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Bei dieser flüchtigen Musterung der neuesten geometrischen Entdeckungen gelangen wir nun zur Lehre von den Abbildungen, Korrespondenzen und Transformationen. — Es ist bekannt, daß zwischen zwei ebenen Punktfeldern eine Korrespondenz (Verwandtschaft) besteht, wenn jedem Punkte des einen eine Gruppe von Punkten des anderen zugeordnet ist; diese heißen dann die »entsprechenden« zu jenem. Wenn im speziellen Falle jeder Punkt des einen Feldes einen einzigen entsprechenden in dem anderen hat, so heißt die Korrespondenz »eindeutig«.
Die einfacheren Fälle der eindeutigen Korrespondenz sind die Homologie — von P o n c e l e t studiert (1822) — und die Kollineation (Homographie), von M ö b i u s (1827), M a g n u s (1833) und C h a s l e s (1837) studiert. In diesen Fällen entspricht nicht nur jedem Punkte ein Punkt, sondern
auch jeder Geraden eine Gerade. — Ein Beispiel einer komplizierteren Korrespondenz wurde von S t e i n e r (1832) durch folgende Konstruktion erhalten:[[509]] Gegeben sind zwei getrennte Ebenen und zwei windschiefe Geraden; durch jeden Punkt der einen von jenen ziehe man die Gerade, welche die beiden gegebenen Geraden schneidet, und bestimme den Schnittpunkt mit der anderen Ebene. Indem man diesen Schnittpunkt dem in der ersten Ebene gewählten Punkte zuordnet, erhält man eine eindeutige Beziehung von der Art, daß jeder Geraden in der einen Ebene ein Kegelschnitt in der anderen entspricht. Läßt man nun die beiden Ebenen zusammenfallen, so erhält man eine Korrespondenz, welche im wesentlichen nicht von der durch P o n c e l e t[[510]] zwischen in bezug auf ein Kegelschnittbüschel konjugierten Punkten gefundenen verschieden ist, und welche auf analytischem Wege von P l ü c k e r[[511]] untersucht wurde, sodann von M a g n u s (1790-1861)[[512]] und von unserem S c h i a p a r e l l i,[[513]] synthetisch aber von S e y d e w i t z[[514]] und später von R e y e.[[515]] — Auf ein drittes Beispiel führte die Lösung einiger Probleme aus der mathematischen Physik; man gelangt dazu auf folgende Weise: Gegeben sei in einer Ebene ein fester Punkt, man associiert zwei mit ihm in gerader Linie gelegene Punkte, deren Abstände von ihm umgekehrt proportional sind. Man erhält dann eine eindeutige Korrespondenz, welche jede Gerade in einen Kreis, und jeden Kreis wieder in einen Kreis verwandelt. Diese wurde von Sir W i l l i a m T h o m s o n[[516]]
als »Prinzip der elektrischen Bilder« studiert und ist unter dem Namen »Transformation durch reciproke Radien« oder »Inversion« allgemein bekannt.[[517]]
Alle diese Transformationen sind linear oder quadratisch, da sie eine Gerade in eine Kurve erster oder zweiter Ordnung verwandeln. Jedoch machte M a g n u s schon die Bemerkung, daß, wenn man eine quadratische Transformation wiederholt, man im allgemeinen eine solche höherer Ordnung erhält.[[518]] Diese wichtige Bemerkung blieb aber bis zu dem Zeitpunkte unfruchtbar (1863), in welchem C r e m o n a von den wenigen bisher erörterten Fällen zur allgemeinen Theorie der geometrischen Transformationen der ebenen Figuren überging.[[519]]
