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Das Streben nach Verallgemeinerung, welches die geometrischen Untersuchungen leitete, seitdem sich der Einfluß der Analysis auf dieselbe mehr oder weniger offen geltend gemacht, trieb alsbald die Gelehrten dazu, sich mit den Erscheinungen des Raumes zu beschäftigen, welche Analogien mit den schon in der Ebene betrachteten darbieten. Daher sehen wir denn auch die Forschungen über die Oberflächen
bald denen über die ebenen Kurven folgen. Die Theorie dieser Gebilde ist jedoch neueren Ursprungs.
Den griechischen Geometern waren in der That nur einige wenige besondere Oberflächen bekannt (die Kugel, die Cylinder und Kegel, Konoide und Sphäroide, die plektoidischen Oberflächen und wenige andere). Erst W r e n (1669), P a r e n t und E u l e r begannen sich mit den Oberflächen zweiten Grades zu beschäftigen, und wir müssen zur Schule von M o n g e gehen, um die Eigenschaften von grösserer Wichtigkeit dieser höchst bemerkenswerten Oberflächen anzutreffen.[[125]] Zu diesen ersten Eigenschaften wurden in unserem Jahrhundert durch das zahlreiche Heer von Geometern, welche die Flächen zweiter Ordnung einer besonderen Betrachtung unterwarfen, viele andere hinzugefügt, und dank den Arbeiten so ausgezeichneter Gelehrter, wie J a c o b i,[[126]]
M a c C u l l a g h (1809-1847),[[127]] C h a s l e s,[[128]] H e s s e,[[129]] S e y d e w i t z (1807-1852),[[130]] S c h r ö t e r[[131]] konnte die Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung in den mehr elementaren
Unterricht eingeführt werden und methodisch auf analytischem sowohl wie synthetischem Wege behandelt werden.[[132]]
Aber nach der Lehre von den Oberflächen zweiten Grades entstand und entwickelte sich alsbald die der Oberflächen höherer Ordnung. C h a s l e s[[133]] und G e r g o n n e,[[134]] als die ersten, entdeckten an diesen Gebilden wunderbare Eigenschaften. P o n c e l e t bestimmte die Klasse einer in ihrer Ordnung allgemeinen algebraischen Oberfläche[[135]] und eröffnete so die Untersuchungen, welche zu den Beziehungen führen sollten, mit welchen S a l m o n[[136]] und C a y l e y[[137]] die Lösung der analogen Aufgabe zu derjenigen versuchten, welche P l ü c k e r durch seine berühmten Formeln gelöst hatte.
J a c o b i[[138]] und später R e y e[[139]] beschäftigten sich mit den Kurven und Gruppen von Punkten, die durch den Schnitt von algebraischen Oberflächen entstehen. C h a s l e s,[[140]] C r e m o n a,[[141]] R e y e,[[139]] E s c h e r i c h,[[142]] S c h u r,[[143]] mit ihrer
Entstehung vermittelst projektiver oder reciproker Systeme von Oberflächen niederer Ordnung, G r a ß m a n n (1809-1877)[[144]] mit anderen Erzeugungsweisen; S a l m o n,[[145]] C l e b s c h,[[146]] S t u r m,[[147]] S c h u b e r t[[148]] und andere behandelten eine wichtige Klasse von Aufgaben, welche sich auf Gerade beziehen, die mit einer gegebenen Oberfläche Berührungen von vorher bestimmter Ordnung haben; schließlich entdeckte S c h u r vor kurzem eine lineare Konstruktion[[149]] für Flächen beliebiger Ordnung. Eine interessante Erweiterung der Polarentheorie der Oberflächen beliebiger Ordnung verdanken wir R e y e.[[150]]
Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kürze halber stillschweigend übergehen muss, trotz der schönen Darlegungen, welche S a l m o n[[151]] und C r e m o n a[[152]] über sie gemacht haben, kann man doch nicht sagen, daß die Theorie der Oberflächen weit vorgeschritten sei. Die Fragen, die noch zu lösen bleiben, sind zahlreich und von fundamentaler Wichtigkeit, und die Mittel, die zur Überwindung der Schwierigkeiten, welche deren Lösung bietet, zur Verfügung stehen, sind noch nicht genügend vervollkommnet. Vielleicht ist das der Grund dafür, daß so viele Gelehrte sich zum Studium besonderer Flächen wandten, indem sie hofften, nicht nur auf diesem Felde eine reichlichere Ernte von Wahrheiten zu machen, sondern auch zu Untersuchungsmethoden zu gelangen, die der Verallgemeinerung fähig sind. — Und
daß ihre Erwartungen teilweise nicht getäuscht worden sind, das beweisen die zahlreichen Resultate, die man schon über die Oberflächen dritten Grades, sowie über einige von der vierten Ordnung erhalten hat, über welche es mir noch obliegt, Bericht zu erstatten.
