§ 8. Darstellung einfacher Körper, die sich auf der Grundebene erheben.

21. Darstellung einer Pfeilerreihe, die nach der Tiefe geht. Wenn wir jetzt dazu übergehen, Körper darzustellen, die sich auf der Grundebene befinden, so tritt als neue Dimension die auf der Grundebene lotrechte Richtung auf, also die Vertikale. Jede Ebene durch eine Vertikale heißt eine Vertikalebene. Setzen wir die Begrenzungsflächen des Körpers in Beziehung zur Bildtafel, so werden vor allem die Ebenen zu betrachten sein, welche auf der Bildtafel senkrecht stehen. Wir nennen sie »Tiefenebenen« und sehen, daß jede Ebene durch eine Tiefenlinie eine Tiefenebene ist. Enthält eine Tiefenebene eine Vertikale, so nennen wir sie eine vertikale oder auch eine lotrechte Tiefenebene. Es sei nun zu behandeln

Aufgabe 10. Eine Pfeilerreihe darzustellen, die sich in einer lotrechten Tiefenebene befindet.

Wir versinnlichen jeden Pfeiler durch eine schlichte Gerade und nehmen an, daß der erste Pfeiler ab in der Bildebene gelegen ist ([Fig. 32]). Ferner sollen die Pfeiler in gleichen Abständen aufeinanderfolgen, also ac = ce = ei = il = ln = np sein. Die Punkte a, c … p liegen auf einer Tiefenlinie A und ebenso die oberen Enden der Pfeiler b, d, f, k, m, r, q, auf einer zweiten Tiefenlinie B. Die Ebene durch A und B ist die lotrechte Tiefenebene, in der die Pfeilerreihe gelegen ist.

Fig. 32.

In unserer zu zeichnenden Figur ([Fig. 33]) sind also gegeben der erste in der Bildebene liegende Pfeiler ab sowie der Abstand y zweier aufeinanderfolgender Pfeiler. Die Darstellung läßt sich nun leicht bewerkstelligen. Der Punkt a mit dem Augpunkt A verbunden liefert das Bild A' der Tiefenlinie A. Auf A' ist nun ein Tiefenmaßstab zu zeichnen mit der Einheit y. Nach [Aufgabe 5] führen wir dies aus, indem wir die gegebene Einheit y von der Spur a aus nach rechts auf der Grundlinie als 0.1, 1.2, 2.3 … antragen und diese Punkte mit dem linken Distanzpunkt D₁ verbinden. Die Schnittpunkte mit A' geben die Bilder c', e', i' … der Pfeilerenden.

Fig. 33.

Verbinden wir weiter b mit A, so ist diese Linie das Bild B' der Tiefenlinie B, und auf B' müssen die oberen Endpunkte der Pfeiler angeordnet sein. Die Geraden ab, cd … sind aber parallel zur Bildebene; nach [Satz 10] sind also ihre Bilder auch parallel, und überdies muß beispielsweise c'd' ∥ cd sein usf.; die Bilder der Pfeiler sind also lotrechte Linien. Demnach haben wir lediglich durch die Punkte c', e', i' usf. die Vertikalen zu zeichnen und diese durch die Schnittpunkte mit der Linie B' zu begrenzen. So ergeben sich die Bilder c'd', e'f' … Wir können in unserer Figur auch die Darstellung eines Staketenzaunes sehen oder einer Bretterwand, die aus gleichbreiten Brettern zusammengesetzt ist.

Wir machen von der eben durchgeführten Konstruktion eine Anwendung zur Lösung folgender wichtiger

Aufgabe 11. Ein Punkt p der Grundebene ist durch sein Bild p' gegeben; man zeichne das Bild einer Linie pq von gegebener Länge, welche in p senkrecht zur Grundebene angetragen wird.

