§ 12. Unzugängliche Distanz- und Fluchtpunkte.

33. Unzugänglicher Distanzpunkt. Den Augpunkt einer Darstellung werden wir naturgemäß in der Mittellinie des Bildausschnittes annehmen, da man bei Betrachtung eines Bildes doch ganz von selbst vor die Mitte tritt. Dann folgt aber aus unseren Erörterungen und aus den Figuren [55] bis [59] ohne weiteres, daß die Distanzpunkte nicht mehr in dem Bildausschnitt liegen, sondern weit darüber hinaus fallen. Verwendet man also nicht eine viel größere Zeichenfläche, z. B. ein sehr großes Reißbrett, so sind die Distanzpunkte nicht mehr zu erreichen. Das gleiche gilt für Fluchtpunkte horizontaler Geraden, die, wie z. B. schon die [Fig. 48] erkennen läßt, häufig weit auf dem Horizont hinausfallen, wenn die Figur nicht absichtlich darnach eingerichtet wird. Es fragt sich nun, wie man die Konstruktionen, die sich auf solche über die Zeichenfläche hinausfallende Punkte beziehen, trotzdem erledigen kann. Das ist die wichtigste Aufgabe der praktischen Perspektive.

Fig. 62.

Wir wollen zunächst sehen, wie man die [Aufgabe 5], also die Konstruktion eines Tiefenmaßstabes, durchführen kann, wenn die Distanzpunkte nicht mehr erreichbar sind. War auf einer gegebenen Tiefenlinie T von ihrer Spur t aus eine Strecke anzutragen, so machten wir auf der Grundlinie ts = dieser Strecke ([Fig. 62]) und verbanden den Punkt s mit einem Distanzpunkt D₁; die Verbindungslinie schnitt aus T' den gesuchten Punkt p' aus (vgl. die frühere [Fig. 21 b]). Halbieren wir nun aber die Strecke AD₁ und bezeichnen die Mitte mit ^D₁/₂. Verbinden wir weiter diesen Punkt ^D₁/₂ mit p', so möge diese Linie die Grundlinie im Punkte q treffen. Dann gilt die Proportion:

tq : qs = A ^D₁/₂ : D ^D₁/₂ = 1 : 1.

Es ist mithin auch q die Mitte von ts und

tq = qs = ^ts/₂.

Fig. 63.

Wir können zum Punkte p' also auch gelangen, wenn wir die halbe Strecke tq auf der Grundlinie antragen, den Endpunkt q mit dem Punkte ^D₁/₂ verbinden und diese Linie mit T' zum Schnitt bringen. Soll demnach z. B. auf der Tiefenlinie T' ein Maßstab gezeichnet werden, dessen Einheit gegeben ist, und kann man ^D₁/₂ noch erreichen ([Fig. 63]), so tragen wir die halbe Einheit auf der Grundlinie wiederholt ab und projizieren diese Punkte aus ^D₁/₂ auf T'. Dann erhält man den verlangten Tiefenmaßstab.

Fig. 64 a.

Fig. 64 b.

Rückt die Teilung auf der Grundlinie zu weit hinaus, so kann man z. B. durch 2' eine Parallele l zur Grundlinie ziehen und die auf dieser Parallelen ausgeschnittene kleinere Strecke 2'3'' auf l wiederholt antragen und aus ^D₁/₂ projizieren.

Der Punkt ^D₁/₂ heißt ein »Teil-Distanzpunkt«. Selbstverständlich könnte man die ganze Strecke AD₁ auch in drei gleiche Teile teilen und den ersten Teilpunkt von A aus mit ^D₁/₃ bezeichnen. Dann hätte man statt der ganzen Strecke bloß den dritten Teil auf der Grundlinie anzutragen. Mit ^D₁/₃ verbunden liefern diese Punkte auch wieder den Tiefenmaßstab usf.

34. Unzugängliche Fluchtpunkte. Erstes Verfahren. Die Ermittlung des Fluchtpunktes einer beliebigen, horizontalen Geraden beruhte wesentlich auf den Überlegungen von (16), die zu der in der [Fig. 24] gegebenen Konstruktion führten. Ist nun in dieser Figur der Fluchtpunkt f_a nicht zugänglich, so kann man diese Schwierigkeit in folgender Weise umgehen: wir verkleinern die ganze Figur, indem wir sie sich gegen den Punkt A zusammenziehen lassen.