Um dem Leser die Bedeutung der Schriften, welche C r e m o n a dieser Theorie[[520]] gewidmet hat, zu zeigen, würde ich auseinanderzusetzen haben, auf welche Weise dieser große Geometer das Studium der eindeutigen Transformationen auf das eines homaloidischen Netzes von Kurven zurückgeführt hat, und die Bestimmung eines solchen Netzes auf die Lösung eines unbestimmten Systemes von linearen Gleichungen; aber da die Anlage meiner Abhandlung mir das nicht gestattet, so muß ich mich darauf beschränken, ihn davon durch den alten Beweis des »consensus omnium« zu überzeugen. Dann führe ich noch die Namen von Geometern an wie C a y l e y,[[521]] C l e b s c h,[[522]] N ö t h e r,[[523]] R o s a n e s,[[524]] S. R o b e r t s,[[525]] die sich bemüht haben, die (bei der ersten Behandlung des Stoffes unvermeidlichen) Lücken, die sich in den C r e m o n a schen Abhandlungen[[526]] fanden, auszufüllen; ferner die Arbeiten von R u f f i n i,[[527]] J o n q u i è r e s,[[528]] K a n t o r,[[529]] G u c c i a,[[530]] A u t o n n e,[[531]] welche mit dieser Lehre
eng zusammenhängende Fragen behandeln, endlich die von H i r s t,[[532]] T. C o t t e r i l l[[533]] (1808-1881), von S t u r m,[[534]] S c h o u t e[[535]] und sehr vielen anderen, welche sich das bescheidenere Ziel gesetzt haben, die Verbreitung derselben durch geeignete Beispiele und elegante Formeln zu erleichtern.[[536]]
Unter den Arbeiten, welche sich an die von C r e m o n a anschließen, verdienen eine hervorragende Stelle diejenigen von B e r t i n i,[[537]] welche er den ebenen involutorischen Transformationen gewidmet hat, welche Arbeiten noch größere Einfachheit und Eleganz erhielten durch den Begriff der Klasse und andere Begriffe, die von C a p o r a l i[[538]] (1855-1886) eingeführt wurden, jenem ausgezeichneten Geometer, dessen frühen Verlust ganz Italien betrauert.[[539]]
Von ganz verschiedenem Charakter sind hingegen die eleganten Untersuchungen von L a g u e r r e über solche Transformationen, welche er »Transformationen durch reciproke Richtungen« nannte; da es nicht möglich ist, den Grundgedanken in wenigen Worten zusammenzufassen und die vielfachen Anwendungen, welche der Erfinder davon gemacht hat, anzudeuten, verweisen wir den Leser auf die Originalarbeiten des hervorragenden französischen Geometers.[[540]]
Von der Theorie, die wir jetzt besprechen, bildet auch die Lehre von den »isogonalen Transformationen« einen Teil, welcher sich auf die geometrische Darstellung der komplexen Zahlen stützt und deren Nützlichkeit (welche vielleicht grösser
ist für die mathematische Physik als für die reine Geometrie) M ö b i u s,[[541]] S i e b e c k,[[542]] D u r è g e,[[543]] B e l t r a m i,[[544]] V o n d e r - M ü h l l,[[545]] F. L u c a s,[[546]] W e d e k i n d[[547]] und neuerdings H o l z m ü l l e r[[548]] dargethan haben.[[549]]
Den Begriff der eindeutigen Korrespondenz zwischen zwei Ebenen kann man auf verschiedene Weise verallgemeinern; die Weisen, die sich so ziemlich von selbst darbieten, sind folgende:
Vor allem, ohne die Ebene zu verlassen, kann man eine Korrespondenz aufstellen zwischen jedem Punkte derselben und einer Kurve eines doppelt unendlichen Systemes in derselben oder auch einer anderen Ebene;[[550]] diese Art der Korrespondenz ist eine Erweiterung der Korrelation (Reciprocität) zwischen zwei Feldern; angegeben von P l ü c k e r, wurde dieselbe von C l e b s c h[[551]] entwickelt und veranlaßte die Theorie der Konnexe.[[552]]
Wenn man dann zum Raume übergeht, kann man eine Korrespondenz zwischen den Punkten zweier Oberflächen aufstellen (insbesondere zwischen den Punkten einer krummen Oberfläche und denen einer Ebene) oder zwischen den Punkten zweier Räume.
