Das Quadrat in schräger Stellung.
[§ 81.] Ist die Stellung des Quadrats eine solche, dass die eine Diagonale eine unverkürzte Wagrechte ist, so steht die andere rechtwinklig zum Horizont, hat also ihren Fluchtpunkt im Augpunkt und die Seiten haben dieselbe Stellung, welche im vorhergehenden Fall die Diagonalen hatten, ihre Fluchtpunkte sind die beiden Diagonalpunkte, s. [Fig. 77]. Ist A D in [Fig. 84] als erste Seite eines solchen Quadrats gezeichnet, also angenommen, dass der Fluchtpunkt von A D ein Diagonalpunkt sei, so ergibt sich B dadurch, dass eine unverkürzte Wagrechte von D nach rechts, eine Linie von A nach P gezogen und hierauf k B = D k gemacht wird, der Punkt C durch P D E, A E und eine Linie aus E durch die Mitte von D k nach A P. Oder man bildet das einschliessende Quadrat in gerader Stellung und bestimmt in diesem die Halbierungspunkte der Seiten.
[§ 82.] Wie die geometrisch gezeichneten Quadrate a b c d und e f g h, [Fig. 84] zeigen, entstehen, wenn durch Verbindung der Halbierungspunkte a b c d ein kleineres Quadrat innerhalb des grösseren gebildet wird, zwischen beiden 4 gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke von gleicher Grösse: a f b, b g c u. s. w. Wird eine Quadratseite in zwei ungleiche Teile geteilt und dieselbe Teilung auf den 3 andern Seiten wiederholt, wie in [Fig. 85] (a f = b g = c h = d e und folglich a e = d h u. s. w.), so bilden die Verbindungslinien der 4 Teilungspunkte, hier a, b, c und d, gleichfalls ein Quadrat und entstehen wieder 4 rechtwinklige Dreiecke von gleicher Form und Grösse (a f b, b g c u. s. w.) mit dem Unterschiede, dass dieselben nicht gleichschenklig sind. Zieht man aus a und c 2 Linien parallel mit f g, aus d und b zwei weitere parallel mit e f je nach der gegenüberliegenden Seite des äusseren Quadrats, so ist e m = a f, m f ist = a e und dieselben Verhältnisse ergeben sich auf allen 4 Seiten.
Fig. 85.
Ist nun ein verkürztes Quadrat in gerader Stellung z. B. E F G H [Fig. 85], gegeben und in demselben ein Punkt A als vordere Ecke eines inneren Quadrats, dessen Ecken die Seiten des äusseren berühren sollen, so wird man F M = A E machen, M P und A P sowie eine Diagonale des äusseren Quadrats und durch die Schnittpunkte y und z oder i und k zwei Wagrechte ziehen, wodurch sich die Lage der Punkte B, D und C ergibt.
[§ 83.] Ist A B als Seite eines Quadrats und zweimal P F als Distanz angenommen, so zieht man eine Wagrechte durch A und eine Linie aus P durch B nach F. Eine Linie aus D/3 durch B ergibt F p als ein Drittel von B F, F M ist = 3 mal F p, also ist F M = B F. Wird nun A E = F M gemacht, so kann E P gezogen und das äussere Quadrat E F G H entweder durch Verlängerung der Diagonale des Quadrats M F B z oder durch eine Linie aus D/3, nach s, d. h. dem Drittel von F E gebildet werden, worauf man wie oben verfährt.
Oder kann man, nachdem P F gezogen, F M = B F und A E = F M gemacht ist, E P und eine Linie von D/3 nach m, d. h. einem Drittel von A F ziehen, wodurch das Quadrat A F n y entsteht. Die verlängerte n y ergibt den Punkt D, die verlängerte Diagonale F y den Punkt H, von wo aus eine Wagrechte die Linie M P in C schneidet.
Die Quadrate A F n y oder E M k D, durch welche der Punkt D gegeben ist, lassen sich auch ohne die zweite von D/3 nach s gezogene Linie durch Verlängerung der Diagonale F z und die von A und M nach P gezogenen Linien bilden.
[§ 84.] Die Anwendung des hier beschriebenen Verfahrens kann überhaupt eine mannigfaltige sein. Wäre statt A B die Linie A D als erste Seite gegeben, so würde man mittels einer von D/3 durch D gezogenen Linie auf der nach links verlängerten A E ein Drittel von A D erhalten oder zieht man eine Linie aus D/3 durch y, wo sich A P und die von D nach rechts gehende Wagrechte schneiden, nach o, um A o oder E o als ein Drittel von E D zu bestimmen und somit E M = E D zu erhalten. Hierauf wird A F = E M gemacht und mit der verlängerten Diagonale des Quadrats E M k D, welche von F P in G geschnitten wird, das grössere Quadrat gebildet.
Fig. 86.
[Fig. 86] zeigt dasselbe Verfahren mit etwas veränderter Stellung des inneren Quadrats. Die Distanz ist = 4 mal P A angenommen, also ist B r ein Viertel von B F; B m ist = 4 mal B r, also = B F, folglich ist das verkürzte Dreieck E B F = dem unverkürzten E B f. A H ist = 4 mal A a = A m und = A h, folglich ist A H E = A h E und man sieht deutlich, wie auch die übrigen Linien der zwei wagrechten Quadrate nach Grösse und Winkelstellung durch die Linien der senkrecht sich anschliessenden Quadrate A B c d und E f g h geometrisch wiedergegeben sind.
[§ 85.] Hiemit ist zugleich die genaue Berechnung der perspectivischen Form eines rechten Winkels in schräger Stellung gegeben, auf welche in [§ 33] verwiesen wurde.
Die Ausführung kann, wenn nur die 2 Linien des rechten Winkels verlangt sind, in wesentlich vereinfachter Weise stattfinden. Wenn z. B. in [Fig. 86] von E aus eine zu E F rechtwinklige Linie gezeichnet werden soll, so genügt hiezu eine Linie von D/4 durch F, wonach E A = 4 mal B r, d. h. = B F zu machen ist, eine zweite Linie von A nach P und eine dritte von D/4, nach a, indem A a ein Viertel von E B und somit A H = E B ist. Ist E H gegeben und soll eine rechtwinklig dazu stehende Linie gezeichnet werden, so bilde man das Rechteck H A E y, mache E B = A H (= 4 mal A a), ziehe B P und eine Linie von D/4 nach r. Da B r ein Viertel von A E ist, so ist hiemit F B = A E. Welcher Weg im einzelnen Fall der bequemste, ob der Teildistanzpunkt links oder rechts vom Augpunkt für die Ausführung geeignet ist, wird man bei einiger Übung leicht erkennen.
Bei der Construction senkrecht stehender verkürzter Quadrate handelt es sich nur um die Übertragung eines gegebenen Masses von einer senkrechten auf eine verkürzte wagrechte Linie oder umgekehrt, worüber in [§ 74–78] das Nötige angegeben ist; ebenso ist aus [§ 78] zu ersehen, wie ein verkürztes schräges Quadrat zu zeichnen wäre; doch kommt die leztere Aufgabe seltener vor.