Es ist allgemein bekannt, daß die beiden hervorragendsten Eigenschaften einer Fläche dritter Ordnung die sind, 27 Gerade zu enthalten, und ein Pentaeder zu besitzen, welches zu Ecken die Doppelpunkte und zu Kanten die Geraden der Hesseschen Fläche jener Oberfläche hat. England und Deutschland können sich um die Ehre, sie entdeckt zu haben, streiten. Wenn auch schon im Jahre 1849 C a y l e y und S a l m o n[[153]] die Geraden einer kubischen Fläche bestimmt haben, und im Jahre 1851 S y l v e s t e r[[154]] das Pentaeder entdeckte, so ist doch nicht minder wahr, daß S t e i n e r unabhängig von ihnen die Existenz jener und dieses in seiner berühmten Mitteilung, welche er der Berliner Akademie im Jahre 1853 machte, behauptet hat.[[155]] Aber während die Studien der englischen Geometer fast gänzlich der Fortsetzung entbehren,[[156]] steht die Arbeit von Steiner an der Spitze einer langen Reihe von Schriften, durch welche die Theorie der Oberflächen dritter Ordnung schnell einen ungehofften Grad der Vollendung erhielt. Indem ich die Abhandlungen von S c h r ö t e r,[[157]] A u g u s t[[158]] u. s. w., in welchen einige der von Steiner ausgesprochenen Sätze bewiesen werden, nur kurz erwähne, will ich mich darauf beschränken, die Aufmerksamkeit der Leser auf die mit Recht berühmten Schriften zu lenken, die von
C r e m o n a[[159]] und v o n S t u r m[[160]] über diese Oberflächen verfaßt und im Jahre 1866 von der Berliner Akademie mit dem Steiner-Preise gekrönt sind, Arbeiten, auf welche jeder zurückkommen muß, welcher sich mit diesen wichtigen geometrischen Gebilden vertraut machen will. Ich kann mich nicht aufhalten bei den verschiedenen Erzeugungsweisen einer Fläche dritter Ordnung, die G r a ß m a n n,[[161]] A u g u s t,[[162]] A f f o l t e r[[163]] und P i q u e t[[164]] den von Steiner angegebenen hinzugefügt haben, bei der Konstruktion dieser Flächen, welche L e P a i g e[[165]] gegeben hat, bei den vielen Sätzen, die sich auf die Verteilung der Geraden, der dreifach berührenden Ebenen und die Kurven einer kubischen Fläche beziehen und welche vor kurzem von C r e m o n a,[[166]] A f f o l t e r,[[167]] v o n S t u r m[[168]] und B e r t i n i[[169]] entdeckt wurden, endlich bei den von C r e m o n a,[[170]] C a p o r a l i,[[171]] R e y e[[172]] und B e l t r a m i[[173]] studierten Eigenschaften gewisser Hexaeder, welche mit einer Fläche dritter Ordnung verknüpft sind, sowie bei den von Z e u t h e n[[174]] betrachteten zwölf
vollständigen, in sie einbeschriebenen Pentaedern. Ich will noch anführen, daß eine Einteilung dieser Oberflächen, die auf die Betrachtung der 27 auf ihr gelegenen Geraden sich stützt, von S c h l ä f l i gemacht ist[[175]] und eine neuere von R o d e n b e r g,[[176]] die sich auf das Pentaeder gründet, daß ferner ein genaues und eingehendes Studium der Regelflächen dritten Grades (von denen eine von Cayley entdeckt wurde) den Gegenstand wertvoller Arbeiten C r e m o n a s,[[177]] E m. W e y r s[[178]] und B e n n o K l e i n s[[179]] bildet, daß schließlich die sogenannte Diagonalfläche einen wichtigen Teil in einer Untersuchung von C l e b s c h über die Gleichungen fünftes Grades bildet[[180]] und daß andere besondere Fälle von C a y l e y[[181]] und E c k a r d t[[182]] in einigen wertvollen Abhandlungen betrachtet wurden. Wenn ich dann noch gesagt habe, daß die Untersuchungen von S a l m o n,[[183]] C l e b s c h,[[184]] G o r d a n[[185]] und d e P a o l i s[[186]] die
geometrische Bedeutung für das Verschwinden der fundamentalen invarianten Formen der quaternären kubischen Form festgestellt haben, welche gleich Null gesetzt in homogenen Koordinaten eine Fläche dritter Ordnung darstellt, daß schließlich J o r d a n[[187]] von Grund auf die Natur der Gleichung studiert hat, welche zur Bestimmung der Geraden einer kubischen Fläche dient, dann glaube ich dem Leser genug Momente an die Hand gegeben zu haben, um daraus den (von mir eben angedeuteten) Schluß zu ziehen, daß die Theorie dieser geometrischen Gebilde, von welchem Punkte man sie auch betrachten mag, heute einen beachtenswerten Grad der Vollendung erreicht hat.
