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Die griechische Geometrie betrachtet den Punkt als das erzeugende Element aller Figuren; die analytische Geometrie des Cartesius machte die Bestimmung des Punktes zur Grundlage aller ihrer Rechnungen. Das Prinzip der Dualität führte nun die Gelehrten zu dem Schlüsse, daß die Gerade in der Ebene und die Ebene im Raume mit gleichem Rechte und gleichem Erfolge, wie der Punkt, die Rolle spielen könne, die bis jetzt dieser in der Geometrie inne gehabt, und führte in der Folge dazu, die Gerade und die Ebene als Elemente der Ebene und des Raumes anzunehmen und ein neues System der (synthetischen und analytischen) Geometrie aufzustellen. Das Verdienst dieses bemerkenswerten Fortschrittes gebührt größtenteils P l ü c k e r.[[608]]
Aber ganz auf P l ü c k e r fällt der Ruhm, ein drittes die räumlichen Gebilde erzeugendes Element — die Gerade — eingeführt und auf eine solche Betrachtung eine neue Geometrie des Raumes begründet zu haben. Dieser berühmte Gelehrte kehrte, nachdem er fast zwanzig Jahre hindurch die Geometrie verlassen hatte, um seine bedeutenden Geisteskräfte der Physik zu widmen, zu der Wissenschaft zurück, die ihm ursprünglich seinen Ruhm gesichert hatte, um sie
mit einer neuen und wichtigen Disziplin zu beschenken, mit »der Geometrie der Geraden«.
Die ersten Mitteilungen über diesen Gegenstand, die im Jahre 1865 der Königlichen Gesellschaft zu London[[609]] von dem großen deutschen Geometer gemacht wurden, enthalten die Sätze über einige allgemeine Eigenschaften der Komplexe, Kongruenzen und Regelflächen und einige spezielle Eigenschaften der linearen Komplexe und Kongruenzen;[[610]] die Beweise derselben sind nur angedeutet und sollen, nach Angabe des Autors, vermittelst der Koordinaten einer Geraden im Raume geführt werden, die er als einen eigenen Gedanken eingeführt hatte, die man später aber als Spezialfall dessen erkannte, was schon C a y l e y[[611]] aufgestellt hatte, um vermittelst einer einzigen Gleichung eine beliebige Kurve im Raume darstellen zu können.
Diese Mitteilungen veranlaßten plötzlich eine Reihe wichtiger Arbeiten, in denen B a t t a g l i n i nicht nur, was Plücker behauptet hatte, sondern auch viele Lehrsätze bewies, die sich auf die Komplexe zweiten und höheren Grades beziehen.[[612]] — Indessen hatte P l ü c k e r schon die von ihm
skizzierten Gedanken ausgeführt und in dem Werke vereinigt, welches den Titel trägt: Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement.[[613]]
Von diesem Buche zu sagen, daß es in allen seinen Teilen gleich wichtig und interessant sei, würde eine der Wahrheit nicht entsprechende Behauptung sein. Plücker schätzte nicht die Eleganz der Rechnung, an die wir durch L a g r a n g e, J a c o b i, H e s s e, C l e b s c h gewöhnt sind; er teilte sicherlich nicht mit L a m é[[614]] die Ansicht, daß »die Bezeichnung für die Analysis das sei, was die Stellung und Wahl der Worte für den Stil ist«; bei ihm brauchte die Rechnung nur der einen Bedingung zu genügen, nämlich schnell zur Lösung der ins Auge gefaßten Probleme zu führen. Dieser Mangel, der allen Arbeiten von Plücker gemeinsam ist, macht sich lebhafter in dem letzten Werke bemerklich, welches einen Wettstreit eingehen sollte mit Mustern der Eleganz, wie den Vorlesungen über analytische Geometrie des Raumes von H e s s e und den Vorlesungen über Dynamik von J a c o b i, die kurz vorher (1861 und 1866) herausgekommen waren. Außer diesem nicht geringen Mangel ist ein anderer noch bedeutenderer dadurch entstanden, daß Plücker lange Zeit hindurch es vernachlässigt hatte, den Fortschritten der Geometrie nachzugehen. Infolge dieser einseitigen Ausbildung finden wir in seinem Buche eine Menge von Untersuchungen, die uns nicht mehr interessieren, da sie unter andere allgemeinere, schon gemachte fallen, eine große Anzahl von Spezialfällen, von deren Wichtigkeit wir uns nicht überzeugen können, eine Menge von komplizierten Formeln, deren Nutzen wir nicht einsehen. Trotz dieser Fehler — die ich anführen muß, um die geringe Anzahl der Leser, die sie heute findet, zu begründen — kann man nicht verkennen, daß die letzte Arbeit von Plücker reich an originellen Blicken ist, und es würde die Lektüre derselben jedem zu raten sein, der das Studium dieses Teiles der Geometrie unternehmen will, wenn nicht die Nachfolger
Plückers seine Untersuchungen in besserer Form auseinandergesetzt und mit anderen Methoden ausgeführt, und jene Gedanken, die er nur hingeworfen hat, größtenteils entwickelt hätten.
