§ 7. Darstellung beliebiger, geradliniger Figuren der Grundebene.

16. Bild einer beliebigen Geraden. Um nun eine irgendwie aus Geraden zusammengesetzte Figur der Grundebene abbilden zu können, müssen wir uns zuerst damit beschäftigen, wie man das Bild einer beliebigen Geraden zeichnen kann. Das führt uns unmittelbar zur

Aufgabe 6. Eine beliebige Gerade A der Grundebene ist gegeben; ihr Bild zu zeichnen.

Fig. 23.

Die Flucht der Geraden ergibt sich nach [Satz 7], indem wir durch das Auge einen Parallelstrahl zur Geraden zeichnen und diesen mit der Tafel zum Schnitt bringen. Ist f_a dieser Schnittpunkt, so ist ([Fig. 23]) Of_a ∥ A und f_a liegt natürlich auf dem Horizont hh. Wir ziehen noch durch das Auge O eine Parallele ii zum Horizont. Die Gerade A wird mit der Grundlinie gg einen gewissen Winkel α einschließen. Leicht erkennt man dann, daß der Parallelstrahl Of_a mit der Linie ii den gleichen Winkel α bildet. Um diese Eigenschaft für wirkliche Konstruktion auszunutzen, klappen wir die Horizontebene durch O nach unten in die Bildebene Π. Wir drehen also diese Ebene um die Horizontlinie so lange nach abwärts, bis sie mit der Bildtafel zusammenfällt. Der Pfeil in der [Figur 23] deutet diese Drehung an. Die Linie OA bleibt bei dieser Drehung immer senkrecht zum Horizont; sie hat also auch am Schlusse der Drehung noch diese Eigenschaft. Zeichnen wir demnach in der Bildebene Π eine lotrechte Linie durch A, so gibt diese die Lage, welche der Strahl OA nach Ausführung der Drehung annimmt. Der Punkt O endlich geht nach Beendigung der Drehung in einen Punkt D₃ über, der auf dieser lotrechten Linie durch A so liegt, daß die Strecke AD₃ = OA = der Distanz. Die Parallele ii geht über in die Linie ll, welche durch D₃ parallel zum Horizont gezogen werden kann. Die Linie D₃f_a bildet mit der Linie ll wieder den Winkel α. Das Weitere verfolgen wir an [Fig. 24], welche die wirkliche Ausführung gibt. Die Gerade A ist in der Verschiebung durch (A) gegeben. Im Augpunkte A errichten wir die Senkrechte zum Horizont und schneiden auf ihr die Distanz ab, wodurch wir D₃ erhalten. Es ist also

AD₁ = AD₂ = AD₃.

Durch D₃ ziehen wir die Parallele ll zum Horizont. Tragen wir an diese Parallele den Winkel α an, so schneidet dessen 2. Schenkel den Fluchtpunkt f_a auf dem Horizont aus. Einfacher ist es aber, die Eigenschaft der Figur zu benutzen, daß offenbar

D₃f_a ∥ (A)

ist. Denn dann haben wir nur nötig, durch D₃ eine Parallele zu (A) zu zeichnen, diese schneidet auf dem Horizont den Fluchtpunkt f_a von A aus. Die Verbindungslinie der Spur a mit f_a gibt das Bild A' der Geraden A.

Fig. 24.

Nennen wir D₃ die Umlegung des Auges nach unten oder das nach unten »umgelegte« Auge, so ergibt sich folgende einfache Regel:

Ist eine Gerade in der Verschiebung gegeben, so bestimmt die durch das umgelegte Auge D₃ zu ihr gezogene Parallele auf den Horizont den Fluchtpunkt der Geraden.

Fig. 25.

Die [Figur 24] liefert uns brauchbare Eigenschaften aber auch für den Fall, daß die Gerade nicht in der Verschiebung, sondern auf andere Weise bestimmt ist. Es handle sich etwa um folgende

Aufgabe 7. Ein Punkt p der Grundebene ist durch sein Bild p' gegeben; durch p soll in der Grundebene eine Gerade gezogen werden, welche unter einem Winkel von 60° gegen die Grundlinie geneigt ist. Das Bild dieser Geraden zu zeichnen.

