Verkürzte Achtecke.
[§ 93.] Wie [Fig. 97] zeigt, entsteht ein Achteck, wenn dieselben 8 Punkte, welche zur Darstellung des Kreises dienten, durch gerade Linien verbunden werden, nämlich die Halbierungspunkte der Seiten eines Quadrats und die Punkte seiner Diagonalen, welche von einem in demselben beschriebenen Kreis durchschnitten werden. Die perspectivische Form eines verkürzten Achtecks, welches die in [Fig. 97] angenommene Stellung zu den Seiten eines gegebenen Quadrats hat, bedarf also keiner weiteren Erklärung.
Fig. 97.
Etwas Anderes ist es, wenn ein Quadrat oder eine Seite eines Quadrats gegeben ist, in welchem ein Achteck wie a b c d e f g h in A B C D [Fig. 98] gezeichnet werden soll, d. h. so, dass sämtliche 8 Ecken in den 4 Seiten des Quadrats liegen. Die geometrische Construction würde darin bestehen, dass die 4 von i, dem Mittelpunkte des gegebenen Quadrats, nach den Halbierungspunkten der Seiten gehenden Linien über diese hinaus um soviel verlängert würden, dass jede die Länge einer halben Diagonale des Quadrats hätte, also i m, i n, i o und i p je = i A wären. Durch Verbindung der Punkte m, n, o und p entsteht ein zweites dem ersten gleiches Quadrat und die Verbindungslinien der Punkte b und c, d und e, f und g, h und a ergeben das Achteck.
Fig. 98.
Ist nun das verkürzte Quadrat A B C D [Fig. 99] gegeben, so kann eine der unverkürzten Seiten z. B. C D benüzt werden, um mit einer Hälfte derselben ein gleichschenkliges Dreieck C E F zu bilden. Wird hierauf E k = E F gemacht, so ist das äussere Quadrat H G K L leicht zu bilden: eine Linie von P durch k schneidet die verlängerten Diagonalen A C und D B in H und G und 2 unverkürzte Wagrechte von hier aus ergeben die Punkte L und K. Hiermit sind auch die Punkte m, n, o und p und die Seiten des Achtecks gegeben.
Fig. 99.
Oder könnte auch die Länge E F von C nach f und von D nach e getragen werden – denn aus [Fig. 98] ist ersichtlich, dass C f oder D e = C i sind – um hierauf die weiteren Constructionslinien teils parallel mit den Diagonalen, teils parallel mit den Seiten des Quadrats A B C D zu ziehen.
Wäre statt des Quadrats A B C D a b als Seite eines zu zeichnenden Achtecks gegeben, so würde man mit der Hälfte derselben ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck b z y bilden, b B und a A = y b machen und hierauf das Quadrat A B C D construieren, um wie oben zu verfahren; vgl. die geometrische Zeichnung [Fig. 98].[7]
[§ 94.] [Fig. 100] zeigt die Construction eines Achtecks, wenn ein solches anschliessend an die Seiten eines Quadrats in schräger Ansicht gezeichnet werden soll.
Fig. 100.
Angenommen, es sei das Quadrat A B C D gegeben, so ziehe man eine unverkürzte Wagrechte durch A und eine Linie von P durch B nach E. Die perspectivischen Verhältnisse, in welche A B zu teilen ist, können nun auf A E geometrisch angegeben und durch Linien, welche mit E B parallel sind, auf A B übertragen werden (vgl. [Fig. 72] und [75]). Man bildet entsprechend [Fig. 98] mit der Hälfte von A E ein gleichschenkliges Dreieck p E y, macht A o und E s je = p y und zieht von s und o zwei mit E B parallele Linien nach a und b. Zieht man nun von a und von b aus zwei Linien nach r, dem Fluchtpunkte der Diagonale A C, zwei weitere parallel mit A D und B C, so erhält man die Punkte c, d, e und f, durch eine Linie von r durch f den Punkt g und ist schliesslich noch die mit B D und e d parallele Seite a h zu zeichnen.
Der Augpunkt ist übrigens nur zufällig benüzt; es könnte statt desselben ein beliebiger Punkt des Horizonts gewählt werden.
Nehmen wir an, dass a b [Fig. 100] als Seite eines zu zeichnenden Achtecks gegeben sei, so wäre das Verfahren ein ähnliches wie oben: von P (oder einem andern Punkte des Horizonts) wird eine Linie nach der durch a gehenden Wagrechten gezogen, a n in m halbiert, ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck a m t gebildet und n x sowie a z je = m t gemacht. Die von P nach x und durch z gezogenen Linien ergeben die Punkte A und B, es kann nun mit A B das Quadrat A B C D gebildet werden u. s. w.
[§ 95.] Es kann auch der Fall eintreten, dass ein verkürzter Kreis gegeben ist und innerhalb desselben von einem bestimmten Punkte aus ein Achteck gezeichnet werden soll.
Fig. 101.
Es sei z. B. die Aufgabe gestellt, in dem verkürzten Kreise A B C D [Fig. 101] von dem Punkte a aus ein Achteck zu zeichnen. o D ist = D F gemacht, mit der Zirkelweite D F von o aus ein Halbkreis e D f beschrieben und eine Linie von P durch a nach c gezogen; o x wird rechtwinklig zu o b, durch die Mitte von b x der Halbmesser o z und rechtwinklig zu diesem o y gezogen (vgl. [Fig. 97]), worauf die Punkte x y z mittels senkrechter Linien nach E F gebracht und von hier durch die aus m, n und dem Punkte zwischen z und g nach P gezogenen Linien auf den Kreis übertragen werden. Die 4 jenseitigen Punkte sind durch den Mittelpunkt des Kreises, beziehungsweise den Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats, gegeben.