Plücker hatte nicht die Zeit, die Theorie der Komplexe zweiten Grades zu vollenden, da der Tod ihn traf, als er gerade im Begriffe stand, den zweiten Teil seines Buches zu veröffentlichen; aber die Untersuchungen, die er unvollendet zurückließ, wurden von seinem Schüler F. K l e i n[[615]] zu Ende geführt. Ihm verdanken wir nicht nur den allgemeinen Begriff der Koordinaten einer Geraden und eine Anzahl sehr schöner Lehrsätze über die Komplexe zweiten Grades, sondern auch verschiedene allgemeine und außerordentlich fruchtbare Ideen über die Geometrie der Geraden. In der That ist es K l e i n, der, einen Gedanken seines Lehrers präzisierend, die Bemerkung machte, daß man die Geometrie der Geraden ansehen könne als das Studium einer quadratischen Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen, enthalten in einem linearen Raume von fünf Dimensionen, und zeigte, daß jeder Komplex durch eine einzige Gleichung zwischen den Koordinaten einer Geraden darstellbar ist. Daß diese Bemerkung und dieser Lehrsatz von der größten Bedeutung für den Fortschritt der Geometrie der Geraden seien, wurde in glänzender Weise durch die schönen Untersuchungen meines lieben Freundes S e g r e[[616]] gezeigt, die mit denen von K l e i n innig zusammenhängen.
Gleichzeitig mit Klein beschäftigten sich P a s c h,[[617]] Z e u t h e n,[[618]] D r a c h,[[619]] später auch P a o l i s[[620]] wiederholt
mit der Geometrie der Geraden, indem sie verschiedene Fragen derselben vermittelst homogener Koordinaten behandelten. C l e b s c h[[621]] wandte auf diese Theorie die Methode der abgekürzten Bezeichnung an; im Jahre 1873 vervollständigte W e i l e r[[622]] die Einteilung der Komplexe zweiten Grades nach den Begriffen, die K l e i n in seiner Dissertation angegeben hatte. V o ß[[623]] studierte in einer Reihe sehr wichtiger Abhandlungen die Singularitäten der Systeme von Geraden; H a l p h e n bestimmte die Zahl der Geraden des Raumes, welche vorher aufgestellten Bedingungen genügen;[[624]] N ö t h e r,[[625]] K l e i n[[626]] und C a p o r a l i[[627]] beschäftigten sich mit der Abbildung der Komplexe ersten und zweiten Grades auf den gewöhnlichen Raum, A s c h i e r i mit der einiger spezieller Komplexe;[[628]] L i e stellte den innigen Zusammenhang, der zwischen der Geometrie der Kugel und der Geometrie der Geraden besteht, ins Licht;[[629]] R e y e endlich studierte die Formen der allgemeinen quadratischen Komplexe.[[630]] Nur mit Hilfe der synthetischen Geometrie wurde unsere Theorie von C h a s l e s studiert[[631]] — schon 1839 —, von R e y e,[[632]]
von S i l l d o r f,[[633]] S c h u r,[[634]] B e r t i n i,[[635]] von d ' O v i d i o[[636]] und von W. S t a h l;[[637]] B u c h h e i m[[638]] bediente sich der Quaternionen, um die hauptsächlichsten Eigenschaften der linearen Kongruenzen zu beweisen, während viele Fragen aus der Infinitesimalgeometrie, die sich auf Systeme von Geraden beziehen, glücklich in einigen Abhandlungen von M a n n h e i m,[[639]] L i e,[[640]] K l e i n,[[641]] P i c a r d[[642]] und K ö n i g s[[643]] gelöst wurden. Schließlich wurden einige spezielle Komplexe studiert von A s c h i e r i,[[644]] P a i n v i n,[[645]] von R e y e,[[646]] L i e,[[647]] W e i l e r,[[648]] R o c c e l l a,[[649]] von H i r s t,[[650]] V o ß,[[651]] G e n t y,[[652]] M o n t e s a n o,[[653]] von S e g r e und von mir.[[654]]
