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Die Theorie der beliebig ausgedehnten Mannigfaltigkeiten oder die Geometrie von n Dimensionen verdankt ihren Ursprung der Unterstützung, welche die Algebra von der Geometrie erhielt, seitdem Cartesius jene auf diese anzuwenden gelehrt hat. In der That ist diese Unterstützung eine begrenzte, da nur die analytischen Thatsachen, welche mit der Theorie der Funktionen einer, zweier oder dreier Variabelen verknüpft sind (oder mit der Theorie der binären, ternären oder quaternären Formen), einer den Sinnen zugänglichen
Darstellung fähig sind. Aber der Geist der Verallgemeinerung, der, wie ich schon sagte, einer der mächtigsten Antriebe zu den modernen geometrischen Untersuchungen war und noch fortwährend ist, bewog die Geometer, die Fesseln zu brechen, welche die Natur ihrem Vorstellungsvermögen angelegt zu haben schien, und von beliebig ausgedehnten Räumen zu sprechen.[[704]]
Und sie sprachen davon, ehe sie sich noch mit der mehr philosophischen, als mathematischen Frage beschäftigt hatten, ob in der That solche Räume existieren; und sie thaten dies mit Recht, da sie nur so, ohne ein vielleicht unlösbares Problem in Angriff zu nehmen, ihr Ziel erreichen konnten; durch eine kühne Einbildungskraft verschafften sie sich die (sinnlich wahrnehmbaren oder übersinnlichen) Darstellungen vieler analytischer Resultate.[[705]]
Um zu zeigen, daß man wirklich in der angegebenen Weise zu einer solchen Theorie gekommen ist, begnüge ich mich damit, die Thatsache anzuführen, daß dieselbe von Analysten wie C a u c h y[[706]] (1789-1857) und R i e m a n n[[707]] aufgestellt wurde; daß sie sich noch bei vielen anderen minder bedeutenden mehr oder weniger versteckt findet in der Absicht, für die Theoreme der Analysis ausdrucksvollere Fassungen zu erhalten; ferner daß L a g r a n g e schon Ende des vergangenen Jahrhunderts die Bemerkung machte, »daß man die Mechanik als eine Geometrie von vier Dimensionen
ansehen könne«, in welcher die Zeit als vierte Koordinate fungiert.[[708]]
Dieser Begriff des beliebig ausgedehnten Raumes ist jedoch seinem Ursprunge und seiner Bestimmung nach wesentlich analytisch. P l ü c k e r, dem das Schicksal einen so wichtigen Anteil an der Förderung der modernen Geometrie zugeteilt hat, war es vorbehalten, diesem Begriffe ein geometrisches Gewand zu geben, indem er beobachtete, daß man unserem Raume eine beliebige Anzahl Dimensionen zuerteilen kann vermittelst einer passenden Wahl des geometrischen Gebildes, welches man als erzeugendes Element des Raumes auffaßt; so wird er drei Dimensionen haben, wenn man den Punkt oder die Ebene wählt, vier, wenn man die Gerade oder die Kugel nimmt, neun, wenn man die Fläche zweiten Grades nimmt, u. s. w.[[709]]
Dieser Gedanke ist weniger abstrakt als der vorhergehende, und leichter zu begreifen; dessen ungeachtet verbreitete er sich viel langsamer, als der erstere, wahrscheinlich deswegen, weil sein Urheber nicht Worte genug machte, um seine Wichtigkeit zu zeigen. Der andere hingegen wurde besonders infolge der berühmten Abhandlung von R i e m a n n, Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, in vielen Richtungen weiter entwickelt, und die mathematische Litteratur über diesen Gegenstand ist von einer schon beträchtlichen Reichhaltigkeit und wächst noch von Tag zu Tag.
Zur Rechtfertigung dieser Behauptung erinnere ich an die schon genannten Abhandlungen von H e l m h o l t z, führe die von B e l t r a m i,[[710]] S c h l ä f l i,[[711]] N e w c o m b,[[712]] S t r i n g h a m,[[713]] das neue Buch von K i l l i n g[[714]] an und die darauf folgenden Untersuchungen von S c h u r,[[715]] die enge mit der R i e m a n n schen Abhandlung zusammenhängen; die Untersuchung von B e t t i[[716]] über den Zusammenhang eines Raumes von n Dimensionen; die von C l i f f o r d,[[717]] B e l t r a m i,[[718]] J o r d a n,[[719]] von L i p s c h i t z,[[720]] M o n r o,[[721]] S c h e e f f e r (1859-1885),[[722]] H e a t h[[723]] und K i l l i n g[[724]] über die Kinematik und Mechanik eines
solchen Raumes;[[725]] ferner die von J o r d a n[[726]] und B r u n e l[[727]] über die verschiedenen Berührungs- und Schmiegungsräume, welche eine Kurve in einem Raume von n Dimensionen zuläßt,[[728]] die von C r a i g[[729]] über die metrischen Eigenschaften der Oberflächen in einem solchen Raume, die von K r o n e c k e r,[[730]] von B e e z,[[731]] L i p s c h i t z,[[732]] C h r i s t o f f e l,[[733]] von B r i l l,[[734]] S u w o r o f f[[735]] und V o ß[[736]] über die Krümmung eines beliebig ausgedehnten Raumes; die von K r o n e c k e r und T o n e l l i[[737]] über das Potential; die von L i e,[[738]] K l e i n,[[739]] J o r d a n[[726]] und L i p s c h i t z[[740]] über die Erweiterung des Dupinschen und des Eulerschen Lehrsatzes; sodann die konforme Abbildung einer Oberfläche des vierdimensionalen Raumes auf den gewöhnlichen Raum, die von C r a i g[[741]] studiert wurde, endlich die von L i p s c h i t z gegebene Verallgemeinerung des berühmten Problemes der drei Körper.[[742]] Zum Schlusse wollen
