———
Die allgemeine Theorie der ebenen Kurven entstand zugleich mit der cartesischen Geometrie. Es ist leicht die Gründe für die Thatsache anzugeben, daß das Erscheinen einer so wichtigen Theorie sich bis zu diesem Zeitpunkte verzögert hatte. In der That sind ja die Definition der Ordnung einer Kurve, die daraus folgende Einteilung der Kurven in algebraische und transcendente, der exakte Begriff einer in ihrer Ordnung allgemeinen Kurve ihrer Natur nach wesentlich analytische Begriffe. Sie synthetisch zu bestimmen, ist ein sehr schweres Problem, welches heutzutage erst den wiederholten Anstrengungen der Geometer zu weichen sich anschickt; dagegen, wenn man ein Koordinatensystem anwendet, eine wie leichte Sache ist es dann, diese fundamentalen Begriffe festzustellen, sie unter einander zu verbinden und aus ihnen interessante Folgerungen zu ziehen!
Die Wahrheit dieser Behauptung finden wir durch die Thatsache bestätigt, daß kurz nach Descartes wichtige Eigenschaften, die allen algebraischen Kurven gemeinsam sind, entdeckt wurden. Solche sind z. B. diejenigen, welche N e w t o n in den drei berühmten Theoremen, die in seiner Enumeratio linearum tertii ordinis (1706) enthalten sind, bekannt gemacht hat; ferner diejenigen, welche Newtons Schüler C o t e s (1682-1716) und M a c l a u r i n als eine Verallgemeinerung der von N e w t o n entdeckten Eigenschaften gaben;[[48]]
schließlich die von W a r i n g (1734-1798)[[49]] gefundenen. Überdies wurden noch von M a c l a u r i n[[50]] und B r a i k e n r i d g e (etwa 1700, † nach 1759)[[51]] einige interessante organische Erzeugungsweisen von Kurven hinzugefügt, die ähnlich denjenigen waren, welche N e w t o n für die Kegelschnitte gegeben hat.[[52]] Endlich wurden von D e G u a (1712-1786)[[53]] Methoden für die Bestimmung der Singularitäten der durch Gleichungen definierten ebenen Kurven angegeben.
Es ist überflüssig zu sagen, daß die ersten methodischen Bearbeitungen der Theorie der ebenen Kurven unter dem Einflüsse der analytischen Geometrie stehen; wir verdanken solche E u l e r[[54]] und C r a m e r (1704-1752)[[55]]. Diese studierten dieselben von Grund auf (kurz nacheinander, der eine 1748, der andere 1750), indem sie sich vorzugsweise mit den Singularitäten befaßten, besonders mit den Fragen, welche man heute mit Hilfe der Geometrie des unendlich Kleinen löst. In dem Werke von Cramer, das in vielen Beziehungen zu bewundern ist, finden wir auch schon die ersten Untersuchungen über die Schnitte von Kurven und unter diesen auch den Hinweis auf das, was man später »das C r a m e r sche Paradoxon« genannt hat; das ist jener scheinbare Widerspruch zwischen der Zahl der Punkte, die zur Bestimmung einer Kurve von gegebener Ordnung nötig
sind, und der Zahl der Schnitte zweier Kurven derselben Ordnung,[[56]] ein Widerspruch, welcher viele Jahre später (1818) von L a m é (1795-1870) durch das berühmte Prinzip aufgehoben wurde, welches seinen Namen trägt und das man als den Grundstein jenes gewaltigen Bauwerkes ansehen muß, welches aus einer Fülle von Lehrsätzen von G e r g o n n e,[[57]] P l ü c k e r,[[58]] J a c o b i,[[59]] C a y l e y[[60]] errichtet ist, und auf dessen Gipfel die geometrische Interpretation des berühmten A b e l schen Theorems[[61]] steht.
Nach den Arbeiten E u l e r s, C r a m e r s und dem Examen des différentes méthodes employées pour résoudre les problèmes de géométrie, in welchem L a m é mit großem Erfolge das vorhin angeführte Prinzip auseinandergesetzt und angewandt hatte, müssen wir uns zu P l ü c k e r wenden, um zu Arbeiten zu kommen, welche einen bemerkenswerten Fortschritt in der Theorie, die uns beschäftigt, bewirken. In dem im Jahre 1835 von diesem ausgezeichneten Geometer veröffentlichten System der analytischen Geometrie ist von der Methode der abgekürzten Bezeichnung Gebrauch gemacht und dieselbe für die Vervollständigung der Klassifikation der kubischen ebenen Kurven benutzt worden, welche so viele bedeutende Gelehrte unternommen hatten. In der vier Jahre später gedruckten
Theorie der algebraischen Kurven[[62]] findet sich dann noch außer einer Aufzählung der ebenen Kurven vierter Ordnung,[[63]] welche B r a g e l o g n e (1688-1744)[[64]] und E u l e r[[65]] nur versucht hatten, die Aufstellung und Lösung einer Frage von sehr großer Wichtigkeit, derjenigen nämlich, die Beziehungen zwischen den Zahlen der gewöhnlichen Singularitäten einer ebenen Kurve zu finden. Schon P o n c e l e t hatte (1818) den Zusammenhang zwischen der Ordnung und der Klasse einer allgemeinen Kurve ihrer Ordnung gefunden und später den Einfluß eines Doppelpunktes bestimmt; indem er nun auf diese Resultate das Prinzip der Dualität anwandte, stieß er auf jenen anderen scheinbaren Widerspruch, welchen wir heute das Ponceletsche Paradoxon nennen, ohne daß es ihm gelang, dafür eine vollständige Erklärung zu finden. Das geschah durch P l ü c k e r vermittelst der berühmten nach ihm benannten Formeln, welche gestatten, drei Charakteristiken einer Kurve zu finden (Ordnung, Klasse, Zahl der Doppelpunkte, der Doppeltangenten, Zahl der Wendetangenten und der Rückkehrpunkte), wenn man die übrigen kennt.