Solches kann man jedoch nicht von der Theorie der Oberflächen v i e r t e n Grades behaupten, vielmehr sind von ihnen nur wenige Klassen genauer studiert; über jede derselben werde ich kurz sprechen. An die erste Stelle will ich die Developpabele vierter Klasse setzen, die zweien Flächen zweiten Grades umbeschrieben ist, und die geradlinigen Flächen vierten Grades; jene wurde von P o n c e l e t[[188]] und C h a s l e s[[189]] untersucht, diese von demselben Chasles,[[190]] von C a y l e y[[191]] und vollständiger von C r e m o n a.[[192]]
Dann lasse ich die Oberflächen vierter Ordnung folgen, auf welchen Scharen von Kegelschnitten existieren und welche alle mit außerordentlichem Scharfsinne von K u m m e r[[193]] bestimmt wurden. Unter diesen sind zwei besonderer Erwähnung wert, da sie das Objekt zahlreicher Untersuchungen gewesen sind: die Oberfläche vierter Ordnung mit einem Doppelkegelschnitt und die römische Fläche von Steiner.
Von der ersteren entdeckte K u m m e r im Jahre 1864 die bemerkenswerte Eigenschaft, daß die ihr doppelt
umgeschriebene Developpabele aus fünf Kegeln zweiter Ordnung besteht. Gleichzeitig fand M o u t a r d[[194]] dieselbe Eigenschaft für den Fall, daß die Doppelkurve der Oberfläche der unendlich entfernte imaginäre Kugelkreis ist,[[195]] und er bemerkte weiter gleichzeitig mit D a r b o u x,[[196]] daß in diesem Falle die Oberfläche zu einem dreifachen Systeme von orthogonalen Oberflächen, gebildet von Flächen derselben Art, gehören kann. Von jener Zeit ab wurden die Oberflächen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve den unendlich entfernten imaginären Kugelkreis haben, wiederholt von D a r b o u x,[[197]] von L a g u e r r e (1834-1886)[[198]] und von C a s e y[[199]] studiert; hingegen diejenigen, welche als Doppelkurve einen beliebigen Kegelschnitt besitzen, von C r e m o n a,[[200]] G e i s e r,[[201]] S t u r m,[[202]] Z e u t h e n,[[203]] von C l e b s c h,[[204]] K o r n d ö r f e r,[[205]] B e r z o l a r i[[206]] und D o m s c h[[207]] — welcher auf sie die hyperelliptischen Funktionen anwandte — und diejenigen, welche einen Kuspidalkegelschnitt haben, von T ö t ö s s y.[[208]] Was die Klassifikation dieser Oberflächen betrifft, so möge
es mir gestattet sein, meinen Namen anzuführen[[209]] neben dem meines teuern Freundes S e g r e.[[210]]
Die römische Fläche von Steiner hat wiederholt die Aufmerksamkeit der Geometer auf sich gezogen und zwar vorzüglich zweier Eigenschaften wegen; die eine derselben, nämlich von jeder Tangentialebene in zwei Kegelschnitten getroffen zu werden, wurde besonders von den Synthetikern betrachtet, die andere, dass die homogenen Koordinaten ihrer Punkte sich als ganz allgemeine ternäre quadratische Formen darstellen lassen,[[211]] wurde mehr von den analytischen Geometern verwertet. Wer Lust hat, alle Eigenschaften, die sie besitzt, kennen zu lernen,[[212]] wird dieselben in den synthetischen Abhandlungen von C r e m o n a,[[213]] S c h r ö t e r[[214]] und S t u r m,[[215]] auf den Seiten, welche R e y e ihr in seiner
Geometrie der Lage (2. Bd.) gewidmet hat, und in den analytischen Abhandlungen von C a y l e y,[[216]] B e l t r a m i,[[217]] C l e b s c h,[[218]] E c k a r d t,[[219]] L a g u e r r e[[220]] und G e r b a l d i[[221]] finden.
K u m m e r verdanken wir auch die Kenntnis einer anderen wichtigen Klasse von Flächen vierter Ordnung; dieselbe besteht aus Oberflächen, die nicht singuläre Linien enthalten, sondern nur singuläre Punkte.[[222]] Wir werden in kurzem (§ VII) sehen, welche Untersuchungen Kummer zu diesen Oberflächen geführt haben; für jetzt genüge es, hervorzuheben, dass die interessanteste unter ihnen (welche man heute die Kummersche Oberfläche nennt) 16 singuläre Doppelpunkte und 16 singuläre Tangentialebenen hat und daß Specialfälle derselben die Wellenfläche von F r e s n e l[[223]] und das von C a y l e y 1846 untersuchte Tetraedroid[[224]] sind. Eine solche Oberfläche ist zu sich selbst dual.[[225]] Ihre
asymptotischen Kurven wurden von K l e i n und L i e bestimmt[[226]] und R e y e[[227]] zeigte, daß jede die Grundkurve eine Büschels von Oberflächen vierter Ordnung ist; zwischen ihnen und den Thetafunktionen existiert eine innige Beziehung, welche C a y l e y und B o r c h a r d t (1817-1880)[[228]] entdeckt haben und die H. W e b e r[[229]] zusammen mit anderen entwickelt hat;[[230]] die algebraischen Fragen, welche sich an die Bestimmung ihrer Singularitäten knüpfen, wurden von J o r d a n[[231]] gelöst; endlich kann man dieselbe, wie R o h n[[232]] es gethan hat, vermittelst der Theorie der hyperelliptischen Funktionen[[233]] behandeln.