Es soll also mit anderen Worten in einem Punkte der Grundebene eine Senkrechte von gegebener Länge errichtet werden. Um zur Lösung zu gelangen, denken wir uns ([Fig. 32]) durch die Senkrechte pq eine Tiefenebene gelegt und stellen uns eine Reihe von Pfeilern vor, welche die Höhe pq haben und sich in dieser Ebene befinden. Anders ausgedrückt heißt das: wir ziehen durch p und q die Tiefenlinien A und B, welche in a und b die Bildebene treffen. ab ist der in der Tafel liegende Pfeiler. Daraus ergibt sich folgende durch ihre Einfachheit überraschende Konstruktion: Den gegebenen Punkt p' verbinden wir mit A ([Fig. 34]) und erhalten dadurch das Bild A', welches die Grundlinie gg in a trifft. In a tragen wir die gegebene Höhe als ab vertikal an. Der Endpunkt b liefert mit A verbunden das Bild B' der Tiefenlinie B. Ziehen wir endlich durch p' die Vertikale, so schneidet sie auf B' den Punkt q' aus. p'q' ist das Bild der gesuchten Senkrechten.

Fig. 34.

Da man jeden beliebigen Punkt des Raumes sich bestimmen kann durch seinen rechtwinkligen Riß auf die Grundebene und durch den Abstand von der Grundebene, so können wir damit das Bild eines beliebigen Raumpunktes zeichnen und sind weiter imstande, jeden Körper, wenn auch umständlich, abzubilden, indem wir die Bilder seiner einzelnen Punkte ermitteln. Wir werden später Beispiele für die Anwendung dieser Konstruktion geben, wollen aber zunächst noch einige Folgerungen aus der [Fig. 34] ziehen.

Wir können dieselbe unmittelbar zur Lösung folgender neuen Aufgabe benutzen: Gegeben ist das Bild p'q' einer Strecke pq, die im Punkte p der Grundebene auf dieser senkrecht sich erhebt; man bestimme die wahre Länge pq dieser Strecke.

Wir verbinden p' mit A und bringen diese Linie in a mit der Grundlinie zum Schnitt; in a errichten wir eine Vertikale und schneiden diese in b mit der Verbindungslinie von A nach q'. Dann gibt ab die wahre Länge der Strecke pq.

Als eine weitere Anwendung behandeln wir

Aufgabe 12. Auf einer lotrechten (vertikalen) Geraden einen Maßstab zu zeichnen. Höhenmaßstab.

Fig. 35.

Denken wir uns auf der Lotrechten pq von [Fig. 32] die Einheit des Maßstabes wiederholt angetragen und ziehen wir durch die Teilpunkte die Tiefenlinien, so übertragen diese den Maßstab auf die Gerade ab, was in der Figur angedeutet ist. Die Bilder der Tiefenlinien sind aber sofort zu zeichnen. Wir erhalten also folgende Ausführung ([Fig. 35]).

Gegeben ist das Bild p'q' der Vertikalen, auf der mit der gegebenen Strecke y als Einheit ein Maßstab gezeichnet werden soll, der in der Spur der Vertikalen beginnt. Wir verbinden den Punkt p' mit dem Augpunkt A und erhalten dadurch den Punkt a auf der Grundlinie. In a errichten wir zur Grundlinie gg die Senkrechte; auf dieser tragen wir von a beginnend die Strecke y ab, so daß also die Strecken 0.1, 1.2, 2.3 … je = y. Verbinden wir die Punkte 1, 2, 3 … mit A, so schneiden diese Tiefenlinien auf p'q' die gesuchten Punkte 1', 2', 3' … aus. Aus bekannten Sätzen der Planimetrie folgt sofort, daß auch

0.1' = 1'.2' = 2'.3' = 3'.4'.

Fig. 36.

Daraus ergibt sich folgender

Satz 17. »Der Höhenmaßstab auf einer Vertikalen (und überhaupt auf einer Parallelen zur Bildebene) zeigt keine Verkürzung, sondern eine sich gleichbleibende Verjüngung.«

Gleichhohe Fenster einer Fassade, die auf einer lotrechten Linie liegen, sind also beispielsweise gleich hoch zu zeichnen.

Teilungen einer vertikalen Strecke übertragen sich demnach unmittelbar auf das Bild. Wenn etwa die Strecke pq ([Fig. 32]) in eine gewisse Anzahl gleicher Teile geteilt werden soll, so können wir die Teilung unmittelbar im Bilde p'q' ([Fig. 35]) vornehmen.

Fig. 37.

