§ 6. Darstellung eines möglichst einfach gelegenen Quadrates der Grundebene. Anwendungen dieser Konstruktion. Tiefenmaßstab.

14. Die Umlegung und Verschiebung der Grundebene. Unter Benutzung der so definierten festen Elemente wollen wir jetzt Körper darstellen. Wir beginnen aber mit dem Einfachsten, indem wir zunächst von Figuren, die in der Grundebene gelegen sind, die Bilder zeichnen. Es ist dann aber notwendig, daß wir uns diese Figuren auch selbst geben, sowohl ihrer wahren Gestalt nach als in ihrer Lage in der Grundebene. Zu diesem Zwecke müssen wir die Grundebene in unsere Zeichenebene irgendwie hereinbringen. Eine Möglichkeit, dies zu erreichen, ist folgende: wir drehen die Grundebene um die Grundlinie nach aufwärts im Sinne der beiden Pfeile (Fig. [17], [18]) so lange, bis sie mit der Tafel sich deckt. Dann liegt die Grundebene allerdings in unserem Zeichenblatt, aber wir haben die Unannehmlichkeit, daß die Figuren der Grundebene sich dort befinden, wo das Bild entworfen werden soll. Deswegen schieben wir die (gedrehte) Grundebene in der Tafel parallel zu sich selbst noch um ein beliebiges Stück herunter, bis die Grundlinie die neue Lage (g)(g) annimmt ([Fig. 19]); irgendein Punkt a der Grundlinie beschreibt dabei die lotrechte Linie a(a), wenn wir mit (a) die Lage des Punktes a nach Ausführung der Verschiebung bezeichnen. Die Entfernung a(a) zwischen gg und (g)(g) ist ganz willkürlich und richtet sich nach der Größe der in der Grundebene gegebenen Figur.

Fig. 19.

Nach diesen Vorbereitungen behandeln wir folgende

Aufgabe 2. In der Grundebene ist ein Quadrat gegeben, von dem eine Seite ab in der Grundlinie liegt. Das Bild des Quadrates zu zeichnen.

Die Lage des gegebenen Quadrates abcd veranschaulicht [Fig. 18]. In der wirklichen Ausführung ([Fig. 19]) geben wir uns den Horizont hh mit dem Augenpunkt A und den beiden Distanzpunkten, D₁ und D₂, dazu parallel die Grundlinie gg mit den beiden Ecken a und b des Quadrates.

Um auf Grund dieser Stücke das Bild des Quadrates zu zeichnen, ziehen wir in beliebigem Abstand die Parallele (g)(g) und bestimmen vermittels der Vertikalen durch a und b die Lage (a)(b)(c)(d) des Quadrates nach der Verschiebung. Nun sind die Quadratseiten ad und bd Tiefenlinien, ihre Bilder müssen also nach [Satz 11] durch A gehen; die Punkte a und b sind aber die Spuren dieser Geraden. Folglich erhalten wir in aA und bA die Bilder der beiden Geraden, auf denen die Quadratseiten ad und bc liegen, und die Bilder d' und c' müssen bzw. auf aA und bA gelegen sein. Denken wir uns aber noch die Diagonale db konstruiert, welche in unserer Verschiebung als (d)(b) zu zeichnen ist, so ist das eine Linie, welche einen Winkel von 45° mit der Grundlinie bildet. Nach [Satz 13] ist also D₁ der Fluchtpunkt dieser Geraden, b aber ist ihre Spur; mithin wird das Bild der Geraden db die Verbindungslinie bD₁. Das Bild d' muß demnach sowohl auf aA als auch auf bD₁ liegen, kann also nur der Schnittpunkt d' dieser beiden Linien sein. Ebenso finden wir das Bild c' der Ecke c als Schnittpunkt von aD₂ und bA. Das folgt sofort aus der Betrachtung der anderen Diagonale ac. Eine Kontrolle für die Zeichnung ergibt sich daraus, daß c'd' von selbst parallel gg sein muß. Denn die Quadratseite cd ist ja parallel zur Tafel, also nach [Satz 10] cd ∥ c'd'.[3] Da aber cd ∥ ab, so ist auch c'd' ∥ ab. Man erkennt ferner, daß es für die Konstruktion des Bildes abc'd' gar nicht nötig gewesen wäre, die Verschiebung (a)(b)(c)(d) zu zeichnen. Im übrigen sei nochmals an die Bemerkung auf [S. 14] unten erinnert.