wir die Aufmerksamkeit des Lesers lenken auf die Erweiterungen gewisser Begriffe, einiger Sätze und Formeln der elementaren Geometrie, die vorzüglich von R u d e l,[[743]] H o p p e,[[744]] S c h l e g e l[[745]] und M e h m k e[[746]] gemacht sind; dazu gehören auch die Untersuchungen von S t r i n g h a m,[[747]] H o p p e,[[748]] S c h l e g e l,[[749]] S c h e f f l e r,[[750]] R u d e l,[[751]] O. B i e r m a n n,[[752]] P u c h t a[[753]] und anderen über die regulären Körper des vierdimensionalen Raumes, die soweit gediehen, daß sie S c h l e g e l gestatteten, Modelle der Projektionen dieser Körper auf unseren Raum herzustellen.[[754]]
Außer dieser Richtung wurde eine andere nicht weniger fruchtbare von den Bearbeitern der Mannigfaltigkeiten von n Dimensionen verfolgt, welche projektiv ist, während die erstere wesentlich metrisch ist.—Eine kurze Andeutung,
die von C a y l e y im Jahre 1846 gegeben wurde[[755]] über eine Methode, um die Konfigurationen von Punkten, Geraden und Ebenen zu untersuchen, kann man als die erste ansehen, welche auf diese neue Richtung hinwies. Aber es scheint, wie B a i l l y[[756]] bemerkt hat, »daß die Ideen, wie wir, ein Kindesalter und eine erste Zeit der Schwäche haben; sie sind nicht von Geburt an produktiv, sondern erhalten erst mit dem Alter und mit der Zeit ihre Fruchtbarkeit«. Daher sehen wir denn mehr als 30 Jahre verfließen, ehe der geniale Gedanke des großen englischen Geometers, in der richtigen Weise entwickelt, die synthetische Geometrie der Räume von n Dimensionen, welche wir heute besitzen, hervorrief.
Als Einleitung zu derselben muß man die wichtige Arbeit von C l i f f o r d ansehen: On the classification of loci,[[757]] in welcher das allgemeine Studium der Kurven in beliebigen linearen Räumen in Angriff genommen ist; jeden Augenblick kommen in demselben Operationen vor, die wirkliche Erweiterungen derer sind, die man in der gewöhnlichen projektiven Geometrie zu machen pflegt. Jedoch kann man sagen, daß dieser neue Zweig der Geometrie mit der Abhandlung beginnt, die V e r o n e s e der Behandlung der projektiven Eigenschaften der Räume von n Dimensionen durch die Prinzipien des Schneidens und Projizierens gewidmet hat.[[758]] In derselben läßt der berühmte Verfasser, R i e m a n n folgend, einen Raum von n Dimensionen entstehen, indem er von demselben einen solchen, der eine Dimension weniger hat, von einem außerhalb gelegenen Punkte projiziert, und
indem er sich dieser Erzeugungsweise bedient, gelangt er zur Erweiterung des grösseren Teiles der Theorien der gewöhnlichen Geometrie der Lage.[[759]] Die Fruchtbarkeit der in dieser grundlegenden Abhandlung erörterten Prinzipien wurde durch viele interessante Arbeiten, welche die Fortsetzung derselben bilden, ins Licht gestellt; dieselben bereichern noch von Tag zu Tag ein Lehrgebiet, in welchem Italien eine hervorragende Stelle einnimmt. Unter ihnen will ich — abgesehen von denen, die V e r o n e s e selbst publiziert hat,[[760]] — die Untersuchungen von S e g r e anführen über die Theorie der quadratischen Gebilde in einem Raume von n Dimensionen und ihre Anwendung auf die Geometrie der Geraden,[[761]] über die kollinearen und reciproken Korrespondenzen,[[762]] über die Büschel von Kegeln zweiten Grades,[[763]] über die Regelflächen,[[764]] über die Oberflächen vierter
Ordnung mit Doppelkegelschnitt[[765]] und über die Theorie der Systeme von Kegelschnitten,[[766]] dann die von B e r t i n i[[767]] und A s c h i e r i,[[768]] die verwandte Gegenstände behandeln; die Schriften von d e l P e z z o über die Oberflächen in einem n-dimensionalen Raume.[[769]] Noch viele andere müßte ich nennen, aber
Io non posso ritrar di tutti appieno;
Perocchè sì mi caccia il lungo tema,
Che molte volte al fatto il dir vien meno.[[770]]
Jedoch Arbeiten, welche zu verschweigen mich keine Betrachtung verleiten könnte, sind die — viel früher als die von V e r o n e s e erschienenen — von N ö t h e r über die eindeutigen Korrespondenzen zwischen zwei n-dimensionalen Räumen (1869, 1874),[[771]] jene ebenfalls älteren von H a l p h e n (1875) über die Schnitte der Mannigfaltigkeiten, die in einem beliebigen linearen Raume enthalten sind,[[772]] von d ' O v i d i o
über die Metrik eines solchen Raumes (1876),[[773]] endlich die neuerlichen von S c h u b e r t über die abzählende Geometrie eines Raumes von solcher Beschaffenheit.[[774]]