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Die letzte Kategorie von Arbeiten, mit denen ich mich zu beschäftigen habe, umfaßt eine Reihe von Untersuchungen, die zu lebhaften Diskussionen Veranlassung gegeben haben und — wunderbar zu sagen — eine Zeit lang die Mathematiker in zwei Feldlager geteilt haben, »das eine gewappnet gegen das andere«;[[665]] heutzutage bilden sie denjenigen Teil der Wissenschaft des Raumes, den man »Nicht-Euklidische Geometrie« und »Theorie der beliebig
ausgedehnten Mannigfaltigkeiten« oder »Geometrie von n Dimensionen«[[666]] nennt.
Jeder weiß, daß unter allen Sätzen, die in den Elementen des E u k l i d enthalten sind, es einen giebt,[[667]] der nur schlecht dazu paßt, wie es der griechische Geometer gethan hat, unter die Axiome oder die Postulate gestellt zu werden.[[668]] Derselbe ist von großer Wichtigkeit im Euklidischen System, da auf ihn, wie man sagen kann, die ganze Theorie der Parallelen gegründet ist. Weil es nun nicht auf Grund unmittelbarer Anschauung gerechtfertigt ist, ihn unter diejenigen Sätze zu zählen, für welche es vergeblich ist, einen Beweis zu fordern, so kam man auf die Frage, ob er in der That unbeweisbar sei, und ob man nicht, wenn das der Fall sein sollte, ihn unterdrücken und durch einen anderen ersetzen könne, dessen Wahrheit offenbarer sei?
Diese Fragen sind ein natürlicher Ausfluß unseres Zeitalters, von welchem eine der hervorragendsten Eigentümlichkeiten (wie H u m b o l d t bemerkt) die unparteiliche Kritik alles dessen ist, was uns die Vergangenheit hinterlassen hat; sie müssen als der erste Ursprung der Nicht-Euklidischen Geometrie angesehen werden.
Die ersten wichtigen Studien auf diesem Gebiete wurden gegen Ende des vergangenen Jahrhunderts von L e g e n d r e[[669]]
gemacht. Dieselben stellten den Zusammenhang klar, der zwischen dem Postulate des Euklid und dem Satze besteht, der sich auf die Winkelsumme eines Dreiecks bezieht, und führten L e g e n d r e dazu, nicht nur jenes Postulat durch ein anderes viel wichtigeres zu ersetzen, sondern auch eine Geometrie zu entwerfen, die von eben demselben Postulate unabhängig ist.[[670]]
Nahe zur selben Zeit wie L e g e n d r e, befaßte sich G a u ß mit dieser Frage. Gleichwohl hat er niemals irgend eine Arbeit auf diesem Gebiete veröffentlicht; seine Korrespondenz mit S c h u m a c h e r[[671]] und mit W o l f g a n g B o l y a i (1775-1856)[[672]] und einige bibliographische Artikel von ihm[[673]]
bezeugen nicht nur das Interesse, das er dafür besaß, sondern bekunden auch die reiche Ernte von Wahrheiten, die er auf diesem, wie auf den anderen von ihm bebauten Feldern eingebracht hat. Und als die Schriften von L o b a t s c h e w s k y (1793-1856)[[674]] und J o h a n n B o l y a i (1802-1860)[[675]] über diesen Gegenstand erschienen, da sanktionierte der Fürst der deutschen Mathematiker mit seiner Autorität die Ergebnisse, welche dieselben erhalten hatten. Man kann diese Ergebnisse zusammenfassen, indem man sagt, daß dieselben die Grundlage einer neuen Geometrie sind, die vollständig unabhängig ist von dem Postulate des Euklid (die Nicht-Euklidische Geometrie, oder imaginäre oder auch Pangeometrie), die in gewissen Punkten mit der gewöhnlichen Geometrie übereinstimmt, jedoch in vielen anderen sich von ihr unterscheidet, — eine Geometrie, die eine Zeit lang einige als absurd verbannt haben wollten, da sie den von einer nur oberflächlichen Sinneswahrnehmung bezeugten Erscheinungen widerspricht, die aber heute allgemein angenommen ist, da ihr logischer Wert außer Zweifel gestellt ist.[[676]]
Zu diesem Siege der Logik über den übertriebenen Empirismus haben in sehr wirkungsvoller Weise einige Schriften von großer Bedeutung beigetragen, die R i e m a n n (1827-1866), von H e l m h o l t z und B e l t r a m i in den Jahren 1867 und 1868 veröffentlichten.
