Verschiedene Beispiele. Treppen, Dächer, Dachfenster, Turmhelme.
[§ 49.] Die Anwendung des vorangegangenen ist in Fig. 42–60 an weiteren Beispielen gezeigt. Der Gleichartigkeit des Gegenstands wegen befinden sich unter denselben auch solche, bei denen die im folgenden Abschnitt besprochene Form des verkürzten Quadrats als gegeben betrachtet werden muss.
Für die Construction der Treppe [Fig. 42] nehmen wir die Höhe und Breite der untersten Stufe, also die perspectivische Länge der Linien B b und b c, sowie die Linie A B als gegeben an. Da leztere eine unverkürzte Wagrechte ist, so muss der Augpunkt Fluchtpunkt der Linie b c sein. Wird nun b m = B b gemacht, in c eine Senkrechte errichtet und von m eine Linie nach P gezogen, so ist c n die perspectivische Höhe der zweiten Stufe und es ist durch b n die Richtung der schrägen Linie gegeben, in welcher die vorderen Ecken der folgenden Stufen liegen müssen. Hierauf wird auf der verlängerten B m die Höhe B b mit dem Zirkel so oft wiederholt, als nötig ist, um die gewünschte Zahl von Stufen zu erhalten und werden von den Teilungspunkten Linien nach P gezogen. Die Punkte, in welchen leztere die Linie b d schneiden, sind die vorderen Ecken der Stufen, die hinteren dem Punkte c entsprechenden Ecken ergeben sich durch die von o, p u. s. w. abwärts gezogenen Senkrechten. Auf der andern Seite schneiden sich a P und die von c nach links gezogene Wagrechte in y, eine Wagrechte von n nach links und eine in y errichtete Senkrechte schneiden sich in z u. s. w.
Fig. 42.
Um von F aus die mit a D und b d parallele Linie des Geländers zu zeichnen, ist durch die Diagonalen eines Rechtecks g h d D dessen wagrechte Mittellinie bestimmt, welche von der Linie F d in i geschnitten wird, worauf die von h durch i nach D d gezogene Diagonale den Punkt f und hiemit F f als Parallele von h d ergibt.
[§ 50.] [Fig. 43] zeigt 2 häufige Formen von Dachfenstern. m y und n z sind parallel mit A D zu zeichnen, y z, o p, m n parallel mit A C; die Höhe m o sowie die Länge m y sind beliebig, vorausgesezt, dass o y und p z als nach y und z hin steigende Linien gezeichnet sind.
Fig. 43.
Bei der zweiten Form ist d f parallel mit A D; die Höhe des Giebels kann beispielsweise in i oder in c angenommen werden; e f, i k, c b sind parallel mit A B; die Punkte b oder k liegen sodann da, wo die von c oder i parallel mit A B gezogenen Wagrechten sich mit einer schrägen Linie schneiden, welche von a, der Mitte von d h, parallel mit A D aufsteigt. Durch den Punkt b, in welchem die leztgenannte Linie und die Firstlinie des Hauptdaches sich schneiden, ist c b als grösste Höhe gegeben, welche für die obere Wagrechte des Dachfensters angenommen werden darf, d. h. eine von seiner Giebelspize parallel mit A B gezogene Wagrechte darf die von a parallel mit A D ausgehende Linie nicht jenseits des Punktes b, nicht oberhalb der Firstlinie D b treffen, es wäre denn, dass eine entsprechende Fortsezung auf der andern Dachseite angenommen würde.
[§ 51.] In [Fig. 44] seien a b und b c als zwei Seiten eines quadratischen Turmes gegeben und soll darüber ein Dach gezeichnet werden, dessen Spize über der Mitte des ganzen Turmes, d. h. seiner quadratischen Grundfläche liegt. Zieht man die mit a b und b c parallelen Linien d c und a d, so muss die Spize in einer Senkrechten liegen, welche in dem Schnittpunkte der Diagonalen a c und b d errichtet wird; die Höhe der Spize ist beliebig. Bequemer wird in den meisten Fällen die Mitte des Ganzen auf die [§ 39] angegebene Weise gefunden: man zieht an beliebiger Stelle die mit a b und b c parallelen Linien e f und f g (oder benüzt statt derselben die Horizontlinie), um mittels der Diagonalen c e und a g den gewünschten Punkt zu erhalten, in welchem jene Senkrechte zu errichten ist.