Der aus der Geometrie hierbei anzuwendende Satz ist in den [Fig. 64 a] und 64 b noch eigens veranschaulicht. Es ist hier zu dem Vieleck abcde in folgender Weise ein neues konstruiert worden. Ein Punkt o wird beliebig gewählt und mit allen Ecken a, b, c … verbunden. Auf diesen Verbindungslinien werden die Punkte a', b', c' … dadurch bestimmt, daß man alle Strecken oa, ob, oc … im gleichen Verhältnis teilt, also beispielsweise immer

a'o = ⅔ ao, b'o = ⅔ bo, c'o = ⅔ co …

macht. Das neue Vieleck a', b', c' … hat dann folgende Eigenschaften:

a) Entsprechende Seiten der beiden Vielecke sind stets parallel, d.h. es ist

ab ∥ a'b', bc ∥ b'c', cd ∥ c'd' usf.

b) Alle Verhältnisse der Seiten sind die gleichen, d. h. es ist

ab : bc = a'b' : b'c' usf.

Fig. 65.

Wenn also z. B. die Seite ab doppelt so groß ist wie bc, so ist auch a'b' doppelt so groß wie b'c'. Die Figuren abcde und a'b'c'd'e' nennt man ähnlich und ähnlich liegend und o den Ähnlichkeitspunkt.

Im vorliegenden Falle benutzen wir A als Ähnlichkeitspunkt. Zunächst ist in [Fig. 65] die frühere Konstruktion wiederholt. Auf der Linie von A nach D₃ wählen wir nun einen Punkt ^D₃/₃ so, daß

A ^D₃/₃ = ⅓ AD₃

und verkleinern die ganze Figur auf ein Drittel.

Fig. 66.

Wir verbinden also a mit A, teilen diese Linie in drei gleiche Teile und bezeichnen den ersten Teilpunkt von A aus mit ^a/₃, so daß

A ^a/₃ = ⅓ Aa.

Ziehen wir dann durch den Punkt ^D₃/₃ eine Parallele zu f_aD₃, so schneidet diese auf dem Horizont einen Punkt ^f_a/₃ aus, der die Eigenschaft hat, daß auch

A ^f_a/₃ = ⅓ ⋅ Af_a

und es ist weiter dann auch

af_a ∥ ^a/₃ ^f_a/₃.

Hat man die verkleinerte, punktierte Figur gezeichnet, so kann man A' finden, wenn ein Punkt, etwa die Spur a, bekannt ist, indem man durch a eine Parallele zu ^a/₃ ^f_a/₃ zieht.

Dies ist in der [Figur 66] ausgeführt. Vermittels des Punktes ^D₃/₃ wurde zunächst ^f_a/₃ ermittelt, in dem man zur Verschiebung (A) der Geraden eine Parallele zog; verschafft man sich weiter die Spur a der Geraden und dazu den Hilfspunkt ^a/₃ auf der Verbindungslinie aA, so ist das Bild A' parallel zur Linie ^a/₃ ^f_a/₃, kann also als eine Parallele durch a zu dieser Linie gezeichnet werden.

Wie stark wir die Figur verjüngen wollen, steht natürlich in unserem Belieben; statt auf ⅓ zu verkleinern, können wir auch die Verjüngung auf ¼ wählen oder bloß auf ½. Nur darf die neue Figur nicht zu klein werden. Wir geben eine praktische Anwendung in der folgenden

Aufgabe 18. Eine Zimmerecke samt dem quadratisch getäfelten Fußboden darzustellen, wenn der Teil-Distanzpunkt ^D₁/₄ noch zugänglich ist.

Auf der Senkrechten, die im Augpunkt A zum Horizont gezogen werden kann, nehmen wir den Punkt ^D₃/₄ an ([Fig. 67]); außerdem soll gegeben sein die Eckkante p'q', also die Höhe des Zimmers und die eine Bodenkante A' durch p'.

Zunächst haben wir eine Linie B der Grundebene zu zeichnen, welche im Punkte p auf A senkrecht steht, vgl. [Aufgabe 9]. Da ^D₃/₄ gegeben und noch zugänglich, verjüngen wir die ganze Figur auf ¼. Dementsprechend verbinden wir den Punkt p' mit A, teilen diese Strecke in 4 gleiche Teile und bezeichnen den ersten an A gelegenen Teilpunkt mit ^p'/₄. Durch diesen Punkt ^p'/₄ ziehen wir eine Parallele zur gegebenen Geraden A', welche in ^f_a/₄ den Horizont treffen möge. Es ist also

^p'/₄ ^f_a/₄ ∥ A'.