Die R i e m a n n sche Schrift: Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen[[677]] — zwölf Jahre vor ihrer Veröffentlichung geschrieben — war und ist noch durch die Allgemeinheit der Begriffe und die Knappheit der Form selbst für diejenigen, welche in der Mathematik schon vorgeschritten sind, von schwierigem Verständnisse. Jedoch ein großer Teil der Ideen, welche dieselbe enthält, verbreiteten sich sehr bald, da sie, durch ein glückliches Zusammentreffen, auch von H e l m h o l t z ausgesprochen wurden, und dieser sie nicht nur den Mathematikern in rein wissenschaftlicher Form darlegte,[[678]] sondern auch in populären Vorträgen und Artikeln in verschiedenen Zeitschriften auch außerhalb des engeren Kreises der Geometer behandelte.[[679]] Keinen geringeren Einfluß aber als die Schriften des berühmten Verfassers der Physiologischen Optik übte der klassische Saggio di interpretazione della Geometria non-euclidea[[680]] von B e l t r a m i aus. Gerade die Schärfe und analytische Eleganz, welche diese Schrift auszeichnen, lenkte die Aufmerksamkeit der Geometer auf dieselbe; das glänzende und überraschende Resultat, daß die Sätze der Nicht-Euklidischen Geometrie ihre Verwirklichung auf den Oberflächen mit konstanter negativer Krümmung fanden, machte einen tiefen Eindruck auch auf diejenigen, welche jeder nicht durch das
Experiment bewiesenen Behauptung allen Wert absprachen, und sicherte den Triumph der neuen Anschauungen; endlich — die dort verteidigten gesunden Prinzipien einer wissenschaftlichen Philosophie und die glänzende Form, in welcher die Abhandlung geschrieben ist, ließen und lassen noch bei allen eine lebhafte Bewunderung für unseren berühmten Landsmann entstehen, durch dessen Bemühung wiederum einmal die Wahrheit den Sieg davontrug.
Daß die Arbeiten dieser drei großen Gelehrten einen wohlthätigen Einfluß auf die ganze Geometrie ausgeübt haben, hat sich zur Evidenz durch die Änderung gezeigt, welche sich in bezug auf die Art und Weise vollzogen hat wie man heutzutage die ihr zu Grunde liegenden Sätze betrachtet.[[681]] Wenn früher die Geometer den Philosophen die Sorge überließen, zu entscheiden, ob die Wahrheiten, mit denen sie sich beschäftigten, notwendige oder zufällige seien, und dahin neigten, dieselben als notwendige zuzulassen, so streben sie jetzt, nachdem die empirische Grundlage der Geometrie erkannt ist, fortwährend darnach, genau festzusetzen, welche Thatsachen man der Sinneswahrnehmung entnehmen muß, um eine Wissenschaft der Ausdehnung zu gründen.[[682]] Wer die schönen Vorlesungen über neuere
Geometrie (Leipzig, 1882) von P a s c h liest, die neueren Lehrbücher prüft und diese und jene mit den älteren Büchern vergleicht, wird wesentliche Unterschiede finden.