Die Darstellung einer Oberfläche auf einer Ebene kann man bis ins Altertum zurückverfolgen, da schon H i p p a r c h und P t o l o m a e u s (und wahrscheinlich andere vor ihnen) sich die Aufgabe der Herstellung geographischer Karten gestellt und Lösungen derselben mitgeteilt haben, die auf derjenigen Projektion beruhen, welche man heute die stereographische nennt. — Die Projektion von M e r c a t o r (1512-1594), die Untersuchungen von L a m b e r t (1728-1777) und L a g r a n g e, die berühmte Antwort von G a u ß auf eine von der dänischen Akademie gestellte Frage[[553]] zeigen, wie die täglichen Bedürfnisse der Geographie und Navigationskunde unaufhörlich die Gelehrten angetrieben haben, sich mit dem Probleme der eindeutigen Darstellung der Oberfläche unseres Planeten auf einer Ebene zu beschäftigen.[[554]] — Die erste Abbildung einer Oberfläche auf einer anderen jedoch, die nur in der Absicht gemacht wurde, um eine derselben leichter studieren zu können, verdanken wir Gauß, der 1827 in seinen berühmten Disquisitions generales circa superficies curvas es als sehr vorteilhaft erkannte, die Punkte
einer beliebigen Oberfläche den Punkten einer Kugelfläche entsprechen zu lassen, indem man zwei solche Punkte zuordnet, deren Normalen einander parallel sind.[[555]] Eine besondere Eigentümlichkeit dieser Korrespondenz ist die, daß, um Eindeutigkeit zu erhalten, es fast immer nötig ist, nur den Teil der Oberfläche abzubilden, den man gerade ins Auge faßt; wir wollten diese Eigenschaft nicht stillschweigend übergehen, da deren Anführung uns Gelegenheit giebt, den Unterschied hervorzuheben, der zwischen der sphärischen Abbildung und den Abbildungen besteht, welche von P l ü c k e r,[[556]] C h a s l e s[[557]] und C a y l e y[[558]] für das Studium der Geometrie auf einer Fläche zweiten Grades, denen, die von C l e b s c h[[559]] und C r e m o n a[[560]] für das Studium der Geometrie auf einer kubischen Fläche, und von denen endlich, die von späteren Geometern für die Untersuchung anderer Flächen vorgeschlagen sind.
Die erste Arbeit, welche ex professo die Theorie der Abbildungen dieser Art behandelt, verdankt man C l e b s c h.[[561]] Die zahlreichen Beispiele, durch welche der Verfasser in dieser Arbeit, sowie in einigen älteren und späteren[[562]] die allgemeine Theorie illustrierte, haben zur Aufstellung der Geometrie auf einer grossen Zahl von Flächen mit vielen Einzelheiten geführt. Ferner haben die fast gleichzeitigen Abhandlungen
von C r e m o n a[[563]] und N ö t h e r,[[564]] sowie die ihnen folgenden von A r m e n a n t e,[[565]] K l e i n,[[566]] K o r n d ö r f e r,[[567]] C a p o r a l i[[568]] und von noch anderen[[569]] im Verlaufe weniger Jahre diese Zahl außerordentlich vermehrt.[[570]] Man kann sich eine ziemlich genaue Vorstellung von dem Reichtum dieses Zweiges der Geometrie machen, wenn man die schöne Abhandlung von C a p o r a l i über die dreifach unendlichen linearen Systeme ebener Kurven liest,[[571]] in welcher er einerseits die Theorie der Abbildung einer Oberfläche auf eine Ebene auf das Studium solcher Systeme anwandte, andererseits in derselben wertvolle Hilfsmittel der Untersuchung fand.