Tragen wir ([Fig. 25]) an die Horizontale durch D₃ einen Winkel von 60° an, so schneidet dessen zweiter Schenkel auf dem Horizont den Fluchtpunkt f der gesuchten Geraden aus. Verbinden wir den gegebenen Punkt p' mit f, so ist diese Linie das verlangte Bild.

Selbstverständlich gibt es zwei solche Gerade, da man den Winkel auch von der linken Seite der Parallelen ll aus antragen kann. Zu jedem Punkte des Horizontes gehört demgemäß eine gewisse Richtung von Geraden; speziell entsprechen den Distanzpunkten, wie wir ja schon wissen, die Geraden, welche unter 45° gegen die Grundlinie geneigt wird. In der Figur sind auf der linken Seite noch bei einigen weiteren Punkten des Horizontes die Winkel hinzugeschrieben, zu denen sie gehören.

17. Winkel zweier Geraden. Sind zwei Gerade A und B der Grundebene gegeben, so zeichnen wir ihre Fluchtpunkte f_a und f_b, so daß also ([Fig. 26])

Of_a ∥ A und Of_b ∥ B.

Bezeichnen wir den Winkel, den A und B einschließen, mit γ, so erkennt man sofort, daß auch ∢ f_aOf_b = γ ist.

Klappen wir wiederum die durch das Auge O gehende Horizontebene nach unten in die Bildebene Π herunter, wobei der Punkt O nach D₃ kommt, so tritt der Winkel γ auch hier auf, indem

∢ f_aD₃f_b = γ

oder in Worten ausgedrückt:

Satz 15. Irgend zwei Gerade der Grundebene schließen den gleichen Winkel ein wie die Sehstrahlen, die vom Auge nach ihren Fluchtpunkten gehen, und auch wie die Strahlen, welche von der »Umlegung« des Auges nach ihren Fluchtpunkten laufen.

Fig. 26.

Dieser Satz gehört zu den allerwichtigsten in der Perspektive wegen der vielen Anwendungen, die von ihm gemacht werden. Wir veranschaulichen ihn noch durch die [Fig. 27], welche die wirkliche Konstruktion gibt. Hier sind die beiden Geraden A und B in der Verschiebung (A) und (B) gegeben. Im Hauptpunkte A ist eine Senkrechte zum Horizont angetragen und auf ihr die Umlegung D₃ des Auges ermittelt, in dem

AD₃ = AD₁ = AD₂

gemacht werde. Dann folgt aus der unmittelbar vorhergehenden Betrachtung, daß

D₃f_a ∥ (A)

und

D₃f_b ∥ (B).

Daraus ergibt sich wiederum, daß ∢ f_aD₃f_b = γ.

Die Praktiker drücken dies so aus:

»Am Punkte D₃ kann jeder Winkel in seiner wahren Größe angetragen werden.«

In der Figur wurden noch die Spuren a und b der beiden Geraden konstruiert, so daß dann A' und B' sich je als die Verbindungslinie von Flucht und Spur ergeben. Der Schnittpunkt von A' und B' ist das Bild des Scheitels p. Man beachte, daß der schraffierte Teil zwischen (A) und (B) sich in den schraffierten Teil zwischen A' und B' abbildet. Eine zweite Anwendung gibt

Aufgabe 8. Ein in der Grundebene liegendes Rechteck ist in der Verschiebung (p)(q)(r)(s) gegeben; dessen Bild zu zeichnen.

Das Rechteck enthält zwei Paare paralleler Seiten (A) und (A₁), sowie (B) und (B₁) ([Fig. 28]). Wir zeichnen zunächst die Fluchtpunkte dieser beiden Richtungen Zu diesem Zwecke ziehen wir durch die Umlegung D₃ des Auges die Parallelen zu (A) und (B); diese schneiden die Fluchtpunkte f_a und f_b auf dem Horizonte aus. Es ist also

D₃f_a ∥ (A) ∥ (A₁)

und

D₃f_b ∥ (B) ∥ (B₁).

Jetzt zeichnen wir die Bilder q' und s' der beiden Ecken q und s nach [Aufgabe 4], indem wir je eine Tiefenlinie und eine unter 45° geneigte Linie benutzen. q' liefert mit f_a und f_b verbunden die Bilder A' und B', s' mit f_a und f_b verbunden A₁' und B₁'. Die letzten Ecken r' und p' ergeben sich als die Schnittpunkte von A₁' mit B' und A' mit B₁'.