Indem ich die Oberflächen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve einen in zwei getrennte oder zusammenfallende Gerade degenerierten Kegelschnitt haben und andere, mit denen Cayley[[234]] sich beschäftigt hat, übergehe, will ich noch die Monoide erwähnen,[[235]] die von R o h n studiert sind,[[236]] und
diejenigen Flächen, welche, ohne geradlinig zu sein, eine gewisse Anzahl von Geraden enthalten. Dieselben sind der Ort der Punkte, in welchen vier entsprechende Ebenen von vier kollinearen Räumen sich schneiden; C h a s l e s hat ihre Ordnung bestimmt und S c h u r eine Menge eleganter Eigenschaften derselben gefunden.[[237]]
Ich will diesen Abschnitt meiner Musterung beschließen, indem ich noch einige Oberflächen von höherer als der vierten Ordnung anführe, welche die Gelehrten schon beschäftigten. Zuerst verdienen die geradlinigen Oberflächen erwähnt zu werden, welche im allgemeinen von C h a s l e s,[[238]] S a l m o n,[[239]] C a y l e y,[[240]] von P l ü c k e r,[[241]] L a G o u r n e r i e (1814-1883),[[242]] V o s s[[243]] und im besonderen von C h a s l e s,[[244]] C r e m o n a,[[244]] S c h w a r z,[[245]] L a G o u r n e r i e[[246]] (Regelflächen, die in bezug auf ein Tetraeder symmetrisch sind), von
C l e b s c h,[[247]] A r m e n a n t e[[248]] (rationale und elliptische Regelflächen), von E m. W e y r[[249]] (Regelflächen, erzeugt durch die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier gerader Punktreihen in der Korrespondenz [m, n]), von E d. W e y r[[250]] (Oberflächen, erzeugt durch die Bewegung eines variabelen Kegelschnittes), von E c k a r d t[[251]] und C h i z z o n i[[252]] (Regelflächen, erzeugt durch die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier ebener projektiv bezogener Kurven). Dann folgen solche, die, wenn sie auch nicht Regelflächen sind, doch Gerade enthalten und die von S t u r m[[253]] und A f f o l t e r[[254]] untersucht sind, ferner die algebraischen Minimalflächen, bei welchen G e i s e r[[255]] und L i e[[256]] bemerkenswerte Eigentümlichkeiten fanden. Dann will ich noch einige Flächen nennen, die aus einer Oberfläche zweiten Grades abgeleitet sind (Ort der Krümmungscentren; Fusspunktflächen, Aspidalflächen etc.), sowie die Örter der Spitzen der Kegel zweiten Grades, die m Gerade berühren und durch (6-m) Punkte gehen, welche Flächen eingehend von C h a s l e s,[[257]] L ü r o t h,[[258]] H i e r h o l z e r[[259]] und von C a y l e y[[260]] studiert wurden, da sie zur Auflösung gewisser Probleme aus der Theorie der Charakteristiken der einfach unendlichen Systeme von Kegeln zweiter Ordnung dienten; schließlich diejenigen, welche unendlich viele lineare
Transformationen zulassen, die kontinuierlich aufeinander folgen;[[261]] diejenigen, welche die eigenen reziproken Polaren in bezug auf unendlich viele Flächen zweiten Grades sind,[[262]] diejenigen, welche durch reciproke Cremonasche Systeme erzeugt werden,[[263]] und diejenigen, welche dieselben Symmetrie-Ebenen wie ein reguläres Polyeder besitzen.[[264]]
Die Untersuchungen über die Oberflächen, mit denen wir uns bis jetzt beschäftigt haben, behandeln Eigenschaften, welche vermittelst einer wohl bekannten Betrachtungsweise auf das Gebiet der projektiven Geometrie zurückgeführt sind oder sich darauf zurückführen lassen. Es giebt aber noch viele andere Untersuchungen, welche Eigenschaften von ganz anderer Art behandeln, die größtenteils auf keine Weise sich als projektiv betrachten lassen, da die Gruppe der Transformationen, die zu ihnen gehört, nicht die der projektiven Geometrie ist.[[265]] Diese bilden zusammen mit den Studien, die sich auf die Infinitesimaleigenschaften der Raumkurven beziehen (über welche wir einiges im folgenden Paragraphen sagen werden), einen sehr wichtigen Zweig der Geometrie für sich sowohl, als auch wegen der Anwendungen, welche man von ihnen in der Geodäsie und der mathematischen Physik machen kann; man kennt ihn unter dem Namen der Differentialgeometrie. Über die wesentlichen Punkte derselben wollen wir nun einiges sagen. Und da man den Ursprung dieses Teiles der Geometrie von dem Erscheinen der Application de l'Analyse à la Géométrie[[266]]
von M o n g e datieren kann, und das spätere Werk, welches von grösserem Einflüsse war, das von G a u ß (1777-1855) ist, welches den Titel trägt: Disquisitiones generales circa superficies curvas,[[267]] so nehmen wir in unserer kurzen Darlegung die von Monge und Gauß angenommene Einteilung des Stoffes als Anhalt, indem wir zuerst besprechen, was diese selbst in Hinsicht auf die von ihnen behandelten Gegenstände geleistet haben, und dann vorführen, was ihre Nachfolger hinzugefügt haben.