Bei dem Studium der Abbildung einer Oberfläche bietet sich von selbst eine wichtige Frage dar, nämlich die, ob sie alle eindeutig auf eine Ebene abbildbar sind, oder allgemeiner: ob zwei Oberflächen sich als Punkt für Punkt
einander entsprechend darstellen lassen. Und da man leicht erkannte, daß die Antwort auf diese Frage eine negative sei, so wurde man natürlich auf die andere Frage geführt: Welche Oberflächen lassen sich eindeutig auf einer Ebene abbilden? Oder allgemeiner: Welche Oberflächen kann man eindeutig auf einer gegebenen abbilden? — Die analoge Frage für zwei (ebene oder unebene) Kurven wurde von C l e b s c h vermittelst der Betrachtung des Geschlechtes und der Moduln gelöst. Diese Analogie veranlaßte nun C l e b s c h, die Lösung des vorhin angegebenen Problems in einer Ausdehnung des Begriffes des Geschlechtes auf die Oberflächen[[572]] zu suchen. Dieser Versuch wurde jedoch nach meinem Dafürhalten nicht von gutem Erfolge gekrönt, und auch heute muß man trotz der nach C l e b s c h angestellten Versuche ausgezeichneter Mathematiker wie C a y l e y,[[573]] N ö t h e r,[[574]] Z e u t h e n[[575]] die Frage als noch ungelöst betrachten; um das zu beweisen, genügt es zu sagen, daß, wenn es auch bekannt ist, daß alle Oberflächen zweiter und dritter Ordnung (die nicht Kegelflächen sind) eindeutig auf einer Ebene abbildbar sind, doch noch nicht alle Oberflächen vierter Ordnung bestimmt sind, welche dieselbe Eigenschaft haben.[[576]]
Die allgemeineren Resultate, die man auf diesem Gebiete kennt, waren, wenn ich nicht irre, von N ö t h e r[[577]] erhalten; dieser gelangte durch eine überaus elegante analytische Betrachtung bei jeder Oberfläche, welche eine einfach unendliche Schar rationaler Kurven enthält, zu einer Abbildung derselben auf einem Kegel.
Die Schwierigkeit aber, auf welche man bei der eindeutigen Abbildung gewisser Oberflächen auf eine Ebene stieß, ließen bei C l e b s c h den Gedanken entstehen, zwischen einer Oberfläche und einer Ebene eine vielfache Korrespondenz aufzustellen, oder auch (wie er an die R i e m a n n schen Flächen denkend sagte) eine Fläche auf eine vielfache Ebene abzubilden und dann diese auf eine einfache Ebene zu beziehen.[[578]] Diese Idee, deren Keime sich vielleicht bis zu der von C h a s l e s[[579]] vorgeschlagenen Verallgemeinerung der stereographischen Projektion zurückverfolgen lassen, konnte nicht mehr vollständig von ihrem Urheber entwickelt werden; jedoch blieben die von ihm gegebenen Andeutungen nicht unfruchtbar, vielmehr entstand aus ihnen die Theorie der doppelten ebenen Transformationen, welche d e P a o l i s aufgestellt und durch vielfache Anwendungen erläutert hat.[[580]]
Die zweite Verallgemeinerung der C r e m o n a schen Transformationen veranlaßte die Theorie der rationalen Transformationen im Räume. Zwei Beispiele einer solchen Korrespondenz boten sich in der Homographie zweier Räume (und deren Spezialfällen) dar und — wie M a g n u s,[[581]] H e s s e[[582]] und C r e m o n a[[583]] bemerkt haben — in der Transformation, die man erhält durch drei zu demselben Räume korrelative (reciproke) Räume, indem man jedem Punkte jenes Raumes
den Schnitt der Ebenen zuordnet, die ihm in diesen entsprechen. Die allgemeine Theorie entstand jedoch erst um das Jahr 1870 durch die Bemühungen C a y l e y s,[[584]] N ö t h e r s[[585]] und C r e m o n a s,[[586]] obwohl schon M a g n u s[[587]] Ende 1837 dieselbe angestrebt und ihre Wichtigkeit eingesehen hatte.