Auf die Frage, welche in einem gewissen Sinne reciprok zu der durch die P l ü c k e r schen Formeln gelösten ist, ob jeder Lösung derselben eine wirkliche Kurve entspreche, mußte man negativ antworten, da neuere Untersuchungen
dargethan haben, daß für gewisse Kurven (die rationalen Kurven) die Zahl der Rückkehrpunkte eine gewisse Grenze nicht übersteigen kann.[[66]]
Auf der anderen Frage, die Plückerschen Formeln auf eine Kurve auszudehnen, welche mit Singularitäten höherer Ordnung ausgestattet ist, beruhen die Untersuchungen von C a y l e y und anderen,[[67]] welche zu dem Schlüsse geführt haben, daß jede Singularität einer Kurve als äquivalent einer gewissen Anzahl von Doppelpunkten, Spitzen, Wendetangenten und Doppeltangenten betrachtet werden kann.
Ich füge noch hinzu, daß man durch J a c o b i,[[68]] H e s s e (1811-1874),[[69]] S a l m o n,[[70]] C a y l e y[[71]] und deren zahlreiche Kommentatoren[[72]] heute im Besitze eleganter Methoden ist, um analytisch die Wendepunkte einer durch eine Gleichung gegebenen Kurve, sowie die Berührungspunkte ihrer Doppeltangenten anzugeben.
Dank dem einen der überaus wertvollen Lehrbücher,[[73]] mit welchen S a l m o n so gewaltig zur Verbreitung der neuesten algebraischen und geometrischen Methoden beigetragen hat, ist es heutzutage leicht, sich über diese und viele andere Fragen, welche sich auf die analytische Theorie der ebenen Kurven beziehen, eine genaue Kenntnis zu verschaffen.
Man braucht aber nicht zu glauben, daß bei diesem Studium der fortwährende Gebrauch der Analysis unumgänglich sei; vielmehr erhob sich bald neben der Darlegung der Theorie der ebenen Kurven durch E u l e r, C r a m e r, P l ü c k e r, S a l m o n eine ebenso vollständige, aber mehr geometrische Theorie.
In einer berühmten Mitteilung, die im Jahre 1848 der Berliner Akademie gemacht wurde, zeigte S t e i n e r, indem er die Theorie der Polaren eines Punktes in Bezug auf eine Kurve wieder aufnahm, welche B o b i l l i e r (1797-1832) schon vordem[[74]] als eine Erweiterung der Diametralkurven Newtons und Cramers aufgestellt, und mit welcher auch G r a ß m a n n (1809-1877) sich beschäftigt hatte,[[75]] daß dieselbe als Grundlage für ein vom Gebrauche der Koordinaten unabhängiges Studium der ebenen Kurven dienen kann, und führte jene bemerkenswerten zu einer gegebenen Kurve covarianten Kurven ein, die heute seinen, Hesses und Cayleys Namen tragen. Diese kurzen Andeutungen, verbunden mit den Untersuchungen von S t e i n e r selbst, von C h a s l e s[[76]] und J o n q u i è r e s[[77]] über die Entstehung der algebraischen Kurven vermittelst projektiver Büschel von Kurven niederer Ordnung, dienten als Grundlage für die Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane,[[78]] in
welcher C r e m o n a in einer einheitlichen Methode zugleich mit vielen neuen Resultaten alles auseinandersetzt, was wichtigeres von den analytischen Geometern, die ihm vorhergingen, erhalten worden war.