Der erste Paragraph des Mongeschen Werkes bietet kein besonderes Interesse, da er nur die Bestimmung der Berührungsebenen und Normalen einer Oberfläche zum Zwecke hat; er kann also als Einleitung betrachtet werden. Die vier folgenden Paragraphen behandeln cylindrische Oberflächen, Kegel- und Rotationsflächen und solche, welche (um einen modernen Ausdruck zu gebrauchen) in einer linearen Kongruenz mit einer unendlich fernen Leitgeraden enthalten sind. Höchst bemerkenswert ist der folgende Paragraph, indem Monge dort bei der Besprechung der Enveloppen den wichtigen Begriff der Charakteristik und der Rückkehrkurve (arête de rebroussement) einer Enveloppe eingeführt hat; an diesen Paragraphen schließen sich die drei folgenden enge an; sie behandeln Röhrenflächen mit ebener Leitlinie (§ 7), Flächen, die als Linien größter Neigung gegen eine gegebene Ebene Gerade von konstanter Neigung haben (§ 8), und schließlich Enveloppen einer Oberfläche, die sich unter der Bedingung bewegt, daß ein mit ihr unveränderlich verbundener Punkt eine gegebene Kurve durchläuft (§ 9).[[268]] — Von da ab beginnt die Theorie der partiellen
Differentialgleichungen die wichtige Rolle zu spielen, die Monge ihr in der analytischen Geometrie zugewiesen hat; von diesem Punkte an zeigt es sich, daß es in vielen Fällen für die Bestimmung der Natur einer Oberfläche nützlicher und bequemer ist, eine Differentialgleichung für sie zu haben, als eine solche in endlichen Ausdrücken. Beispiele hierfür bieten die Flächen, die in einem speziellen linearen Komplexe enthalten sind mit einer unendlich fernen oder endlichen Axe (von Monge im § 10 und § 11 behandelt), fernere Beispiele die abwickelbaren Flächen (§ 12), andere die im § 9 beschriebenen, andere schließlich die Örter beweglicher Kurven, von welchen ein Punkt eine feste Kurve durchläuft (§ 14).[[269]] — Die Theorie der Krümmung einer Oberfläche in einem Punkte,[[270]] sowie das Studium der Verteilung der Normalen derselben Fläche[[271]] führen zu einer neuen Art von Flächen, die der Betrachtung wert sind; jene und diese finden sich im § 15, der sicherlich einer der wichtigsten des Mongeschen Werkes ist. Der Spezialfall des Ellipsoides ist im § 16 behandelt, derselbe enthält die Bestimmung der Krümmungslinien dieser Fläche.[[272]] — Groß an Zahl und von großer Wichtigkeit sind die Fragen, zu denen die Theorie der Krümmung Anlaß giebt. Man kann z. B. die Oberflächen untersuchen, bei denen der eine Krümmungsradius für jeden Punkt denselben Wert hat; Monge fand (§ 18), daß dieselben von einer Fläche von konstanter Form eingehüllt werden, die sich in der
vorhin (in den §§ 9 und 13) angegebenen Weise bewegt. Man kann dagegen auch voraussetzen, daß in jedem Punkte die beiden Krümmungsradien gleich und von gleichem Sinne seien: die Oberfläche ist dann eine Kugel. Wenn dagegen die beiden Krümmungsradien in jedem Punkte gleich, aber von entgegengesetztem Sinne sind, so ist die Fläche eine Minimalfläche.[[273]] Oder es sei in jedem Punkte einer der Krümmungsradien gleich groß (§ 21).[[274]]
An die Theorie der Krümmung schließen sich dann die Studien über die Röhrenflächen mit beliebiger Leitkurve (§§ 22 und 26) und über diejenigen Flächen, bei welchen alle Normalen eine gegebene Kugel (§ 23), einen gegebenen Kegel (§ 24) oder eine gegebene Developpabele (§ 25) berühren. — Für einige dieser Flächenfamilien hat Monge die Konstruktion angegeben, für alle die Gleichungen, sei es die Differentialgleichungen oder die endlichen, und, da er sich das Problem gestellt und gelöst hat, von jenen zu diesen zu gelangen, so verdient denn sein grosses Werk, daß es auch von denen, welche sich mit der Analysis des Unendlichen beschäftigen, eingehend studiert werde.
