliner Universität. Dann wirkte er in Königsberg, um schließlich nach Berlin zurückzukehren, wo er schon 1851 starb.
Jacobis erste Untersuchungen betrafen die elliptischen Funktionen. Im Jahre 1829 erschien sein großes Hauptwerk über diesen Gegenstand[223]. Das Werk hat ihm die Hälfte des großen Preises eingetragen, den die Pariser Akademie für den bedeutendsten Fortschritt auf diesem Gebiete ausgesetzt hatte[224].
Die ersten Anfänge der Theorie der elliptischen Funktionen begegnen uns bei Euler. Dieser suchte einen rechnerischen Ausdruck für den Bogen einer Ellipse zu gewinnen und wurde dabei durch folgende Überlegung geleitet. Da der Kreis ein besonderer Fall der Ellipse ist, so läßt sich der Bogen der letzteren vielleicht durch allgemeinere Funktionen ausdrücken, welche die Kreisfunktionen als besonderen Fall in sich einschließen. Das Problem wurde von Legendre wieder aufgenommen und weiter geführt. Er war es, der zuerst den Ausdruck »elliptische Funktionen« gebrauchte. Allerdings bezeichnete er, abweichend vom heutigen Gebrauch, mit diesem Ausdruck die Integrale, welche die Bogen der Ellipse und der Hyperbel ausdrücken. Legendre widmete diesem Gegenstande die Arbeit von Jahrzehnten und veröffentlichte das Ergebnis, als ihm eine weitere Fortbildung nicht möglich schien, in seiner zusammenfassenden Arbeit vom Jahre 1827[225]. Kaum war dies geschehen, da mußte Legendre gestehen, daß seine eigenen Forschungen durch Abel und Jacobi weit überholt worden seien. »Nachdem ich mich«, so schrieb Legendre, »eine lange Reihe von Jahren mit der Theorie der elliptischen Funktionen befaßt, für welche der unsterbliche Euler das Fundament geschaffen, glaubte ich die Ergebnisse in einem umfangreichen Werke herausgeben zu müssen. Kaum ist aber der Titel dieses Werkes bekannt geworden, und schon zeigt es sich, daß zwei junge Mathematiker, Jacobi und Abel, die Theorie der elliptischen Funktionen durch neue Untersuchungen beträchtlich vervollkommnet haben.«
Unabhängig voneinander waren Abel und Jacobi auf den Gedanken gekommen, in diese Theorie das Imaginäre einzuführen. Dadurch wurden alle Rätsel der älteren Theorie gelöst und die elliptischen Funktionen gleichzeitig zu den Kreisfunktionen und den Exponentialgrößen in nahe Beziehung gesetzt.
Jacobi drang aber noch tiefer in das Wesen der elliptischen Funktionen ein und erkannte, daß sie als Folgerungen gewisser Funktionen aufgefaßt werden können, die man seitdem als Theta-Funktionen bezeichnet hat. Während ferner die elliptischen Funktionen als die Umkehrungen der elliptischen Integrale nur zwei Perioden zulassen, schuf Jacobi später die Theorie der mehrfach periodischen Funktionen, welche als die Umkehrungsfunktionen der algebraischen Integrale auftreten. Die Abhandlung, in welcher die Natur dieser neuen Funktionen im hellsten Lichte erscheint, wurde neuerdings in deutscher Sprache zugänglich gemacht[226]. Um die Darstellung der vierfach periodischen Funktionen haben sich unter den deutschen Mathematikern später noch Göpel und Rosenhain besondere Verdienste erworben. Auch ihre Abhandlungen erschienen als Teile der Ostwaldschen Sammlung in deutscher Übersetzung[227].