[3] ∥ ist das Zeichen für parallel.

Aufgabe 3. Einen in der Grundebene gelegenen quadratisch getäfelten Fußboden zu zeichnen.

Die Quadrate, welche den Fußboden liefern, sind in [Fig. 19] in der Verschiebung gezeichnet. An das Quadrat (a)(b)(c)(d) schließt sich die erste Reihe, welche an die Grundlinie angrenzt, daran schließt sich eine zweite Reihe von Quadraten usf. Die Konstruktion [Fig. 19] ergibt sich fast von selbst. Die Tiefenlinien, wie z. B. (e)(f), fliehen im Bilde alle nach A. Ferner erkennt man leicht, daß in dem System der Quadrate alle Diagonalen der einen und anderen Richtung sich zu zwei Scharen paralleler Geraden zusammensetzen. Das gilt also auch für das Bild, nur mit dem Unterschied, daß die Bilder aller dieser parallelen Geraden bzw. nach D₁ und D₂ laufen. In der [Fig. 19] sind der Tiefe nach 5 Reihen von Quadraten gezeichnet, während in der Verschiebung nur 3 Reihen angegeben wurden. Da alle Diagonalen der Quadratbilder nach D₁ oder D₂ gehen, und außerdem je zwei Seiten eines Quadrats parallel zur Grundlinie laufen, so bietet die Figur zahllose Kontrollen.

15. Anwendungen dieser Aufgabe. Man würde aber irren, wollte man diese Figur bloß für eine mathematische Spielerei halten: wir können vielmehr von derselben eine ganze Anzahl praktischer Anwendungen machen. Zunächst ist es möglich, daß bei der bildlichen Wiedergabe eines Interieurs, z. B. eines Zimmers, an und für sich ein solcher Parkettboden zu zeichnen ist. Derselbe bietet dann aber auch weiter die Möglichkeit, Figuren, Einrichtungsgegenstände usf. einigermaßen richtig im Raume zu verteilen, indem man diesen Objekten eine durch die Schätzung der Quadrate zu beurteilende Bodenfläche zuweist. Jedenfalls kann man sich vor ganz groben Irrtümern dadurch schützen. Als Beispiel geben wir in [Abbildung 3] das Abendmahl des Altniederländers Dirk Bouts (1410(?)–1472) wieder, das sich in der Peterskirche in Löwen befand und von den Deutschen im Kriege von 1914 gerettet wurde. Auf gewisse Unrichtigkeiten der Konstruktion gehen wir hier nicht ein. Der primitiven Kunst lag eine solche Rücksicht auf richtige Verteilung der Objekte im Raume überhaupt gänzlich fern. Sie zeichnet die Köpfe einer Anzahl von Menschen einfach neben- und übereinander, ohne sich zu fragen, ob die zugehörigen Körper auch wirklich den ihnen entsprechenden Platz im Raume haben.

Abb. 3.

Unter Umständen kann es auch bequem sein, ein solches Quadratnetz in die Figur einzuzeichnen, wenn z. B. ein ziemlich unregelmäßig gestalteter Grundriß, ein ganzer Stadtplan oder eine Gartenanlage, in Perspektive gesetzt werden soll ([Fig. 20]). Wir legen über die Figur ein derartiges Netz und zeichnen dessen Bild. Nachdem dies geschehen, übertragen wir nach dem Augenmaß Quadrat für Quadrat die Linien in das Bild. Es wird die Genauigkeit erhöhen, wenn wir einzelne charakteristische Punkte genau zeichnen, wobei die folgende Aufgabe zu benutzen ist.

Fig. 20.

Aufgabe 4. Ein Punkt p in der Grundebene ist gegeben; sein Bild zu zeichnen.