22. Darstellung einer zur Bildebene parallelen Pfeilerreihe. Noch einfacher gestaltet sich die zeichnerische Wiedergabe einer Pfeilerreihe oder überhaupt einer Reihe gleichgroßer, paralleler Gegenstände, wenn dieselben parallel zur Bildebene angeordnet sind. Dies sei der Gegenstand der

Aufgabe 13. Eine Pfeilerreihe darzustellen, die sich in einer zur Tafel parallelen Ebene befindet.

Ist pq der erste darzustellende Pfeiler ([Fig. 36]), so zeichnen wir nach der [Aufgabe 11] sein Bild p'q'. Unserer Voraussetzung nach liegen die Endpunkte der Pfeiler auf zwei parallelen Linien P und Q, die überdies zur Tafel parallel sind. Es ist also wieder nach [Satz 10] auch P' ∥ P und Q' ∥ Q und da P ∥ Q ∥ zur Grundlinie gg, so sind auch die Bilder P' und Q' parallel zur Grundlinie. Auf diesen beiden Horizontalen liegen folglich die Bilder der Endpunkte, und sie ergeben sich leicht, wenn man wiederum die Tiefenlinien durch die Punkte selbst zu Hilfe nimmt.

Fig. 38.

Die Ausführung der Konstruktion zeigt [Fig. 37]. Gegeben ist das Bild p' des Punktes p, die Höhe der Pfeiler und ihr Abstand y. Wir verbinden p' mit dem Hauptpunkt A; diese Tiefenlinie A' liefert auf der Grundlinie gg den Punkt a. In a errichten wir eine Vertikale ab gleich der gegebenen Höhe der Pfeiler und erhalten durch die Linie bA den Punkt q' auf der Lotrechten durch p' und damit das Bild des ersten Pfeilers pq. Auf den Horizontalen P' und Q' durch p' und q' liegen die übrigen Endpunkte. Tragen wir den gegebenen wahren Abstand y zweier Pfeiler auf der Grundlinie als die Strecke 0.1 ab, so gibt die Linie von 1 nach A das Bild n' und die Vertikale durch n' auf Q' das Bild r'. Analog verfährt man für die weiteren Punkte 2, 3 … Man erkennt, daß p'n' = n'l' usf., daß also auch die Bilder der Pfeiler gleich weit voneinander abstehen.

Obwohl die Pfeiler selbst ganz verschiedene Entfernungen vom Auge O haben, sind ihre Bilder doch gleich groß zu zeichnen.

Hat man überhaupt in einer zur Bildtafel parallelen Ebene irgendeine Figur, so ist ihr Bild eine dazu ähnliche Figur d. h. das Bild ist eine Verkleinerung der gegebenen Figur; es ändern sich nur die Größenverhältnisse der Figur, alle Winkel aber, und auch die gegenseitigen Verhältnisse der Seiten bleiben ungeändert.

Wir können also sagen:

Satz 18. »Befinden sich Gegenstände von der gleichen Größe irgendwo in einer Parallelebene zur Tafel oder kürzer in der gleichen Tiefe, so sind ihre Bilder stets gleich groß zu zeichnen.«

Fig. 39.

Fig. 40.

Als Beispiel denken wir uns, am Fuße eines Turmes befinde sich eine menschliche Figur ([Fig. 38]) und oben auf dem Turme, aber in der gleichen Tiefe, stehe oder liege eine zweite ebenso große. Dann sind die beiden Figuren gleich groß zu geben. Man kann häufig bemerken, daß die Figur auf dem Turme kleiner gezeichnet ist, und als Grund dafür wird angeführt, daß die Figur auf dem Turme doch weiter vom Auge entfernt sei als die Figur am Fuße des Turmes, also auch kleiner sein müsse. Dabei verwechselt man die Erscheinung eines Gegenstandes und seine bildliche Wiedergabe. Die Größenverhältnisse der uns umgebenden Körper beurteilen wir im allgemeinen nach den »Gesichtswinkeln«, unter denen sie uns erscheinen. Wir betrachten nun aber doch das Bild mit den beiden Figuren, und dann ist in der Tat, wie [Fig. 39] noch klarer zeigt, der Gesichtswinkel δ, unter dem die obere Figur erscheint, kleiner als der Gesichtswinkel α, der zu der unteren Figur gehört. Hier mag noch eine andere Beobachtung erwähnt werden, die sich auf die Darstellung hoher, sich in Wirklichkeit nicht verjüngender Objekte bezieht. Denken wir uns z. B. einen Turm mit vertikalen Kanten. Betrachten wir denselben mit geradgehaltenem Kopfe, so erscheinen die Kanten des Turmes parallel. Legen wir uns aber auf den Rücken und blicken an dem Turm in die Höhe, so zeigen seine Kanten einen Fluchtpunkt. Zwischen diesen beiden äußersten Fällen gibt es viele Übergänge. Wenn wir nicht weit genug von dem Turme zurücktreten können, so neigen wir ebenfalls den Kopf zurück, um den Turm in seiner ganzen Höhe zu überschauen. Dann tritt wieder die Fluchtpunkterscheinung auf. Aus diesen Überlegungen heraus kann man die [Abbildung 4] bis zu einem gewissen Grade für berechtigt erklären. Wir befinden uns dabei in dem Gebiet ästhetisch-psychologischer Vorgänge, und die Perspektive als starre mathematische Schablone kann zugunsten einer besseren Wirkung modifiziert werden.

