Teilung einer verkürzten Linie nach bestimmten Verhältnissen.

[§ 71.] Die einfachste und häufigste Art einer solchen Teilung ist die Halbierung mittels der Diagonalen eines Rechtecks, dessen eine Seite die zu halbierende Linie bildet. Die vorangehenden Figuren, z. B. 38–41, bieten hievon mehrfache Beispiele. Ebenso von der Verdopplung einer Linie: in [Fig. 48] z. B. ist, nachdem E h gegeben, die zweite Hälfte h F = E h gemacht mittels eines Rechtecks E h e c und einer Linie aus c durch die Mitte von e h nach F.

Fig. 71.

Soll in [Fig. 71] die Länge e f auf der Fortsezung dieser Linie wiederholt werden, so bilde man mit e f ein beliebiges Rechteck e f b a, ziehe von a eine Linie durch die Mitte von b f nach g, von b durch die Mitte von c g nach h u. s. w. Auf dieselbe Weise ist in [Fig. 72] die Länge a b nach c u. s. w. übertragen. In [Fig. 71] ergibt sich f n als Hälfte von e f, wenn m (vom Schnittpunkt der Diagonalen a f und e b aus) als Hälfte von a b bestimmt und von da eine Linie durch d gezogen wird.

Fig. 72.

In der Mitte des Rechtecks a b c d [Fig. 73] kann ein Fenster gezeichnet werden, indem die senkrechte Mittellinie e f gezogen, m n o p als nähere Hälfte angenommen und n z durch die Mitte von m p gezogen wird, vgl. die beigefügte geometrische Figur.

Fig. 73.

Soll auf der Linie B P [Fig. 68] von b aus ein Stück = B C abgeschnitten werden, so bilde man ein Rechteck C b a D, ziehe D b und C a und durch i eine Linie von A nach c.

[§ 72.] Die Teilung einer verkürzten Linie in eine grössere Anzahl von Teilen, welche in einem bestimmten geometrischen Verhältnis zu einander stehen, geschieht gewöhnlich zufolge dem Geseze, dass in einem Dreieck Linien, welche parallel mit einer Seite zwischen den beiden andern gezogen werden, auf lezteren Teile von gleichem Verhältnis ergeben.

Fig. 74.

In [Fig. 74] ist z. B. die Linie a b so geteilt, dass a d und e f gleich gross und je die Hälfte von d e und f b sind. Zieht man nun von f, e und d Linien parallel mit b c nach a c, so erhält man auf lezterer Linie Teile von demselben Verhältnis. Ist die Aufgabe gestellt, die Linie D C [Fig. 75] so zu teilen, dass die Fenster je halb so gross als die Zwischenräume sein sollen, so wird durch D eine unverkürzte Wagrechte gezogen, mit dem Zirkel, nachdem D a als erster Teil beliebig angenommen ist, a b = 2 mal D a, b c = D a u. s. w. gemacht und eine Linie von f, dem Endpunkt des letzten Teilabschnitts, durch C nach dem Horizont gezogen, worauf die Linien a p, b p, c p u. s. w. auf D C die gewünschten Verhältnisse ergeben.

Fig. 75.

Statt auf D f könnten die Teile auch auf einer höher gelegenen Linie, z. B. von m aus in der Weise angetragen werden, dass eine Linie von m durch D nach dem Horizont, eine zweite von p durch C nach n gezogen und m n mit dem Zirkel nach den gewünschten Verhältnissen geteilt würde.

Auch in [Fig. 72] könnte auf diese Weise die perspectivische Weite der Zwischenräume berechnet werden, wie auf der Linie a d angedeutet ist.

Dasselbe Verfahren ist in [Fig. 42] angewandt, um die verkürzte schräge Linie b d in eine Anzahl gleicher Teile zu teilen und so die perspectivische Höhe der Stufen zu bemessen, mit dem Unterschied, dass die senkrechte Linie b e hier die Stelle der unverkürzten Wagrechten in [Fig. 75] vertritt.

[§ 73.] Ein anderes Verfahren ist das folgende: Wenn in [Fig. 73] das Rechteck a b c d gegeben ist und die Breite eines in der Mitte davon zu zeichnenden Fensters ⅕ der Linie a d betragen soll, so wird a b in 5 gleiche Teile geteilt und die Diagonale a c oder b d gezogen. Zieht man nun von g und h Linien parallel mit a d und b c, so erhält man da, wo dieselben die Diagonalen schneiden, die Punkte, welche die Breite des Fensters bestimmen, vergl. die geometrische Figur. Auch die perspectivische Breite der Fenster und der Zwischenräume in [Fig. 75] könnte dadurch bestimmt werden, dass A D mit dem Zirkel in 9 gleiche Teile geteilt würde (vorausgesezt, dass das oben angegebene Verhältnis massgebend sein soll). Die Punkte, in welchen die von 1, 3, 4, 6 und 7 aus gezogenen Parallelen die Diagonale D B schneiden, ergeben, wie die Figur zeigt, dasselbe Verhältnis wie die obige Berechnung.