Von den bemerkenswerten Arbeiten, in welchen diese Gelehrten unsere Theorie im allgemeinen begründeten, ist ohne Zweifel die wichtigste jene, die wir der Feder unseres berühmten Landsmannes verdanken. Geleitet durch die Analogie, welche diese Disziplin mit der der eindeutigen Korrespondenz zwischen zwei Ebenen darbietet, zeigte er, wie jene sich auf das Studium der dreifach unendlichen homaloidischen Systeme von Oberflächen zurückführen läßt. Darauf setzte er auf eine sehr schöne Weise auseinander, wie man unendlich viele solcher Systeme erhalten könne, wenn man die ebene Abbildung e i n e r Oberfläche kennt, und zeigte zuletzt durch treffende Beispiele, wie man die Theorie der rationalen Transformationen auf die Abbildung vieler Flächen auf andere zurückführt, insbesondere auf die ebene Abbildung einiger von ihnen. Diese Anwendung, vereint mit der obenerwähnten Methode, zeigt klar, wie man aus der ebenen Abbildung einer Oberfläche nicht nur die Abbildungen von unendlich vielen anderen erhalten kann, sondern auch unzählig viele rationale Transformationen des Raumes.
Ungeachtet der Schriften, durch welche England, Deutschland und Italien so mächtig zur Gründung und Erweiterung dieser Theorie beigetragen haben, kann man doch nicht sagen, daß dieselbe den Grad der Vollendung erreicht habe,
den andere erlangt haben. Das kommt vielleicht daher, daß die schwierigsten Fragen, welche sich in derselben darbieten, innig mit der Bestimmung der Singularitäten der Oberflächen zusammenhängen, und über diese — wir müssen es leider gestehen — sind unsere Kenntnisse noch sehr beschränkt. Darin hat man vielleicht die Erklärung der Thatsache zu suchen, daß die Geometer, die auf jene oben erwähnten folgten, sich mehr mit der Erläuterung der Methoden ihrer Meister, als mit der Vervollkommnung derselben und der Ausfüllung ihrer Lücken beschäftigt haben.[[588]] Und dennoch — wenn auch das Studium der Figur selbst ohne Zweifel dem der transformierten vorzuziehen ist — giebt es bei dem heutigen Standpunkte der Wissenschaft sehr wenige Theorien, die so sehr es verdienen, daß man sie in allen ihren Einzelheiten vervollkommne, als gerade diese. In der That, um die Worte eines großen Mannes zu gebrauchen, »wenn man über das Verfahren der Algebra nachdenkt und den Grund
der gewaltigen Vorteile aufsucht, die sie der Geometrie bietet, sieht man da nicht, daß sie dieselben der Leichtigkeit verdankt, mit welcher man anfänglich eingeführte Ausdrücke Transformationen unterziehen kann, Transformationen, deren Geheimnis und deren Mechanismus die wahre Wissenschaft bilden und die das ständige Ziel der Analysten sind? Ist es darum nicht natürlich, zu versuchen, in die reine Geometrie analoge Transformationen einzuführen, welche direkt auf die vorgelegten Figuren und ihre Eigenschaften hinsteuern?[[589]]
Auf das allgemeine Studium der Transformationen folgt das solcher Transformationen, bei denen man einen gewissen Zweck im Auge hat,[[590]] z. B. die Verwandlung der Figuren in sich selbst oder ihre Zurückführung zur ursprünglichen Figur, wenn die Transformationen mehrmals hintereinander angewandt werden. Es existieren in der That auch schon einige gute Arbeiten, in welchen die Kollineationen und Korrelationen behandelt sind, welche eine Fläche zweiter Ordnung, einen linearen Komplex[[591]] oder eine kubische Raumkurve[[592]] in sich selbst transformieren, sowie über die cyklischen Projektivitäten.[[593]]