Nun können wir den Punkt ^f_a/₄ mit ^D₃/₄ verbinden und im Punkte ^D₃/₄ eine Senkrechte zu dieser Linie zeichnen, welche aus dem Horizont den Punkt ^f_b/₄ ausschneidet. Verbinden wir ^p'/₄ mit diesem Teilfluchtpunkt ^f_b/₄, so gibt diese Linie die Richtung von B'; es ist also:

B' ∥ ^p'/₄ ^f_b/₄,

womit die zweite Bodenkante konstruiert ist. Die an der Decke laufenden Kanten finden wir, wenn wir zum Punkte q' den Hilfspunkt ^q'/₄ zeichnen. Eine Vertikale durch ^p'/₄ liefert ihn sofort auf der Verbindungslinie Aq'. Dadurch sind die Verbindungslinien ^q'/₄ ^f_a/₄ und ^q'/₄ ^f_b/₄ bestimmt und zu ihnen laufen die Deckenkanten durch q' beziehungsweise parallel.

Fig. 67.

Man beachte auch, wie sich ein solcher gegen den Beschauer vorspringender rechter Winkel im Bilde darstellt: seine beiden Schenkel laufen von den betreffenden Fluchtpunkten weg. Dagegen kommen bei der Darstellung einer Gebäudeecke, wie in Fig. [53] oder [72], wo der rechte Winkel von außen betrachtet wird, die Teile der Schenkel zur Verwendung, welche die Fluchtpunkte tragen.

Fig. 67 a.

Nun sei weiter die Seite p'1' eines Quadrates des Fußbodens gegeben. Um diese Teilung auf der Geraden A' fortzusetzen, verfahren wir wie folgt: wir denken uns durch die Punkte 1, 2, 3 … der Kante A in irgendeiner Richtung parallele Gerade gelegt und bringen diese in I, II, III … zum Schnitt mit einer parallelen zur Grundlinie, wie die Nebenfigur 67 a dies andeutet. Dann sind auch die Abschnitte pI, I II, II III usf. gleich groß und umgekehrt werden gleich große Abschnitte p 1, 1 2, 2 3 … auf A erzeugt, wenn man durch gleich große Strecken pI, I II, II III … die Parallelen legt. Im Bilde gehen diese Parallelen dann in Linien über, welche durch einen Punkt des Horizonts laufen.

Dementsprechend ziehen wir durch p' eine Parallele zur Grundlinie und wählen als Punkt des Horizontes etwa A. Die Verbindungslinie von 1' nach A schneidet auf der Parallelen den Punkt I aus und wir machen p'I = I II = II III … Dann liefern die Punkte II, III aus A projiziert die Bilder 2', 3' … 6'.

Um die durch diese Punkte gehenden Fußbodenlinien zu finden, verschaffen wir uns die zugehörigen Hilfspunkte. Verbinden wir z. B. 6' mit A, so erhalten wir auf der Linie ^p'/₄ ^f_a/₄ den entsprechenden Hilfspunkt ^6'/₄. Die durch 6' gehende Linie des Fußbodenmusters ist dann aber parallel zur Verbindungslinie des Punktes ^6'/₄ mit dem Punkte ^f_b/₄.

Die zweite Schar von Parallelen des Fußbodens wollen wir unter Benutzung des Diagonalpunktes (vgl. [S. 57]) zeichnen. Halbieren wir den Winkel bei ^D₃/₄, so schneidet diese Linie auf dem Horizont den Teil-Diagonalpunkt ^D_g/₄ aus. Daraus erhalten wir demnach den Diagonalpunkt D_g selbst, wenn wir

AD_g = 4 ⋅ A ^D_g/₄

machen, also die Strecke A ^D_g/₄ noch dreimal von ^D_g/₄ aus nach links antragen. Durch D_g laufen dann aber alle Diagonalen der einen Art in den Quadraten des Fußbodens, so daß dieser leicht gezeichnet werden kann. Gleichzeitig ergeben sich viele Kontrollen.

35. Unzugängliche Fluchtpunkte. Zweites Verfahren. Wir wollen für die [Aufgabe 9] noch eine Lösung geben, die auch wieder auf dem Gedanken beruht, an Stelle der ursprünglichen Figur eine verkleinerte, ähnliche zu benutzen.

Fig. 68.

Ist F_a der Fluchtpunkt der gegebenen Geraden A', auf welcher im Punkt p' eine Senkrechte B' errichtet werden soll, so konstruieren wir z. B. den Punkt D₄ ([Fig. 68]) und tragen im Punkte D₄ einen rechten Winkel von F_aD₄ aus an; dann schnitt der zweite Schenkel dieses rechten Winkels den Fluchtpunkt F_b aus, so daß die gesuchte Gerade B' den Punkt p' mit F_b verband.