Neben der reichhaltigen Schar von Schriften, die wir dem von Plücker gegebenen Anstoße verdanken, müssen wir noch eine andere ebenso glänzende erwähnen, die aber
von ganz anderer Art ist. Sie umfaßt die Arbeiten von D u p i n,[[655]] M a l u s[[656]] (1775-1811) und Ch. S t u r m[[657]] (1803-1855), B e r t r a n d,[[658]] T r a n s o n[[659]] über die Normalen von Oberflächen und über die mathematische Theorie des Lichtes, dann die von H a m i l t o n (1805-1865) über Systeme von Strahlen.[[660]] Diese Arbeiten finden ihre Krönung in zwei berühmten Abhandlungen, die von K u m m e r in den Jahren 1857 und 1866 veröffentlicht sind.
In der ersteren, die im Journal für Mathematik[[661]] abgedruckt ist, hat sich K u m m e r die Aufgabe gestellt, durch eine einheitliche und einfachere Methode die Resultate von H a m i l t o n darzulegen und sie in den Punkten, wo sie mangelhaft erschienen, zu vervollständigen.[[662]]
In der zweiten,[[663]] die noch wichtiger ist, stellte er sich, nach einigen schönen allgemeinen Untersuchungen über die Zahl der Singularitäten eines Systemes von Strahlen und seiner Brennfläche, und löste die Frage, alle algebraischen Systeme von Strahlen erster und zweiter Ordnung zu bestimmen, d. h. solche, bei denen durch jeden Punkt des Raumes e i n e r oder z w e i Strahlen des Systemes hindurchgehen.
Ich möchte wünschen, daß mir hinreichender Raum zu Gebote stände, um den Leser in den Stand zu setzen, die ausgezeichneten Verdienste dieser klassischen Arbeit hoch
zu schätzen, um ihn an der tiefen Bewunderung teilnehmen zu lassen, die ich für sie empfinde; ich möchte ihn sehen lassen, mit welch ausserordentlicher Gewandtheit der Verfasser zur Bestimmung aller Strahlensysteme erster und zweiter Ordnung zu gelangen weiß, zu den Gleichungen, die sie und ihre Brennflächen darstellen (welches jene Oberflächen vierter Ordnung mit Doppelpunkten sind, die ich Gelegenheit hatte, im Abschnitt III zu erwähnen), zu den Singularitäten der Systeme, den Konfigurationen, die sie bilden, zum Zusammenhange zwischen ihnen und den Singularitäten der Brennfläche u. s. w. Aber da die Bemessenheit des Raumes es mir verbietet, so muß ich mich darauf beschränken, den Wunsch auszusprechen, daß dieser mein kurzer Überblick es bewirken könne, daß bei jedwedem das Verlangen entsteht, die Untersuchungen K u m m e r s selbst kennen zu lernen und den Weg zu verfolgen, den er mit solchem Glücke eingeschlagen hat; ich spreche diesen Wunsch aus, da mich die Beobachtung schmerzlich bewegt, daß in den zwanzig Jahren, die schon seit dem Erscheinen der K u m m e r schen Arbeit verflossen sind, es noch nicht gelungen ist, eine solche Theorie, die sich so fruchtbar an schönen Resultaten gezeigt hat, in einer bemerkenswerten Weise zu fördern.[[664]]