Bei dem außerordentlichen Interesse der Sache scheint es mir auch, daß man in die Reihe der schon zitierten Arbeiten auch die Serie von Abhandlungen zu stellen hat, in welchen C l e b s c h (1833-1872) zuerst die Algebra der linearen Transformationen auf die Geometrie angewandt hat, dann, nachdem er die Wichtigkeit des Begriffes des Geschlechtes einer Kurve ins Licht gestellt, die Anwendung der Theorie der elliptischen[[79]] und Abelschen Funktionen auf die Wissenschaft von der Ausdehnung darlegte und sie für das Studium der rationalen und elliptischen Kurven benützte.[[80]] Es ist wahr, daß B r i l l und N ö t h e r in einer Abhandlung,[[81]] deren Bedeutung von Tag zu Tag wächst, gezeigt haben, daß die Theorie der algebraischen Funktionen in vielen Fällen die der eben angeführten Transcendenten ersetzen kann, aber das vermindert nicht, sondern vergrößert vielmehr das Verdienst, welches man den Methoden von C l e b s c h zuerkennen muß, da die von hervorragenden Geistern gemachten Anstrengungen, den Gebrauch eines
Hilfsmittels vermeiden zu können, der überzeugendste Beweis der Macht desselben sind.
Die bis jetzt besprochenen Arbeiten behandeln a l l g e m e i n e Eigenschaften der ebenen algebraischen Kurven.[[82]] Aber an sie reiht sich eine große Menge von schönen Spezialabhandlungen, welche eine bestimmte Kategorie von Kurven behandeln; auf diese wollen wir einen kurzen Blick werfen.
Unter ihnen sind vor allen zu bemerken die von M a c l a u r i n,[[83]] von S y l v e s t e r,[[84]] C a y l e y,[[85]] S a l m o n,[[86]] D u r è g e,[[87]] C r e m o n a,[[88]] von S t u r m,[[89]] von K ü p p e r,[[90]] G r a ß m a n n,[[91]] M i l i n o w s k i[[92]] und von anderen über die Kurven dritter Ordnung,[[93]] die Kapitel des Barycentrischen Calculs, dann verschiedene Arbeiten von E m. W e y r,[[94]] von C l e b s c h und
vielen anderen[[95]] über die rationalen Kurven; die wichtigen Untersuchungen S t e i n e r s und C h a s l e s ' über die Kurven, die mit einem Centrum versehen sind,[[96]] und die von S t e i n e r über die dreispitzige Hypocykloide;[[97]] ferner die Arbeiten, welche dem Beweise oder der Verallgemeinerung der dort ausgesprochenen Eigenschaften gewidmet sind,[[98]] die interessanten Untersuchungen von B e r t i n i[[99]] über rationale Kurven, für welche man willkürlich die vielfachen Punkte bestimmen kann, die wichtigen Studien von B r i l l über die Kurven vom Geschlechte zwei,[[100]] dann die eleganten Abhandlungen von K l e i n und L i e[[101]] über die Kurven, welche eine infinitesimale Transformation in sich selbst zulassen, endlich die von F o u r e t über die Kurven, welche die eigenen reciproken Polaren in bezug auf unendlich viele Kegelschnitte sind,[[102]] und die von S m i t h (1826-1883) über die Singularitäten der Modularkurven.[[103]]
Neben diesen verdient dann noch eine hervorragende Stelle die Abhandlung von S t e i n e r über die einer ebenen kubischen Kurve[[104]] oder einer Kurve vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten eingeschriebenen Vielecke, auf welche die jüngsten Arbeiten von K ü p p e r[[105]] und S c h o u t e[[106]] von neuem die Aufmerksamkeit der Gelehrten gelenkt haben. Die Knappheit des Raumes nötigt mich, flüchtig hinwegzugehen über die Untersuchungen von C a y l e y On polyzomal Curves otherwise the Curves √u + √v + ... = 0;[[107]] von G r a ß m a n n, C l e b s c h,[[108]] S c h r ö t e r[[109]] und D u r è g e,[[110]] betreffend die Erzeugung ebener Kurven dritter Ordnung, über die von L ü r o t h,[[111]] von C a s e y,[[112]] D a r b o u x,[[113]] S i e b e c k,[[114]] von C r o n e,[[115]] Z e u t h e n[[116]] und noch anderen über einige spezielle ebene Kurven vierter Ordnung, über die von B a t t a g l i n i, die sich auf die syzygetischen Kurven dritter Ordnung beziehen,[[117]] und andere, welche auch eine besondere Erwähnung verdienen würden.
Was ich aber nicht mit Stillschweigen übergehen kann, das sind die Arbeiten von H e s s e über die Wendepunkte einer Kurve dritter Ordnung und über die Gleichung, welche zu deren Bestimmung dient;[[118]] dann die von demselben H e s s e,[[119]] S t e i n e r,[[120]] A r o n h o l d[[121]] (1819-1884) über die Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung, welche eine hervorragende Stelle verdienen, da sie viele bemerkenswerte Eigenschaften derselben ins Licht gestellt haben; dieselben wurden darauf von G e i s e r[[122]] durch stereometrische Betrachtungen dargethan, von C l e b s c h[[123]] dagegen und R o c h[[124]] vermittelst der Theorie der Abelschen Funktionen untersucht.