Fällt nun aber F_a nicht mehr auf das Zeichenblatt, so führen wir einen neuen Horizont hh ein, der parallel zu hh so gewählt sei, daß sich mit A' ein erreichbarer Schnittpunkt f_a ergibt. Die ganze Figur lassen wir sich jetzt um den Punkt p' zusammenziehen, so daß hh in hh übergeht. Wir konstruieren also eine kleinere ähnliche Figur mit p' als Ähnlichkeitspunkt. Die Punkte dieser neuen Figur bezeichnen wir mit den entsprechenden kleinen Buchstaben. Zunächst liefern D₁, A und F_b aus p' auf hh projiziert die Punkte d₁, a und f_b.

Ferner sind in ähnlichen und ähnlich liegenden Figuren entsprechende Gerade stets parallel ([S. 78]). Ziehen wir also durch a eine Parallele zur Linie AD₄, so schneidet diese auf der Verbindungsgeraden p'D₄ den entsprechenden Punkt d₄ aus und es ist dann

f_ad₄ ∥ F_aD₄

und

f_bd₄ ∥ F_bD₄.

Nun ist in der großen Figur AD₁ = AD₄, also ist auch in der verkleinerten Figur ad₁ = ad₄. Wir wollen jetzt annehmen, daß auch der Punkt D₁ nicht mehr auf das Zeichenblatt fällt, wohl aber der Teil-Distanzpunkt ^D₁/₂. Konstruieren wir auch zu ihm den entsprechenden Punkt ^d₁/₂, so ist

d₁ ^d₁/₂ = a ^d₁/₂

und weiter

ad₄ = 2 ⋅ a ^d₁/₂.

Daraus ergibt sich folgende Konstruktion ([Fig. 69]).

Fig. 69.

Wir zeichnen den neuen Horizont hh, welcher die gegebene Gerade A' in f_a und die Verbindungslinie von p' nach A in a trifft. Dann errichten wir zu a eine Senkrechte in hh und machen diese doppelt so groß als die Strecke a ^d₁/₂. Ist d₄ der zweite Endpunkt dieser Senkrechten, so ist also

ad₄ = 2 a ^d₁/₂.

An die Verbindungslinie f_ad₄ tragen wir einen rechten Winkel an, dessen zweiter Schenkel den Horizont hh in f_b schneidet. Das Bild B' der gesuchten Senkrechten verbindet nun den Punkt p' mit f_b.

Man kann diese Figur auch benutzen, um z. B. den Diagonalpunkt zu ermitteln, wenn man sich den rechten Winkel zu einem Quadrat ergänzt denkt. Wir dürfen ja nur den Winkel f_ad₄f_b halbieren, so liefert uns die Halbierungslinie auf hh den Hilfspunkt d_g und wenn wir diesen mit p' verbinden, so schneidet diese Linie auf dem Horizont den Diagonalpunkt D_g selbst aus. Der Beweis ergibt sich leicht aus der [Figur 68], denn es ist

d₄4d_g ∥ D₄D_g

und da D₄D_g den Winkel F_aD₄F_b halbiert, so muß die Parallele den Winkel f_ad₄f_b halbieren.

36. Unzugängliche Fluchtpunkte. Drittes Verfahren. Das Wesentliche an den eben durchgeführten Betrachtungen bestand darin, daß wir gelernt haben, das Bild eines rechten Winkels zu zeichnen auch dann, wenn die beiden Fluchtpunkte seiner Schenkel unzugänglich waren. Ist nun das Bild eines solchen Winkels gegeben, so kommt es häufig vor, daß man weitere Linien nach den unzugänglichen Fluchtpunkten zu ziehen hat. Wir behandeln dementsprechend die

Aufgabe 19. Ein Punkt ist gegeben als der nicht zugängliche Schnittpunkt zweier Geraden G' und hh ([Fig. 71]); man zeichne die Linie, welche diesen unzugänglichen Punkt mit einem weiter gegebenen Punkte p' verbindet.

Fig. 70.

Die Lösung gelingt leicht, wenn wir uns an einen bekannten Satz der Geometrie erinnern. Schneidet man drei durch einen Punkt s gehende Gerade A, B, C mit irgend zwei parallelen Geraden, so werden die beiden Parallelen in gleichem Verhältnis geteilt, d. h. es ist [Fig. 70]

ab : bc = de : ef.

Teilt man umgekehrt die zwei Parallelen im gleichen Verhältnis, so daß also diese Gleichung erfüllt ist, so geht die Verbindungslinie be durch den Schnittpunkt s der beiden Geraden hindurch.

