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Hiermit scheint es mir angemessen, die vorgenommene Musterung zu beschließen. Freilich sind viele wirklich interessante Untersuchungen derselben entgangen, da sie unter keiner der Kategorien, in welche ich die von mir besprochenen Arbeiten eingeteilt habe, Platz finden konnten. So konnte ich nicht über die Theorie der projektiven Koordinaten berichten, die von C h a s l e s[[775]] erhalten wurden, als er die gewöhnlichen Cartesischen Koordinaten einer kollinearen Verwandlung unterzog, die dann direkt von S t a u d t[[776]] aufgestellt wurde und vollständiger von F i e d l e r;[[777]]
dann habe ich nicht über die Methode der symbolischen Bezeichnung berichtet, da diese mehr Mittel als Zweck für den Geometer ist; die Theorie der Berührungstransformationen (L i e) und der Differential-Invarianten (H a l p h e n) habe ich stillschweigend übergangen, da sie auf der Grenze zwischen der Geometrie und der Theorie der Differentialgleichungen stehen; über die sogenannte Analysis situs habe ich mich einer Besprechung enthalten, da eben diese Lehre von R i e m a n n geschaffen und von seinen Schülern betrieben wurde, um Probleme der Funktionentheorie zu lösen. Dann haben sich meiner Darlegung die schönen Auseinandersetzungen von B a t t a g l i n i und B a l l entzogen über die Kräfte und Bewegungen,[[778]] von C h a s l e s, A r o n h o l d, M a n n h e i m und B u r m e s t e r über die kinematische Geometrie und von R e y e über die Trägheitsmomente, da sie bisher[[779]] mehr zur Mechanik als zur Geometrie gehörig angesehen wurden. Gleiches gilt von den interessanten Experimenten P l a t e a u s (1801-1883) in bezug auf die Minimalflächen, deren Besitz die Physiker für sich beanspruchen, von den schönen Untersuchungen über die Polyeder (M ö b i u s, B r a v a i s, J o r d a n, H e ß), welche den Übergang von der Geometrie zur Mineralogie bilden, und den neuesten Arbeiten über die geometrische Wahrscheinlichkeit (C r o f t o n, C z u b e r, C e s à r o), welche ich geneigt wäre unter die Anwendungen der Geometrie zu rechnen. Dann habe ich nicht über die Methode der Äquipollenzen gesprochen (B e l l a v i t i s) und die Theorie der Quaternionen (H a m i l t o n), da beide sich bis jetzt noch
nicht von so großer Fruchtbarkeit erwiesen haben, um als notwendiges Hilfsmittel des Geometers angesehen zu werden.
Ungern mußte ich hinweggehen über die Theorie der Kugelsysteme, die mit großem Erfolge von L i e und R e y e bearbeitet ist. Ich habe keinen Blick auf die Theorie der Konfigurationen werfen können (R e y e, K a n t o r, J u n g, M a r t i n e t t i), da dieselbe gerade noch im Stadium ihrer Bildung begriffen ist, und auf die mehr den Elementen angehörige Erweiterung der Lehre vom Dreiecke, zu welcher Arbeiten von B r o c a r d[[780]] die Anregung gegeben haben. Kurz erwähnen will ich noch zwei Reihen von Untersuchungen über Maximal- und Minimalfiguren, von denen die einen (P a i n v i n, P. S e r r e t, L e b e s g u e, B o r c h a r d t, K r o n e c k e r) das Problem von L a g r a n g e, das Tetraeder größten Inhalts zu finden, von dem die Inhalte der Seitenflächen gegeben sind, und Erweiterungen, bez. Umgestaltungen desselben behandeln,[[781]] die anderen (L i n d e l ö f, B e r n e r, E d l e r, S t u r m, S c h w a r z, L a n g e, C e r t o) sich an die berühmten Aufsätze von S t e i n e r[[782]] anschließen.[[783]]
Keinesfalls aber darf mit Stillschweigen übergangen werden, daß es unserem Jahrzehnte vergönnt gewesen ist, die alte Frage der Quadratur des Kreises zur endgiltigen Erledigung zu bringen. Nachdem im vergangenen Jahrhundert L a m b e r t[[784]] die Zahl π als irrational nachgewiesen, verblieb immer noch der Nachweis, daß π auch nicht Wurzel
einer algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sei; denn erst damit ist dargethan, daß die Quadratur des Kreises nicht vermittelst einer endlichen Anzahl von Konstruktionen, welche mit Hilfe des Lineals und des Zirkels ausführbar sind, vollzogen werden könne. Dieser Beweis wurde, unter Benutzung H e r m i t e scher Vorarbeiten über die Exponentialfunktion, 1882 von L i n d e m a n n[[785]] erbracht.