In den älteren Werken giebt der Lehrer die Voraussetzungen, die er nicht beweist, als notwendige, ewige und unanfechtbare Wahrheiten, in den neueren führt er sozusagen den Schüler dazu, die nötigen Erfahrungen auszuführen, um die Prämissen der späteren Deduktionen festzustellen. In den älteren Arbeiten stellt der Verfasser die Euklidische Geometrie als die einzig denkbare hin, in den neueren als
eine der unendlich vielen, die man aufstellen könnte. Und diese Unterschiede bezeichnen einen thatsächlichen Fortschritt, da sie zeigen, daß die Gelehrten sich von einem alteingewurzelten und schädlichen Vorurteile frei gemacht haben; und für den Fortschritt der Wissenschaft hat die Erkenntnis eines Irrtums eine nicht geringere Wichtigkeit, als die Entdeckung einer Wahrheit.
Kurz nach der Veröffentlichung der Arbeit von B e l t r a m i erschien eine von F. K l e i n,[[683]] die auch von großer Wichtigkeit ist; aber um die Stellung zu kennzeichnen, welche dieselbe in der Geschichte der Nicht-Euklidischen Geometrie einnimmt, muß ich mich einige Jahrzehnte rückwärts wenden.
Es ist bekannt, daß infolge des Traité des propriétés projectives des figures eine Unterscheidung aufgestellt wurde zwischen den Eigenschaften der Figuren, die erhalten bleiben, wenn diese projiziert werden, und solchen, die nicht erhalten werden; es ist ferner bekannt, daß unter den ersteren alle Lagen-Eigenschaften, aber nur einzelne metrische Eigenschaften begriffen sind. Nun stellten die Geometer sich die Frage, ob es nicht möglich sei, die metrischen Eigenschaften der Figuren so auszusprechen, daß sie bei der Projektion sämtlich erhalten werden. Für einige Arten der Projektion haben C h a s l e s und P o n c e l e t die Frage gelöst, indem sie den Begriff der unendlich fernen Kreispunkte der Ebene und des unendlich entfernten imaginären Kreises einführten; für andere wurde die Lösung von L a g u e r r e[[684]] gegeben, dem es gelang, den Begriff des Winkels projektiv zu machen; aber derjenige, welcher die Lösung in ihrer ganzen Allgemeinheit gab, war C a y l e y[[685]] (1859), der in dem sechsten von seinen berühmten Memoirs upon Quantics zeigte, daß jede metrische Eigenschaft einer ebenen Figur als in einer
projektiven Beziehung zwischen dieser und einem festen Kegelschnitte enthalten betrachtet werden könne.
Nun besteht der Hauptzweck der angeführten Abhandlung von K l e i n eben darin, die innige Beziehung zwischen den Schlüssen C a y l e y s und denen, zu welchen B o l y a i und L o b a t s c h e w s k y gelangt waren, herzustellen; auf welche lichtvolle Weise dieses Ziel erreicht ist, das beweist der große Ruhm, zu dem diese Schrift alsbald gelangte.[[686]]
An diese Schriften schließen sich viele andere; an die von Riemann und Beltrami einige interessante Arbeiten von d e T i l l y,[[687]] G e n o c c h i,[[688]] v o n E s c h e r i c h[[689]] und B i a n c h i;[[690]] an die von Klein verschiedene Abhandlungen von B a t t a g l i n i,[[691]] d ' O v i d i o,[[692]] d e P a o l i s[[693]] und A s c h i e r i,[[694]] C a y l e y,[[695]] L i n d e m a n n,[[696]] S c h e r i n g,[[697]] von S t o r y,[[698]]
H. S t a h l[[699]] und V o ß,[[700]] von H. C o x[[701]] und A. B u c h h e i m.[[702]]
Die mathematische Litteratur der allerneuesten Zeit jedoch ist nicht sehr reich an Forschungen auf diesem Gebiete;[[703]] es hat den Anschein, als wenn jenes Zeitalter, welches man das heroische nennen könnte, und durch welches jede Disziplin einmal hindurchgeht, schon von der Nicht-Euklidischen Geometrie durchlaufen sei. Sollten vielleicht die unermüdlichen Arbeiter der beiden Jahrzehnte 1860-1880 die Minen in jeder Richtung so gründlich durchwühlt haben, daß sie keine goldführende Ader mehr bergen?