Fig. 27.

Das Bild p'q'r's' hat die charakteristische Eigenschaft, daß sich die gegenüberliegenden Seiten A' und A₁' sowie B' und B₁' verlängert je in f_a und f_b auf dem Horizont schneiden. Kontrollen bieten sich zahlreiche, wenn man die Tiefenlinien durch r und p zieht oder die Spuren der Rechtecksseiten benutzt, wie das in der Figur für die Seite rq angegeben ist.

Fig. 28.

18. Umlegung der Horizontebene nach oben. Unter Umständen kann es bequem sein, die Horizontebene statt nach unten nach oben in die Bildtafel Π hereinzuklappen ([Fig. 26]). Dann fällt der Punkt O auf die Verlängerung der Linie AD₃ über A hinaus nach einem Punkte D₄, wenn wieder AD₄ = der Distanz gemacht wird. In [Fig. 27] ist auch diese Umlegung oben gezeichnet. Natürlich gibt der Winkel f_aD₄f_b auch jetzt wieder den Winkel der beiden gegebenen Geraden A und B, so daß

∢ f_aD₄f_b = γ,

und auch an dem Punkte D₄ dürfen alle Winkel in wahrer Größe angetragen werden.

Fig. 29.

Ein Unterschied ist aber insofern vorhanden, als jetzt nicht mehr (A) ∥ D₄f_a und nicht mehr (B) ∥ D₄f_b. Diese Eigenschaft der parallelen Lage ist nur erfüllt bei der Drehung nach unten. Das hängt damit zusammen, daß wir auch die Grundebene im gleichen Sinne gedreht haben.

Wenn aber z. B. die Verschiebung überhaupt nicht gezeichnet ist, so kann man sehr wohl die Horizontebene auch nach oben drehen, zumal wenn man oben in der Zeichnung mehr Raum zur Verfügung hat. Die folgende Aufgabe gibt davon eine Anwendung.

Aufgabe 9. Gegeben sind eine Gerade A der Grundebene und ein Punkt p auf ihr durch ihre Bilder A' und p'. Man zeichne das Bild einer Geraden B der Grundebene, welche in p auf A senkrecht steht.

Bringen wir das gegebene Bild A' mit dem Horizont zum Schnitt ([Fig. 29]), so ist der Schnittpunkt f_a der Fluchtpunkt der Geraden A. Im Augpunkt A errichten wir eine Senkrechte zum Horizont hh und machen diese = der Distanz, so daß also

AD₄ = AD₁ = AD₂.

D₄ ist die Umlegung des Auges nach oben. Verbinden wir D₄ mit f_a und errichten in D₄ zu f_aD₄ ein Lot, so schneidet dieses aus dem Horizont einen Punkt f_b aus, der der Fluchtpunkt aller auf der Geraden A senkrechten Geraden ist. Die gesuchte Senkrechte soll aber durch p gehen, ihr Bild B' ist demnach die Verbindungslinie von p' mit f_b. f_ap'f_b ist also das Bild eines horizontalen rechten Winkels.

19. Getrennte Lage des Grundrisses. Wir haben bisher immer angenommen, daß die Grundebene mitsamt den abzubildenden Figuren in der Verschiebung gegeben sei. Natürlich kann sie auch, getrennt von der Bildtafel, gegeben und die Lage der Bildebene durch ihre Spur, d. h. durch die Grundlinie, bestimmt sein. Beispielsweise sei in [Fig. 30 a] ein Rechteck 1 2 3 4 gezeichnet, außerdem sind die Risse A₁ und O₁ von A und O bekannt. In der zweiten [Figur 30 b] ist der Horizont hh mit A sowie die Grundlinie gg gegeben. Verlangt wird das Bild des Rechteckes zu zeichnen.

Die für die Lösung in Betracht kommende geometrische Eigenschaft liefert ein Blick auf [Fig. 26]. Der durch das Auge O zur Geraden A der Grundebene gezogene Parallelstrahl, welcher den Fluchtpunkt f_a auf dem Horizont ausschneidet, hat in der Grundebene einen Riß, der durch O₁ gehen muß, sowie durch die Projektion f_a₁ des Fluchtpunktes f_a, und weiter muß dieser Riß parallel zu A sein, also O₁f_a₁ ∥ A.

Fig. 30 a.