Trotz der aufgezählten und unzähliger anderer Unvollkommenheiten des Bildes, das ich über den heutigen Zustand der Geometrie zu entwerfen versucht habe, wird dennoch der Leser, wenn er einen Blick auf dasselbe wirft, von tiefer Verwunderung betroffen sein, nicht allein über die gewaltige Entwickelung der Mathematik in diesen letzten fünfzig Jahren, sondern auch über die neue, schönere, verlockendere Gestalt, welche sie mehr und mehr annimmt.
Die geometrischen Figuren, die eine Zeit lang als fest, unbeweglich, leblos erschienen, bekamen eine unerwartete Lebendigkeit durch die Theorie der geometrischen Transformationen, vermöge derer sie sich bewegen, sich in einander verwandeln, gegenseitige Beziehungen enthüllen und unter sich bisher unbekannte Verwandtschaften herstellen.
Ferner glaubte man eine Zeit lang, daß wir als dreidimensionale Wesen, die in einem Raume leben, in welchem wir nur drei Dimensionen wahrnehmen können, dazu verurteilt wären, ewig nur die Mannigfaltigkeiten von nicht mehr als drei Dimensionen zu studieren. Jetzt aber ist es uns erlaubt und fast unsere Pflicht, von dieser Idee als einem gefährlichen Vorurteile uns frei zu machen, und die Fülle von Arbeiten, die wir vor uns bewundern, belehren alle diejenigen, welche ihre Augen nicht von der neuen Sonne wegwenden wollen, über die Wichtigkeit dieses Fortschrittes.
Endlich ist, kann man sagen, der Kampf zwischen der Geometrie und der Analysis, der sich gegen Ende des
vergangenen Jahrhunderts erhoben und zu Anfang dieses fortgesetzt hat, nunmehr beendigt; weder die eine, noch die andere hat den Sieg davon getragen, aber jede hat auch den Ungläubigsten gezeigt, daß sie bei jeglichem Ringen als Siegerin hervorgehen könne. Der Mécanique analytique, in welcher L a g r a n g e mit Freuden konstatierte, daß er es soweit gebracht habe, jegliche Figur zu vermeiden, hat ein Lehrbuch der Mechanik einen glänzenden Bescheid gegeben, welches das Motto trägt: »Geometrica geometrice«; dem hundertjährigen Dienste, welchen die Algebra der Geometrie bot, können sich heute die zahllosen und unvergleichlichen Vorteile entgegenstellen, welche jene von dieser zog; schließlich wird man doch an Stelle der analytischen oder pseudosynthetischen Theorie der Kurven und Oberflächen in Kurzem die rein synthetische Theorie setzen können, die man gegenwärtig aus dem von S t a u d t[[786]] gelieferten Materiale errichtet.
Und zu dieser Periode des Friedens oder vielmehr des edlen Wetteifers der Analysis und Geometrie müssen sich alle Glück sagen, da jeder Fortschritt der einen einen entsprechenden in der anderen nach sich zieht oder dazu
auffordert. Das entspricht dem heutigen Standpunkte der gesamten Wissenschaft, denn nun funktionieren, wie S p e n c e r sagt, die verschiedenen Disziplinen als Hilfskünste, die einen für die anderen.
Diese Stellung der modernen Mathematik jedoch legt jedem, der sie mit Erfolg betreiben will, eine schwere Verpflichtung auf, nämlich die, nicht die eine der beiden Disziplinen, welche sie zusammen bilden, um die andere zu vernachlässigen und sich in der Handhabung der Wissenschaft der Zahlen ebensowohl, als in derjenigen der Ausdehnung auszubilden.[[787]]
Um heiteren Mutes diese vermehrten Anstrengungen auf uns zu nehmen, dazu hilft uns die Betrachtung, »daß die Analysis und Synthesis im Grunde genommen gleichsam immer vereinigt in unseren Arbeiten sind und zusammen das vollständigste Werkzeug des menschlichen Geistes bilden. Denn unser Geist macht keine Fortschritte, als nur mit der Hilfe von Zeichen oder Bildern, und wenn er zum ersten Male in schwierige Fragen einzudringen sucht, so hat er nicht einen Überfluß an diesen beiden Mitteln und jener besonderen Kraft, die er oft genug nur aus ihrem Zusammenwirken schöpft.«[[788]]
Indem wir uns also der Beschränktheit unserer Kräfte bewußt sind, werden wir nur ein kleines Feld wählen, auf dem wir unsere Thätigkeit üben, aber nicht vergessen, daß
wir, um alle Früchte, die es zu bieten fähig ist, einzuernten, das Recht und sozusagen die Pflicht haben, alle die Hilfsmittel prüfend anzuwenden, welche der menschliche Geist während so vieler Jahrhunderte unausgesetzter Thätigkeit angehäuft hat, und die jedem zu Gebote stehen, der die Klugheit hat, sie zu Rate zu ziehen, und das Geschick, sie anzuwenden.