Kurz nach dem Erscheinen des Werkes von Monge wurde die Differentialgeometrie durch eine höchst wichtige Arbeit bereichert, die Developpements de Géométrie von C h. D u p i n (1813). In derselben wird unter anderem der Begriff der konjugierten Tangenten eines Punktes einer Oberfläche und der der Indikatrix eingeführt; dort sind die asymptotischen Linien (Haupttangentenkurven)[[275]] untersucht, und
der berühmte Satz bewiesen, der unter dem Namen des Dupinschen Theorems allgemein bekannt ist.
Als Fortsetzung des Mongeschen Werkes kann man die zahlreichen Untersuchungen über Flächen mit ebenen oder sphärischen Krümmungslinien ansehen, die man D u p i n,[[276]] A l f r e d S e r r e t (1819-1885),[[277]] O. B o n n e t,[[278]] D i n i,[[279]] E n n e p e r (1830-1885),[[280]] D a r b o u x,[[281]] P i c a r t,[[282]] L e c o r n u,[[283]] D o b r i n e r,[[284]] V o r e t s c h[[285]] und anderen verdankt.
Von derselben Art, aber von größerer Allgemeinheit sind die wichtigen Untersuchungen von W e i n g a r t e n über solche Oberflächen, bei denen in jedem Punkte der eine Krümmungsradius eine Funktion des anderen ist,[[286]] welche Untersuchungen D i n i (a. O.), B e l t r a m i[[287]] und L i e[[288]] zur Bestimmung der windschiefen Oberflächen mit derselben Eigenschaft geführt haben. Dasselbe kann man von den Untersuchungen sagen, welche man ebenfalls W e i n g a r t e n verdankt[[289]] und die sich auf Oberflächen beziehen, deren Normalen eine andere vorgelegte Oberfläche berühren. — Dem § 20 des Mongeschen Werkes können wir die
zahlreichen Abhandlungen anschließen, welche die Minimalflächen behandeln. Wir führen zunächst die von S t e i n e r[[290]] und W e i e r s t r a ß[[291]] an, die sich mit der allgemeinen Theorie befassen, dann die von S c h e r k[[292]] und B o n n e t,[[293]] welche einige Spezialfälle derselben bearbeitet haben; S e r r e t[[294]] beschäftigte sich dann mit solchen, die durch zwei Gerade hindurch gehen, R i e m a n n[[295]] und W e i e r s t r a ß[[296]] mit solchen, die einen gegebenen Umriß haben, G e i s e r[[297]] mit algebraischen, N o e v i u s[[298]] mit solchen periodischen, welche unendlich viele Geraden und unendlich viele ebene geodätische Linien besitzen; C a t a l a n[[299]] mit solchen, die als geodätische Linie eine Parabel haben, H e n n e b e r g[[300]] mit denen, welche eine semikubische Parabel als geodätische Linie haben; B o n n e t[[301]] untersuchte solche, auf welchen sich eine Schar von ebenen Krümmungslinien befindet; B o u r[[302]] diejenigen, welche auf eine Rotationsfläche sich abwickeln lassen; S c h w a r z solche, die durch ein windschiefes Vierseit bestimmt sind[[303]] oder die von Kegeln eingehüllt sind,[[304]] und solche, die ohne algebraisch zu sein, doch algebraische Kurven enthalten;[[305]]
E n n e p e r[[306]] untersuchte diejenigen, welche unendlich viele Kreise enthalten, u. s. w. Andere Fragen wurden von M a t h e t[[307]] behandelt, von B e l t r a m i,[[308]] von L i e,[[309]] K i e p e r t,[[310]] H e n n e b e r g,[[311]] R i b a u c o u r,[[312]] B i a n c h i[[313]] und P i n c h e r l e.[[314]] Schließlich ist die Theorie der Minimalflächen einer bemerkenswerten Erweiterung fähig, die von L i p s c h i t z[[315]] entdeckt wurde.
Wir gehen jetzt dazu über, kurz auseinander zu setzen, welches die hervorragenderen Stellen des zweiten Werkes sind, dem wir, wie schon gesagt, die wichtigsten Lehren der Differentialgeometrie verdanken, der Disquisitiones generales circa superficies curvas von G a u ß.