Wir wollen diesen Abschnitt unserer Arbeit beschließen, indem wir noch einige Worte über die vielfachen Transformationen zwischen zwei Gebilden zweiter und dritter Stufe sagen, auf welche ich nur im Vorübergehen hinweisen konnte, indem ich einige Abhandlungen von P a o l i s anführte. Der erste, der sich mit ihnen beschäftigte, war C h r. W i e n e r,[[594]] welcher sie untersuchte, indem er eine eindeutige Korrespondenz in der Ebene herstellte zwischen den Geraden einer Ebene und den Kurven eines linearen Systemes; dann ist einem Punkte, betrachtet als Schnitt zweier Geraden, die Gruppe der Grundpunkte des Büschels zugeordnet, der durch die entsprechenden Kurven konstituiert wird. Diese Art und Weise, vielfache Transformationen zu erzeugen, wurde von T o g n o l i[[595]] auf den Raum ausgedehnt; derselbe ließ jedem Punkte, betrachtet als Schnitt dreier Ebenen, die Grundpunkte desjenigen Netzes entsprechen, das durch die drei den drei Ebenen entsprechenden Oberflächen eines dreifach unendlichen linearen Systemes bestimmt wird. Solche Untersuchungen haben sich bis jetzt jedoch noch nicht als sehr fruchtbar gezeigt. Ziemlich wichtig dagegen sind die schon genannten Untersuchungen von P a o l i s über die doppelten Transformationen. Das zeigen die Arbeiten, in denen V i s a l l i[[596]] und J u n g[[597]] die vielfachen Transformationen untersucht haben und welche die Fortsetzungen jener sind.
Mit einigen speziellen vielfachen Transformationen des Raumes haben sich R e y e[[598]] und S e g r e[[599]] beschäftigt und von ihnen elegante Anwendungen gemacht. A s c h i e r i[[600]] übertrug eine spezielle ebene zweifache Transformation, welche P a o l i s bearbeitet hatte, auf den Raum und dehnte auch die
Anwendungen, die jener davon gemacht hatte, auf die Nicht-Euklidische Geometrie aus. Allgemeine Untersuchungen auf diesem Gebiete haben wir jedoch keine außer den wenigen, die in einer kurzen Arbeit von R e y e[[601]] aufgezeichnet sind, und den sehr wichtigen über die doppelten Transformationen des Raumes von P a o l i s.[[602]] Wir zweifeln nicht, daß diese und jene als Grundlage einer allgemeinen Theorie der zweifachen Transformationen, die wir noch erwarten, dienen können; und wir erwarten dieselbe mit Ungeduld, da wir sicher sind, daß dieselbe der Geometrie nicht geringere Dienste leisten wird, als die sehr bekannten, die ihr durch die birationalen Transformationen geleistet sind, und jene, die, wie P a o l i s bemerkt, die doppelten leisten können.
Neben die vielfachen Korrespondenzen zwischen zwei Räumen von Punkten (oder Ebenen) kann man die zwischen einem Punktraume und einem Ebenenraume stellen. Untersucht wurden dieselben für den Fall, daß durch jeden Punkt die entsprechenden Ebenen gehen und in jeder Ebene die entsprechenden Punkte liegen. Zusammen betrachtet bilden die zwei Räume ein höheres Nullsystem oder Punktebenensystem. Die Theorie dieser Systeme ist in diesen letzten Jahren besonders durch die Arbeiten von A m e s e d e r,[[603]] von S t u r m[[604]] und V o ß[[605]] hervorgetreten, während R e y e[[606]] das Verdienst zukommt, den Begriff des gemeinen Nullsystemes[[607]] zuerst, doch in einer anderen Weise — die entsprechenden Elemente sind nicht Punkte und Ebenen, sondern Flächen zweiter Ordnung und zweiter Klasse — erweitert zu haben.