Zieht man demnach umgekehrt durch O₁ Parallele zu den Seiten des Rechteckes, so schneiden diese auf der Grundlinie gg die Projektionen f_a₁ und f_b₁ der Fluchtpunkte f_a und f_b aus. Da nun die Grundlinie mit ihren Punkten in den beiden Figuren vorkommt, so haben wir nur die Strecken A₁f_a₁ und A₁f_b₁ auch in [Fig. 30 b] anzutragen. Dann liefern die in f_a₁ und f_b₁ errichteten Lote zu gg auf dem Horizont die Fluchtpunkte f_a und f_b. Überträgt man noch weiter die Spuren der Rechtecksseiten in die [Fig. 30 b], so ist das Bild 1'2'3'4' des Rechtecks leicht fertig zu stellen.

Fig. 30 b.

20. Horizontale Gerade. Die bisherigen Ausführungen genügen vollständig, um jede in der Grundebene gegebene Figur in Perspektive zu setzen. Bevor wir aber dazu übergehen, Körper abzubilden, wollen wir vorher noch eine sehr wesentliche Verallgemeinerung der oben durchgeführten Betrachtungen besprechen.

Ziehen wir zu irgendeiner Geraden der Grundebene im Raume eine Parallele, so nennen wir diese neue Gerade eine horizontale Gerade. In genauer Fassung werden wir sagen:

»Jede Gerade, welche zur Grundebene parallel läuft, soll eine horizontale Gerade heißen.« Wollen wir nun den Fluchtpunkt einer horizontalen Geraden bestimmen, so haben wir durch das Auge eine Parallele zu der Geraden zu zeichnen. Diese Parallele ist dann aber auch parallel zur Grundebene, liegt mithin in der Horizontebene, und der Fluchtpunkt muß dem Horizont hh angehören.

Fig. 31.

Was die Lage einer horizontalen Geraden im Raume betrifft, so kann sie entweder oberhalb oder unterhalb der Horizontebene liegen oder in der Horizontebene. Der letztere Fall ist sofort erledigt. Denn jede Gerade der Horizontebene bildet sich in den Horizont ab.

Liegt eine horizontale Gerade oberhalb der Horizontebene, wie z. B. die Gerade A in [Fig. 31], so muß ihre Spur a oberhalb des Horizonts hh gelegen sein; eine horizontale Gerade B dagegen, welche unter der Horizontebene sich befindet, liefert eine Spur b unter dem Horizont.

Die Bilder zweier solchen Geraden verhalten sich nun verschieden. In [Fig. 31] ist noch speziell angenommen, daß die beiden Geraden A und B in der gleichen Vertikalebene liegen, so daß der Riß A₁ von A mit dem Riß B₁ von B sich deckt und die Spuren a und b auf einer lotrechten Linie sich befinden. Durchläuft ein Punkt die Gerade A, indem er von der Spur a ausgeht, im Sinne des Pfeiles, also in der Richtung von der Bildtafel weg, so bewegt sich sein Bild auf A' gegen den Fluchtpunkt f_a hin. Die Linie A' geht demnach, in der Richtung von a nach f_a durchlaufen, abwärts, oder sie »fällt«. Ebenso »steigt« die Linie B', wenn sie in der Richtung gegen den Fluchtpunkt hin durchlaufen wird. Damit haben wir eine sehr brauchbare Malerregel abgeleitet, die sich wie folgt ausdrücken läßt:

Satz 16. »Horizontale Gerade haben ihre Fluchtpunkte auf dem Horizont. Liegen die Geraden selbst oberhalb der Horizontebene, so ›fallen‹ ihre Bilder, wenn sie in der Richtung nach dem Fluchtpunkt hin durchlaufen werden; liegen sie unterhalb dieser Ebene, so ›steigen‹ ihre Bilder, wenn man sie in der Richtung nach dem Fluchtpunkt zu durchläuft.«

Die gleiche Eigenschaft zeigen natürlich auch die Bilder der Tiefenlinien, da die letzteren ja auch nur horizontale Gerade von besonderer Art sind.

Die in 16 und 17 für Gerade der Grundebene durchgeführten Betrachtungen gelten, wir wir jetzt einsehen, für jede horizontale Gerade; speziell gilt [Satz 15] für zwei Gerade, die in irgendeiner zur Grundebene parallelen Ebene liegen.