Diese rein mathematische Aufgabe führen wir auf die [Aufgabe 1] zurück, indem wir uns ein Quadrat gezeichnet denken, von dem eine Ecke in p liegt, während eine Seite auf die Grundlinie fällt. Man kann sich in Fig. [18] und [19] etwa die Ecke d als den gegebenen Punkt denken. Wir wollen jetzt die Zeichnung durchführen, ohne das ganze Quadrat zu zeichnen.

Der Punkt p ist in [Fig. 21 a] in der Verschiebung (p) gegeben, Wir zeichnen durch (p) die lotrechte Tiefenlinie (T), welche die durch p gehende Tiefenlinie gibt; ihre Spur ist t, ihr Fluchtpunkt A, so daß also ihr Bild T' diese beiden Punkte verbindet; auf T' muß jedenfalls das gesuchte Bild p' gelegen sein.

Fig. 21 a.

Um einen zweiten Ort für p' zu erhalten, ziehen wir durch (p) eine Linie (D) nach rechts, welche unter 45° gegen die Grundlinie (g)(g) geneigt ist (Quadratdiagonale). Diese Linie (D) schneidet (g)(g) in (s), und senkrecht über diesem Punkt erhalten wir in s die Spur der Hilfslinie D. Da ferner D₁ ihr Fluchtpunkt ist, so wird D' den Punkt s mit D₁ verbinden. Das gesuchte Bild p' muß also auch auf D' liegen, kann folglich nur der Schnittpunkt von T' und D' sein.

Fig. 21 b.

Wir hätten durch (p) noch eine zweite Linie nach links ziehen können, welche auch einen Winkel von 45° mit (g)(g) einschließt. Dann hätten wir einfach den auf der rechten Seite von A gelegenen Distanzpunkt D₂ als Fluchtpunkt für diese Linie benutzen müssen und wären zu dem gleichen Punkte p' gelangt. Die Konstruktion ist ebenfalls in [Figur 21 a] eingetragen.

Wir können aber noch eine Vereinfachung in dieser Zeichnung anbringen. Da

(p)(t) = (s)(t) = st,

so ergibt sich folgende einfache Konstruktion ([Fig. 21 b]): Man trägt von der Spur t aus den Abstand des Punktes der Grundlinie etwa nach rechts als ts auf der Grundlinie an und verbindet den Punkt s mit dem linken Distanzpunkt. Dann schneidet diese Verbindungslinie auf der Hauptlinie T' den gesuchten Punkt p' aus.

Trägt man den Abstand nach links auf der Grundlinie auf, so ist der rechte Distanzpunkt zu benutzen. Die vorliegende Aufgabe läßt sich dann auch in folgender Weise formulieren:

Es soll auf einer im Bilde gegebenen Tiefenlinie ein Punkt bestimmt werden, der von der Grundlinie einen durch eine Strecke oder durch eine Zahl gegebenen Abstand hat.

Aufgabe 5. Auf einer gegebenen Tiefenlinie einen Maßstab zu zeichnen, dessen Einheit gegeben ist.

Denken wir uns in der Grundebene eine Tiefenlinie gegeben und auf derselben die gleiche Strecke beliebig oft angetragen, wobei wir in der Spur der Geraden beginnen. Diese gleich großen Strecken werden sich selbstverständlich verschieden groß abbilden, eben um so kleiner, je weiter sie sich vom Auge entfernen. Die in [Fig. 21 b] durchgeführte Konstruktion gibt sofort die Lösung. Wir tragen ([Fig. 22]) die geg. Teilung von der Spur t der geg. Tiefenlinie T aus nach rechts auf der Grundlinie ab, so daß also 0.1 = 1.2 = 2.3 = 3.4 je = der geg. Maßeinheit. Verbinden wir diese Punkte dann mit dem linken Distanzpunkt D₁, so schneiden diese Linien auf T' die gesuchten Bilder 1', 2', 3' usf. aus. Wir haben damit die Konstruktion eines sog. Tiefenmaßstabes gewonnen.

Fig. 22.

Das Verfahren bleibt ganz das nämliche, wenn nicht lauter gleiche Strecken auf der Tiefenlinie angetragen werden sollen, sondern verschiedene Strecken. Man trägt die Strecken in ihrer Reihenfolge auf der Grundlinie an; dann liefern sie, aus D₁ projiziert, die richtigen Bilder.