Von den neu entdeckten Funktionen haben besonders die elliptischen und die durch Legendre eingeführten Kugelfunktionen der mathematischen Physik und der theoretischen Astronomie wertvolle Dienste geleistet. Um den weiteren Ausbau der höheren Analysis und ihre Anwendung auf das abstrakte Gebiet der Zahlentheorie, nicht minder aber auf die wichtigsten Probleme der mathematischen Physik hat sich der deutsche Mathematiker Lejeune-Dirichlet die größten Verdienste erworben.
Gustav Peter Lejeune-Dirichlet wurde 1805 in Düren geboren[228]. Anknüpfend an die Disquisitiones arithmeticae von Gauß verstand er es, die Zahlentheorie mit der Infinitesimalrechnung in Beziehung zu setzen und beide bis dahin getrennten Zweige der Mathematik vermöge der Durchführung dieses Gedankens zu bereichern. Einige Anwendungen dieser Methode veröffentlichte er in den Jahren 1839 und 1840. Die betreffende Abhandlung[229] bringt eine Frage, mit welcher sich schon Lagrange, Legendre und Gauß befaßten, zur Lösung, die Frage nämlich nach dem Zusammenhang zwischen der Anzahl der quadratischen Formen und einer gegebenen Determinante.
In einer anderen, der Ostwaldschen Sammlung einverleibten Abhandlung unternimmt Dirichlet die Darstellung ganz willkürlicher Funktionen durch Sinus- und Cosinusreihen[230]. Zu dieser für die Entwicklung der mathematischen Physik sehr wertvollen Untersuchung war Dirichlet dadurch gelangt, daß Fourier, mit dem der deutsche Forscher während eines längeren Studiums in Paris in enge Fühlung trat, durch seine analytischen Beiträge zur Wärmelehre auf trigonometrische Reihen geführt worden war.
Nach dem Erfolge, den Dirichlet durch seine Untersuchung der Fourierschen Reihen errungen, stellte er mit Vorliebe sein mathematisches Können in den Dienst der theoretischen Physik. Er erfand eine besondere Integrationsmethode zur leichteren Bewältigung der bestimmten Integrale und wandte diese neue Methode auf Attraktionsprobleme an.
Die betreffende Abhandlung erschien 1839 und wurde neuerdings durch Ostwalds Klassiker zugänglicher gemacht[231]. Nachdem Riemann gezeigt hatte, wie durch die von ihm vorgeschlagene Transformation die schwierigsten Integrationen vereinfacht werden, wählte Dirichlet das so oft von früheren Mathematikern (Laplace, Gauß u. a.) behandelte Beispiel der Attraktion der Ellipsoide. Während bis dahin das Problem des äußeren und des inneren Punktes unabhängig voneinander und mit verschiedenen Mitteln behandelt worden waren, zeigte Dirichlet, daß das Problem eine gleichförmige Behandlung zuläßt. Außerdem ist sein Verfahren nicht auf die Voraussetzung beschränkt, daß die Attraktion dem Quadrat der Entfernung umgekehrt proportional ist, sondern es bleibt auch für jede andere ganze oder gebrochene Potenz der Entfernung anwendbar. Endlich braucht auch die Dichtigkeit der anziehenden Masse nicht als konstant vorausgesetzt zu werden, sondern sie kann auch durch irgend eine rationale ganze Funktion der drei Koordinaten ausgedrückt sein. Indem Dirichlet ferner die Wirkung der nach dem Gesetze Newtons wirkenden Kräfte von neuem der höheren Analysis unterwarf, förderte er gleichzeitig die Potentialtheorie[232].
Im Anschluß an Dirichlet hat sich besonders Riemann mit der Darstellung von Funktionen durch trigonometrische Reihen und dem Ausbau der Potentialtheorie beschäftigt[233]. Die Gestaltung, welche die Funktionenlehre durch Riemann erlangte, indem er die komplexe, d. h. aus einem reellen und einem imaginären Teile bestehende Veränderliche, einführte, hat der höheren Analysis in ihrer Anwendung auf die Naturwissenschaften während der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts Ziel und Richtung gegeben.