Fig. 71.

Man kann diese beiden Sätze auch in folgender Weise ausdrücken:

Teilt man die Strecke de beispielsweise in vier gleiche Teile und verbindet die Teilpunkte 2, 3, 4 mit s, so wird auch die Strecke ab in vier gleiche Teile geteilt. Setzt man beide Teilungen auf den Parallelen fort, so gehen die Verbindungslinien gleich numerierter Punkte immer durch s. Daraus ergibt sich für die obige Aufgabe folgende Lösung ([Fig. 71]). Wir ziehen durch den gegebenen Punkt p' irgendeine Linie df und zu ihr in nicht zu geringer Entfernung eine Parallele, welche in a und c die zwei Geraden trifft. Durch p' werde eine Parallele zu hh gelegt, welche die Verbindungslinie cd in g schneidet. Durch diesen Punkt g ziehen wir eine Parallele zu G' und erhalten auf ac den Punkt b. Dann geht die Verbindungslinie p'b durch den unzugänglichen Schnitt von G' und hh hindurch, ist also die verlangte.

Denn wir entnehmen unmittelbar aus der Figur:

ab : bc = dg : gc

und

dg : gc = dp' : p'f

folglich auch

ab : bc= dp' : p'f.

Fig. 72.

Ist eine größere Zahl von Linien nach einem unzugänglichen Punkte zu zeichnen, so wäre das eben beschriebene Verfahren zu umständlich. Man wird dann den zweiten oben angeführten Satz benutzen, um solche Linien zu erhalten. Das folgende Beispiel mag dies erläutern.

Aufgabe 20. Gegeben ist das Bild eines rechten Winkels bei p' (vordere Ecke eines Gebäudes); man zeichne Parallelen zu den Schenkeln dieses Winkels.

Wir verlängern die durch p' gehende Vertikale, die Vorderkante des Gebäudes, bis sie in p₀ den Horizont trifft ([Fig. 72]), ferner wählen wir rechts und links am Rande die Punkte q' und r' auf den Schenkeln des rechten Winkels und ziehen durch sie die Senkrechten r'r₀ und q'q₀ bis zum Horizont. Teilen wir die drei Strecken p'p₀, q'q₀, r'r₀ in eine gleiche Anzahl von Teilen, z. B. jede in vier Teile, so gehen die Verbindungslinien gleich numerierter Punkte bzw. durch die Fluchtpunkte des rechten Winkels. Setzt man die Teilungen auf den Geraden p'p₀, q'q₀, r'r₀ über den Horizont hinaus fort, so gehen auch die Verbindungslinien 6.6, 7.7 usf. wieder durch die unzugänglichen Fluchtpunkte. Die Linien 7.7 mögen das Gebäude unten abschließen.

Man erhält aber weiter auch Linien durch die Fluchtpunkte, wenn man entsprechende Abschnitte wiederum in gleichviel Teile teilt, also beispielsweise von den Strecken 1.2 je das an den Punkten 2 gelegene Drittel nimmt. (Siehe Figur.) Hat man dann durch einen vorgegebenen Punkt eine Linie nach einem der zugänglichen Fluchtpunkte zu zeichnen, so kann man das nach dem Augenmaß ausführen, indem man das Lineal so anlegt, daß es gleichnumerierte Strecken im gleichen Verhältnis teilt. Die genaue Lösung dieser Aufgabe haben wir ja in der [Aufgabe 19] gegeben.

Auf der linken Seite der Figur sind noch zwei Fensterreihen eingezeichnet. Das erste an der Vorderkante p'p₀ gelegene Fenster wurde willkürlich angenommen; die anderen Fenster sollen ebensogroß sein und voneinander ebensoweit abstehen als das erste Fenster von der Kante p'p₀ entfernt ist. Wir bringen die vertikalen Kanten der Fenster mit der Linie 7.7 zum Schnitt und verfahren nun ebenso wie in 34. ([Fig. 67 a].) Als beliebiger Punkt auf dem Horizont wurde 5 gewählt. Dadurch erhalten wir auf der durch 7 gezogenen Parallele zum Horizont zwei Strecken, die abwechselnd angetragen die Fenster liefern. Auf der rechten Seite des Gebäudes ist ebenso eine Tür und ein Fenster konstruiert.

Endlich mag noch erwähnt werden, daß es auch eigene Apparate, sogenannte »Fluchtpunkt-Lineale«, gibt, um Gerade nach unzugänglichen Punkte damit zu zeichnen.