Lehrbuch der Perspective

by Gustav Conz

Parallellinien von gleicher Länge in verschiedener Tiefe.

[§ 63.] Die Berechnung der perspectivischen Länge paralleler Linien, welche geometrisch gleich gross sind, aber in ungleicher Tiefe liegen, geschieht nach dem [§ 1] angeführten Geseze, dass parallele Linien, welche zwischen 2 gleichfalls parallelen Linien liegen, gleich lang sind.

Mehrfache Beispiele sind schon in den vorangegangenen Figuren enthalten, z. B. in [Fig. 20] sind i k und c d, g h und a b perspectivisch gleich lang (stellen Linien dar, welche geometrisch gleich lang sind), weil sie als unverkürzte Wagrechte unter sich parallel sind und die Linien a P und b P, c P und d P, zwischen welchen sie liegen, gleichfalls perspectivisch parallel sind, vergl. die gleich langen Linien a i, b g, k e und f h, oder a e und c d in [Fig. 36], ähnliche Linien in [Fig. 40] und [41] und andere. Soll in [Fig. 62] die Linie r x massgebend sein für die Höhe der übrigen Fenster, so werden durch r und x 2 Linien parallel mit den wagrechten Linien dieser Seite bis zu der senkrechten Ecklinie gezogen und von lezterer aus auf der andern Seite parallel mit a c fortgesezt, wodurch sämtliche zwischen diesen Parallelen liegende senkrechte perspectivisch gleich lang sind.

[§ 64.] In [Fig. 63] sei die Aufgabe gestellt, die Höhe der Figur a b auf die in derselben wagrechten Fläche liegenden Punkte c, e und g zu übertragen oder auf den leztgenannten Punkten Figuren von gleicher Höhe mit a b zu zeichnen. Ziehen wir von a durch c eine Linie nach dem Horizont, und nach dem Punkte x, wo sie denselben trifft, eine zweite von b aus, so sind alle senkrechten Linien, welche zwischen den 2 Parallellinien a x und b x liegen, perspectivisch gleich hoch. Eine Linie von a durch e oder von g durch a nach dem Horizont würde diesen in 2 weit ausserhalb der Zeichenfläche liegenden Punkten treffen. Man benüzt daher 2 von a und b nach einem beliebigen Punkt des Horizonts gezogene Linien, z. B. a x und b x, zieht von e eine unverkürzte Wagrechte nach i und errichtet dort die Senkrechte i k, welche somit in gleicher Tiefe mit e steht und mittels einer unverkürzten Wagrechten von k aus auf die gewünschte Stelle übertragen werden kann. Da eine von g aus nach der verlängerten x a gezogene Wagrechte die leztere nicht mehr innerhalb der Zeichenfläche erreichen würde, so ist ein Punkt y wie oben benüzt, von g eine Wagrechte nach der verlängerten y a, d. h. nach m gezogen, m n = a b gemacht und ist somit auch g h = a b.

Fig. 63.

Liegt der Horizont in gleicher Höhe mit dem oberen Ende einer senkrechten Linie, z. B. in der Scheitelhöhe einer menschlichen Figur, so ist die Höhe aller gleich grossen senkrechten Linien oder anderer Figuren, welche in derselben wagrechten Fläche stehen, durch die Horizontlinie gegeben, vgl. [Fig. 64].

Fig. 64.

[§ 65.] In [Fig. 65] sei A B gegeben und sollen 2 weitere Figuren in f und g, d. h. in 2 Punkten gezeichnet werden, welche in gleicher Höhe und gleicher Tiefe mit den Punkten a und e liegen. Zu diesem Zweck sind die durch a und e gehenden Senkrechten verlängert bis zu der wagrechten Fläche, auf welcher A B steht, also bis o und p, und ist auf die oben beschriebene Weise o c = A B gemacht. Die Höhe o c kann nun mit dem Zirkel nach a d und von hier mittels einer Wagrechten nach f k übertragen werden. e p ist = o c = e b, somit ist auch g h = A B.

Fig. 65.

[§ 66.] In [Fig. 66] ist angenommen, dass A B als Höhe einer in A stehenden Figur gegeben sei und der Punkt C, in welchem eine zweite Figur stehen soll, um 3 Stufen tiefer liege, als die obere Fläche. Man errichte eine Senkrechte in g, mache i g = 3 mal g e, d. h. = a g, und i p = a b, d. h. = A B, ziehe i P und p P, eine Wagrechte von C nach m und errichte eine Senkrechte in m bis p P, so ist m n und folglich auch C D = A B.

Fig. 66.

Wäre die Höhe A B auf eine der beiden andern Stufen oder auf irgend einen Punkt der Fläche, in welcher g liegt, zu übertragen, so würde man bei b d, d f und f h = g e, e c und c a machen, so dass g h, e f und c d je = a b = A B wären und könnte hierauf jede dieser Senkrechten auf einen beliebigen Punkt der Fläche, in welcher ihr unteres Ende liegen soll, wie oben übertragen werden.