Fig. 44.
Fig. 45.
Häufig kann man sich auch damit begnügen, die 2 äusseren Senkrechten z. B. in [Fig. 44] e a und g c, nach oben zu verlängern und die Spize in die Mitte zwischen beide zu verlegen. Das Resultat stimmt zwar nicht immer vollständig mit dem der genauen Berechnung überein, doch ist die Abweichung eine so geringe, dass die richtige Wirkung nicht dadurch beeinträchtigt wird; vgl. [Fig. 45].
[§ 52.] In [Fig. 45] sind zuerst von a, b und c aus 3 Linien nach einem tiefer liegenden Punkte o der senkrechten Mittellinie gezogen, hierauf an beliebiger Stelle die mit a b und b c parallelen Linien k m und m n und von den Punkten k, m und n 3 Linien nach der höher liegenden Spize p.
Die Construction von [Fig. 46] ist hienach leicht zu verstehen. In [Fig. 47] sind von a, b und c aus zuerst 3 Linien nach dem höher in der Mittellinie liegenden Punkt p, hierauf die mit a b und b c parallelen d e und e f, und nach dem tiefer liegenden Punkt o die Linien d o, e o und f o gezogen.
Fig. 46.
Fig. 47.
[§ 53.] Bei der in [Fig. 48 und 49] dargestellten Dachform liegen die Punkte E und F senkrecht über den Punkten m und n, welche ihrerseits in der Mittellinie a b des Rechtecks A B C D liegen. m a ist in Wirklichkeit = n b; denken wir uns die senkrecht über A B und C D stehenden Giebelwände A B d und D C f hinzugezeichnet, so wäre auch E d = F f. Gewöhnlich haben die beiden schrägen Dreiecke (A B E und D C F) denselben Neigungswinkel wie die anstossenden Breitseiten des Daches. In diesem Fall müssen die senkrecht unter E und F liegenden Punkte m und n Mittelpunkte zweier Quadrate sein, deren Seiten = A B sind, so dass m a = A a wäre. Doch ist die Form auch dann eine richtige, wenn angenommen wird, dass der Neigungswinkel jener Flächen (A B E und A E F D) ein verschiedener sei. Die Hauptsache ist, dass E und F von d und f oder m und n von a und b gleich weit entfernt sind, mit andern Worten, dass die beiden Dreiecke A B E und C D F die gleiche Neigung haben. Zu diesem Zweck bestimme man in [Fig. 48], angenommen, dass A B E und A D gegeben seien, die perspectivische Mitte der Firstlinie in h (mittels A C und B D oder B z und D y) bilde das Rechteck E h e c und ziehe c F durch die Mitte von h e, so ist F h perspectivisch = E h. Oder man verbinde ([Fig. 49]) den Halbierungspunkt r der Linie A D mit h, der wie oben gefundenen Mitte der Firstlinie, ziehe die Diagonale E D und durch den Punkt, in welchem E D und r h sich schneiden, eine Linie von A nach F.
Fig. 48.
Fig. 49.
Oder auch man bestimme, nachdem A B E und A D ([Fig. 49]) gegeben sind, die perspectivische Mitte von A B und C D, also die Punkte a und b, ziehe von a durch E eine Linie nach der senkrechten Mittellinie des Ganzen (errichtet im Schnittpunkte der Diagonalen B z und D y) und von o eine Linie nach b, welche die Firstlinie in F schneidet.
[§ 54.] Um das Dach [Fig. 50] zu construieren, wird zuerst die einfache Dachform C A a g h und an beliebiger Stelle die Wagrechte e f parallel mit A a, sowie e c parallel mit A C gezeichnet. Die perspectivische Mitte von A C ist m, eine Linie von hier durch den Schnittpunkt i ergibt den Punkt n als Mitte der Firstlinie. Die Lage des einen der beiden Punkte D oder d wird beliebig angenommen, die des zweiten durch die Diagonalen D c und e d, wie in [Fig. 49], [§ 53], gefunden.
Fig. 50.
Häufig wird es auch genügen, bei Darstellung von Dachformen wie [Fig. 48]–[50] zuerst die gewöhnliche Dachform mit senkrechten Giebelwänden oder die perspectivische Mitte der Firstlinie anzugeben und nach dem Ermessen des Auges den ferneren der beiden geometrisch gleich grossen Teile kleiner zu zeichnen, als den näheren, also z. B. in [Fig. 50] dafür zu sorgen, dass n d kleiner sei als D n, d h kleiner als g D.