Schon zu Ende des ersten Paragraphen derselben finden wir einen höchst wichtigen Begriff, nämlich den der sphärischen Abbildung einer Oberfläche, dessen Fruchtbarkeit vielfache Anwendungen, die von ihm gemacht sind, dargethan haben. Kurz darauf (§ IV) treffen wir die zwei unabhängigen Veränderlichen, vermittelst derer man die Koordinaten der Punkte einer Oberfläche ausdrückt, d. h. die krummlinigen Koordinaten auf einer Oberfläche. (Vgl. auch die §§ XVII und XIX). Dann enthält § VI die Erweiterung der Betrachtung, die man gewöhnlich zur Grundlage der Theorie der Krümmung der ebenen und unebenen Kurven nimmt, auf den Raum, aus welcher Erweiterung der Begriff des Krümmungsmaßes einer Oberfläche in einem
gewöhnlichen Punkte hervorgegangen ist.[[316]] Bekanntlich ist dasselbe gleich dem Produkte aus den beiden Hauptkrümmungsradien der Fläche in jenem Punkte[[317]] (§ VIII). Das Krümmungsmaß einer Oberfläche kann man sowohl durch die gewöhnlichen kartesischen Koordinaten (§§ VII und IX) als auch durch die krummlinigen Koordinaten der Oberfläche ausdrücken (§§ X und XI).[[318]]
Bei der Untersuchung dieses letzteren Ausdruckes bieten sich die Coefficienten E, F, G des Ausdruckes des Kurvenelementes dar, deren Bedeutung in der Theorie der Oberflächen, die auf eine andere abwickelbar sind[[319]] (§ XII), Gauß zuerst hervorgehoben hat. Dabei stellte er eine neue Betrachtungsweise der Oberflächen auf (§ XIII), indem er dieselben als unendlich dünne, biegsame und unausdehnbare Körper ansah. Die folgenden Paragraphen der Abhandlung von Gauß behandeln die geodätischen Linien und haben die Bestimmung ihrer Differentialgleichungen zum Zwecke (§ XIV und XVIII), dann die Übertragung der Polarkoordinaten, des Kreises (§ XV), der Parallelkurven (§§ XVI), auf die Geometrie auf einer Oberfläche, sowie die Berechnung der totalen Krümmung eines geodätischen Dreiecks (§ XX). Die §§ XXI und XXII beziehen sich auf die Transformation des Ausdruckes für das Kurvenelement, die übrigen behandeln andere Fragen aus der Geodäsie und dürften daher unsere Aufmerksamkeit nicht auf sich ziehen.
Schon aus diesen flüchtigen Andeutungen ersieht man, wie reich an fundamentalen Begriffen die Abhandlung von Gauß ist. Die Entwickelungen, die sie gehabt, und die vielen Arbeiten, welche sie hervorgerufen, und von denen wir noch kurz zu sprechen haben, werden ihre Bedeutung noch klarer machen. Unter diesen Arbeiten muß man den schönen Ricerche di analisi applicata alla geometria, die B e l t r a m i im zweiten und dritten Bande des Giornale di Matematiche veröffentlicht hat, eine hervorragende Stelle einräumen, dann den Abhandlungen von demselben Verfasser Dalle variabili complesse su una superficie qualunque,[[320]] Teoria generale dei parametri differenziali[[321]] und Zur Theorie des Krümmungsmasses.[[322]] Bemerkenswert sind ferner die Studien von B o n n e t[[323]] und von D a r b o u x[[324]] über die sphärische Abbildung der Oberflächen, die sich an die ersten in den Disquisitiones enthaltenen Untersuchungen anknüpfen. Der Begriff der Krümmung führte zum Studium der Oberflächen mit konstanter (positiver oder negativer) Krümmung, dem so viele ausgezeichnete Geometer ihre Kräfte gewidmet haben. Unter diesen führen wir die zwei Arbeiten von B e l t r a m i an: Risoluzione del problema. Riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le geodetiche vengano rappresentate da linee rette[[325]] und Saggio di una interpretazione della Geometria non-euclidea,[[326]] dann die Schriften von D i n i,[[327]] L i e,[[328]]
B i a n c h i,[[329]] B ä k l u n d,[[330]] D a r b o u x[[331]] und D o b r i n e r.[[332]] Von derselben Art, aber allgemeiner, sind die Studien von C h r i s t o f f e l[[333]] über die Bestimmung der Gestalt einer Oberfläche mit Hilfe von auf ihr selbst genommenen Maßen und von L i p s c h i t z[[334]] über die Oberflächen, welche bestimmte auf die Krümmung bezügliche Eigenschaften haben, oder bei welchen der Ausdruck des Kurvenelements von vornherein festgesetzt ist.
An den Abschnitt der Gaußischen Abhandlung, welcher die geodätischen Linien behandelt, knüpfen sich einige Arbeiten von J o a c h i m s t h a l (1818-1861),[[335]] S c h e r i n g,[[336]] B e l t r a m i,[[337]] die von L i e[[338]] gemachte Einteilung der Oberflächen auf Grund der Transformationsgruppen ihrer geodätischen Linien und die Untersuchungen über geodätische Kurven von demselben Verfasser.[[339]] Mit demjenigen Abschnitte, welcher sich auf die Abwickelbarkeit der Oberflächen bezieht, steht eine wichtige Arbeit von M i n d i n g in enger Beziehung,[[340]] in der zum ersten Male die Frage aufgestellt ist, ob die Gleichheit der Krümmung in entsprechenden Punkten eine hinreichende Bedingung für die Abwickelbarkeit zweier Oberflächen sei: er gelangte für den allgemeinen Fall zu einem negativen Resultate, zu einem
positiven dagegen für den Fall konstanter Krümmung. Dasselbe gilt von den Arbeiten von B o u r[[341]] (1832-1866), C o d a z z i[[342]] und B o n n e t,[[343]] welche für preiswürdige Antworten auf die im Jahre 1861 von der Pariser Akademie der Wissenschaften gestellte Frage erkannt worden sind. Derselbe Gegenstand oder verwandte Gegenstände wurden dann in den Abhandlungen von C h r i s t o f f e l,[[344]] v o n M a n g o l d t,[[345]] W e i n g a r t e n,[[346]] B r i l l,[[347]] M i n d i n g,[[348]] J e l l e t,[[349]] D i n i,[[350]] E n n e p e r,[[351]] R a z z a b o n i,[[352]] L e c o r n u,[[353]] B e l t r a m i[[354]] und vielen anderen behandelt.