[§ 67.] In [Fig. 67] ist die mit a b gleiche Höhe einer in c stehenden Figur berechnet, indem von c abwärts eine mit d f und g h parallele schräge Linie bis i, d. h. bis zu der wagrechten Ebene, in welcher a liegt, gezogen, die Höhe a b nach i k und hierauf mittels der weiteren schrägen Parallellinien k e nach c übertragen wurde. In einem derartigen Falle ist vorauszusezen, dass der Fluchtpunkt oder das Massdreieck einer in der betreffenden schrägen Fläche liegenden schrägen Linie, wie hier g m h, bekannt sei. Ein ähnliches Beispiel zeigt [Fig. 35]: Die Höhe g i ist zuerst mittels g n und i n nach f übertragen, wo die wagrechte Fläche beginnt, in welcher eine zweite Figur stehen soll. Die Höhe der lezteren ergibt sich sodann durch f P und e P.

Fig. 67.

Die perspectivische Grösse von Figuren oder irgend welchen Linien, welche auf unregelmässigem Terrain in verschiedener Tiefe sich wiederholen, kann nicht genau berechnet werden.

[§ 68.] Wie auf dieselbe oder ähnliche Weise wagrechte Parallellinien von gleicher Länge in verschiedener Tiefe zu zeichnen sind, ist in [Fig. 68]–[70] gezeigt.

Es sei die Aufgabe gestellt, 2 Rechtecke von gleicher Grösse und in gleicher Stellung wie A B C D, [Fig. 68], zu zeichnen, so, dass die linke vordere Ecke des einen in E, die des andern in e liegt. Zieht man von E eine unverkürzte Wagrechte nach r, so ist r s = A B und kann mit dem Zirkel von E nach F übertragen werden. Die Richtung der verkürzten Seiten ist durch P gegeben, ihre Länge durch eine Linie von E nach z, dem Fluchtpunkt der Diagonale A C und folglich auch der mit A C parallelen E G. Ebenso kann e f = a b gemacht und die Länge f g durch die Diagonale e g bestimmt werden.

Fig. 68.

Wären die Fluchtpunkte beider Diagonalen des gegebenen Rechtecks A B C D unzugänglich, so könnten A B, E F und e f halbiert werden, um y als Fluchtpunkt von o C wie oben z behufs Berechnung der Länge F G und f g zu benüzen. e h könnte auch = F G gemacht werden mittels einer von F durch e nach dem Horizont und einer zweiten von G nach y gezogenen Linie. Sollte auf diesem Wege die Länge E H = B C bestimmt werden, so müsste, da eine Linie von B durch E den Horizont ausserhalb der Zeichnung trifft, eine näher bei E liegende Linie, z. B. m n = B C gezeichnet werden, um m E y und n H y ziehen zu können.

[§ 69.] In [Fig. 69] ist von a aus ein Rechteck = E F G H gezeichnet, indem von E eine Linie durch a nach dem Horizont gezogen und hierauf die Lage von b, c und d durch die Linien F P, G P, H P und die nach den betreffenden Fluchtpunkten gezogenen a b, b c, a d bestimmt wurde. Wäre statt a der Punkt A als vordere Ecke des zweiten Rechtecks gegeben, welcher in gleicher Tiefe mit E liegt, so könnte man von E, F, G und H unverkürzte Wagrechte nach links ziehen, in welchen auch die Punkte B, C und D liegen müssen und hierauf die Lage der lezteren ohne Hilfe ihrer Fluchtpunkte dadurch näher bestimmen, dass man nach einem beliebigen Punkt des Horizonts, z. B. nach P, Linien von E, F, G, H und A zieht, und hierauf f g = i k, f C = i G, f e = i h macht u. s. w. Ebenso ist m n = x y, n o = y a u. s. w.

Fig. 69.

Wäre A B C D und der Punkt a gegeben, somit der Fluchtpunkt einer von A durch a gezogenen Linie unzugänglich, so könnte auf die zulezt angegebene Weise das erstere Rechteck leicht soweit als nötig zur Seite gerückt werden, wie oben die Linie B C, [Fig. 68] nach m n.

[§ 70.] Aus dem Vorangegangenen ergibt sich ein weiteres in vielen Fällen bequemes Mittel, die Richtung verkürzter Parallellinien, deren Fluchtpunkt unzugänglich ist, zu berechnen. Wenn in [Fig. 70] E die vordere Ecke eines Rechtecks = A B C D sein soll und wie oben eine Wagrechte durch A sowie die Linien A E z, B z, C z und D z gezogen sind, so bilde man mit einer aus einem beliebigen Punkt des Horizonts z. B. aus y durch B gezogenen Linie ein Dreieck a c B und ziehe c z. b d ist nun = a c, eine Linie von d nach y macht b F = a B, somit sind die Dreiecke a c B und b d F oder A a B und E b F einander gleich und ist E F perspectivisch gleich gross und parallel mit A B. Die Lage der Ecke G ist durch C z und die Diagonale E y gegeben, könnte aber gleichfalls dadurch berechnet werden, dass auf die angegebene Weise F h g = B f e gemacht und eine unverkürzte Wagrechte von h nach G gezogen würde. Um K zu erhalten, ist schliesslich D m gezogen, durch m z G n = C m gemacht, und durch eine Wagrechte von n nach D z der Punkt K bestimmt.

Fig. 70.

Da sowohl Richtung als Länge einer schrägen Linie durch die senkrechte und wagrechte Linie ihres Massdreiecks gegeben ist, so gilt das Gesagte auch für verkürzte gleich grosse schräge Parallellinien in verschiedener Tiefe.