[§ 55.] Wenn in einem Dach von der [Fig. 48]–[50] dargestellten Form Dachfenster wie in [Fig. 43] gezeichnet werden sollen, so muss die schräge Mittellinie der betreffenden Seite gesucht werden. In [Fig. 51] z. B. muss die Linie e d perspectivisch parallel sein mit c D; wäre das Dachfenster nicht in der Mitte von A B D, so müsste eine mit c D parallele Linie entsprechend der Linie a b in [Fig. 43] gezeichnet und sodann wie dort weiter verfahren werden.
Fig. 51.
Auf der anstossenden Seite A C E D müssen a b, f g u. s. w. parallel sein mit der Mittellinie m n. In [Fig. 53] wäre f c am unteren, c z am oberen Teil massgebend für die schrägen Linien eines Dachfensters.
[§ 56.] [Fig. 52], ein Staffelgiebel, ist so construiert, dass zuerst die einfache Dachform a b c g e und die parallel mit a c von f und d ausgehenden Linien gezeichnet wurden (d g kleiner als f c). Um die Höhe der einzelnen Absäze zu bestimmen, ist in k eine über a hinausreichende Senkrechte k z errichtet und in die erforderliche Anzahl von gleichen Teilen geteilt. Durch die Teilungspunkte sind die Linien m n, o p u. s. w. und nach dem Fluchtpunkt der andern Seite m i, o h u. s. w. gezogen. Das Weitere ist aus den Constructionslinien der [Fig. 52] leicht zu ersehen.
Fig. 52.
[§ 57.] Die Form eines Mansardendaches [Fig. 53] ist stets eine solche, dass die 4 Seiten des unteren und ihrerseits diejenigen des oberen Teiles denselben Neigungswinkel haben. Es muss daher, wenn A B und A C gegeben sind, von A C ein Teil A f abgeschnitten werden, welcher perspectivisch = A B ist, so dass die senkrechte Linie, in welcher die Punkte k und d liegen müssen, über der Mitte eines Quadrats (A B p f) oder über dem Schnittpunkt der Diagonalen B m und f n errichtet werden kann. Nachdem nun A a, a b, B b, a d und b d gezeichnet sind (vergl. [§ 52], [Fig. 47]), so werden die von a, d und k parallel mit A C ausgehenden Linien gezogen; i ergibt sich auf die [§ 53], [Fig. 48] gezeigte Weise (nachdem z als Mitte der Firstlinie bestimmt ist), e durch eine von i abwärts gezogene Senkrechte, g durch eine Linie von i nach C.
Fig. 53.
[§ 58.] Der Turmhelm [Fig. 54] und [55] ist eine an Bauten des romanischen Stils häufige Form: die 4 Seiten des quadratischen Turms schliessen oben mit 4 Giebeln ab, von deren Spizen 4 Linien nach der Turmspize gehen und so mit den Giebellinien 4 rautenförmige Flächen bilden. Zunächst müssen die Giebelspizen in gleicher Höhe liegen; angenommen, dass in [Fig. 54] a b d und a c gegeben seien, so können die senkrechten Ecklinien von a und b nach oben verlängert werden, bis sie eine parallel mit a b durch d gezogene Wagrechte treffen; eine Wagrechte von g aus parallel mit a c und eine Senkrechte über der perspectivischen Mitte von a c ergeben sodann den Punkt f, eine gleichfalls mit a c parallele Linie von h und eine mit a b parallele Linie von f aus den Punkt e (vergl. [Fig. 56]).
Fig. 54.
Fig. 55.
In [Fig. 55] ist die Stellung des Turmes eine solche, dass nur eine der oberen 4 Flächen und keine der Umrisslinien des dritten Giebelfeldes zu sehen ist. Die Höhe des zweiten Giebels ist hier dadurch gefunden, dass, nachdem a c f und die Linie a b gezeichnet waren, von f eine mit a b parallele Wagrechte bis zur senkrechten Mittellinie des ganzen Turmes, d. h. bis o und von hier eine mit a c parallele Linie bis zu der in der Mitte von a b errichteten Senkrechten gezogen wurde, wodurch d als Spize des rechtseitigen Giebels gegeben ist.
Fig. 56.