Die schöne von Gauß gegründete Theorie der krummlinigen Koordinaten einer Oberfläche ließ den Wunsch entstehen, eine analoge Theorie für den Raum zu haben. Schon im Jahre 1837 stellte L a m é sie für einen Spezialfall auf, nämlich für den der elliptischen Koordinaten,[[355]] später wies er auf die orthogonalen krummlinigen Koordinaten
hin[[356]] und konstruierte dann die Theorie derselben,[[357]] ohne ihre Anwendung[[358]] und Entwickelung[[359]] zu vernachlässigen. Die berühmten Leçons sur la théorie des coordonnées curvilignes et leurs diverses applications (Paris, 1859) von L a m é fassen zusammen und vervollständigen die glänzenden Resultate, die von Lamé in diesem Zweige der Geometrie erhalten waren. In der Folge haben sich viele andere mit demselben beschäftigt. Vor allen führe ich A o u s t an, der ihm viele und wichtige Arbeiten widmete,[[360]] dann B r i o s c h i,[[361]] C o d a z z i,[[362]] C h e l i n i (1802-1878),[[363]] D a r b o u x,[[364]] C o m b e s c u r e,[[365]] L e v y,[[366]] R o y e r[[367]] und noch andere. Hierzu sehe man noch die Schriften, welche dreifache Systeme orthogonaler Oberflächen behandeln und von denen ich nur diejenigen von B o u q u e t,[[368]] A. S e r r e t,[[369]] B o n n e t,[[370]] C a t a l a n,[[371]] M o u t a r d,[[372]] D a r b o u x,[[373]] C a y l e y,[[374]] R i b a u c o u r,[[375]]
W e i n g a r t e n,[[376]] S c h l ä f l i,[[377]] H o p p e,[[378]] B i a n c h i[[379]] und M o l i n s[[380]] nennen will.
Von den Arbeiten, welche spezielle Oberflächen behandeln, die nicht zu bis jetzt besprochenen Kategorien gehören, führen wir die von L i e[[381]] an, welche sich auf Oberflächen beziehen, die infinitesimale lineare Transformationen in sich selbst zulassen; dann die von E n n e p e r,[[382]] die sich auf Oberflächen mit speziellen Meridiankurven beziehen, ferner die von C a y l e y[[383]] und W e i n g a r t e n[[384]] und die von W i l l g r o d[[385]] über Oberflächen, welche durch ihre Krümmungslinien in unendlich kleine Quadrate geteilt werden; schließlich die von B i a n c h i[[386]] über Schraubenflächen.
Ein bemerkenswerter Fortschritt in der analytischen Infinitesimalgeometrie der Oberflächen wurde durch die Bemühungen d e S a l v e r t s geschaffen, der in einigen eleganten Arbeiten,[[387]] wahrscheinlich hervorgerufen durch die schönen Vorlesungen über die analytische Geometrie des Raumes von H e s s e, zeigte, wie man durch Benutzung der Gleichung einer Oberfläche in ihrer allgemeineren Form, f(x, y, z) = 0, ein bei weitem bequemeres System von Formeln für die Lösung gewisser Probleme aufstellen konnte, als wenn die Gleichung z = φ(x, y) zu Grunde gelegt wird.
Über Differentialgeometrie existieren noch einige gute Darlegungen. Eine verdankt man H o p p e; sie trägt den Titel: Elemente der Flächentheorie; eine andere wurde von B r i s s e unternommen;[[388]] die neuesten sind die von B i a n c h i in seinen sehr schönen Lezioni di geometria differenziale (Pisa, 1886) und die, welche D a r b o u x in seinen Leçons sur la théorie générale des surfaces begonnen hat, von denen wir schon den ersten Teil besitzen (Paris, 1887).
Wir wollen diesen Abschnitt beschließen, indem wir noch bemerken, daß die Zuhilfenahme der Analysis für das Studium der Infinitesimalgeometrie nicht notwendig ist; vielmehr haben B e r t r a n d[[389]] und B o n n e t[[390]] zuerst gezeigt, welchen Nutzen man bei diesen Studien auch aus synthetischen Betrachtungen ziehen kann. Außerdem enthalten der erste Band des Traité de calcul différential et intégral von B e r t r a n d und der Traité de géométrie descriptive von d e l a G o u r n e r i e[[391]] und eine große Zahl von überaus schönen Abhandlungen von M a n n h e i m[[392]] bemerkenswerte geometrische Untersuchungen, welche dem Zweige der Wissenschaft des Raumes, mit dem wir uns eben beschäftigt haben, angehören.