So könnte auch in [Fig. 54] statt der oben angewendeten Construction von d eine mit a c parallele Wagrechte nach der senkrechten Mittellinie, durch den so gewonnenen Punkt o eine mit a b parallele Linie und hierauf b e perspectivisch parallel mit a f gezogen werden (vergl. [Fig. 56]).
Ferner muss, damit a i eine gerade Linie, a d i f eine Fläche sei, a d und a f = d i und f i sein; a d f und i d f sind in Wirklichkeit 2 einander gleiche Dreiecke, o i muss daher = k o sein. Oder kann zu demselben Zweck die senkrechte Mittellinie eines Giebelfeldes z. B. m f benüzt werden: f p wird = m f gemacht und eine mit a b parallele Linie von p nach der senkrechten Mittellinie des ganzen Turmes gezogen.
[§ 59.] Soll ein viereckiges Türmchen an beliebiger Stelle auf ein Giebeldach gesezt werden, wie in [Fig. 57], so geht die Construction am besten von der mit a b parallelen Linie c d aus, deren Länge nach Gutdünken bestimmt wird. Man errichtet über c und d 2 Senkrechte, bildet mit denselben ein Rechteck m n o p und zieht aus n durch den Halbierungspunkt von m o eine Linie, welche in f die verlängerte o p trifft und damit die Breite der ganzen Seite angibt. Für die perspectivische Breite der anstossenden Seite p g e c sind, wenn sie genau berechnet werden soll, die im folgenden Abschnitt enthaltenen Regeln über die Construction des Quadrats massgebend.
Fig. 57.
In [Fig. 58] ist ein ähnliches Türmchen auf die Mitte eines Giebeldaches gesezt. Ist wie hier die Grundfläche ein Quadrat, d. h. a b = b c, so ist wie bei [Fig. 46] zu verfahren, nachdem von i, der Mitte der Firstlinie, die Linien i a, i b und i c gezogen sind. Ist a b länger als b c oder umgekehrt, so schneide man von der Mitte der Firstlinie aus 2 perspectivisch gleich grosse Teile i d und i e entsprechend der gewünschten Grösse des oberen Türmchens ab, ziehe von d und e 2 schräge Linien parallel mit den Seitenlinien des Dachs abwärts und verfahre wie bei [Fig. 57].
Fig. 58.
In [Fig. 59] ist zuerst der Turmaufsaz über a b g h wie oben mittels der Linien d a, d b und d c construiert (vergl. [Fig. 55], 56 und 57), die Punkte f und e ergeben sich sodann durch die senkrechten Mittellinien der beiden Seiten des Turmaufsazes.
Fig. 59.
[§ 60.] [Fig. 60] ist zuerst geradlinig wie [Fig. 47] construiert, wodurch die für die perspectivische Schweifung der Ecklinien wichtigen Punkte n, m und k gewonnen werden.
Fig. 60.
In [Fig. 61] ist zuerst a b c d gezeichnet, sodann (vergl. [Fig. 45]) die Lage der Punkte k m n bestimmt, von welchen die geschweiften Linien ausgehen, ferner die Lage der 3 Punkte, an welchen sie ihre stärkste Ausladung haben. Diese Punkte liegen ebenso wie k m n in 2 mit a b und b c parallelen Linien und ergeben sich, je nachdem die Ausladung eine stärkere oder schwächere ist, durch Verlängerung der senkrechten Ecklinien, wie x y z oder dadurch, dass von andern in gleicher Höhe liegenden Punkten der Linien a d, b d, c d, oder ihrer Verlängerung, z. B. von e, f und g, 3 Senkrechte und zwischen diesen in entsprechender Höhe 2 mit a b und b c parallele Wagrechte wie o h und o i gezogen werden.
Fig. 61.
[§ 61.] In [Fig. 62] ist schliesslich gezeigt, wie auf Grund der bisher angewandten Constructionslinien vorspringende Dächer zu zeichnen sind.
Fig. 62.
Nachdem A als vordere Ecke des Daches angenommen wurde, sind die mit a b, b c, a c und a t[6] parallelen Linien A B, B C, A C und A D gezeichnet. C d und e f sind parallel mit A D, m n und o p mit A C. z y ist geometrisch = B b, aber entfernter, muss also entsprechend kleiner sein als B b. Selbstverständlich wird die Mitte der Giebelseiten bezeichnet durch die von b und h abwärts gezogenen Senkrechten und dürfen hiezu nicht die Punkte B und g benüzt werden.