Abb. 4.

Fig. 41.

23. Darstellung eines rechtwinklig begrenzten Raumes. Wir wollen jetzt die [Fig. 32] erweitern, indem wir uns auch auf der anderen Seite des Auges eine gleichgroße Pfeilerreihe ebenfalls in einer lotrechten Tiefenebene angebracht denken. Verbinden wir dann ([Fig. 40]) den letzten Pfeiler pq der einen Reihe mit dem letzten Pfeiler st der anderen Reihe durch eine Ebene und legen weiter durch qb und tc ebenfalls eine Ebene, so erhalten wir ein rechteckig begrenztes Raumstück, den Quader abcdpqts. Die Pfeilerreihe auf der rechten Seite ist ebenso zu zeichnen wie in [Fig. 33], und es ergibt so das Bild abcdp'q't's' ([Fig. 41]). Stellen wir uns weiter vor, daß wir dadurch je zwei gleich weit von der Tafel entfernte Pfeiler weitere Ebenen legen, so sind diese alle parallel und schneiden die Grundebene in Parallelen zur Grundlinie. Den dargestellten Raum teilen wir dadurch in eine Anzahl gleicher Schichten, die ebenfalls in [Fig. 41] wiedergegeben sind. Endlich sind noch der Fußboden und die Wände mit einem Quadratnetz überzogen, und zwar ist die Figur so eingerichtet, daß in der Breite, also von a nach d, 8 Quadrate, in der Tiefe von a nach p 5 Quadrate und in der Höhe von a nach b ebenfalls 5 Quadrate liegen. Der Horizont verläuft in einer Höhe, die zwei Quadratseiten entspricht. Es ist leicht, diese Quadrate einzuzeichnen (man vgl. [Fig. 19]) und so die [Fig. 41] herzustellen. Man kann an ein mit quadratischen Kacheln ausgelegtes Zimmer denken. Legt man aber weiter durch die sämtlichen Tiefenlinien die horizontalen und vertikalen Ebenen, so wird der ganze Raum in Würfel geteilt, und zwar in 5 ⋅ 5 ⋅ 8 = 200. Einer dieser Würfel ist herausgezeichnet. Der Leser wird diese Figur nicht für eine mathematische Spielerei halten, sondern sofort erkennen, daß wir damit ein Mittel gewonnen haben, jeden Körper im Raume einigermaßen richtig unterzubringen, indem wir ihn in eine Anzahl von Würfeln einschließen. [Fig. 41] leistet für den Raum das gleiche wie [Fig. 19] für die Bodenfläche.

Abb. 5.

Nennen wir, wie es dem allgemeinen Gebrauch entspricht, die Abmessung in der Richtung der Grundlinie, also von a nach d, die Breite, so gibt uns die [Fig. 41] sowohl einen Tiefen- und Höhen- als auch einen Breitenmaßstab. Denn wir können angeben, wie sich die angenommene Quadratseite an jeder Stelle des Raumes der Tiefe, Höhe und Breite nach verkürzt. An der Stelle i' z. B. sind diese Verkürzungen durch i'm', i'n' und i'l' gegeben. Gleichzeitig ergibt sich noch, was übrigens schon aus [Satz 18] folgt:

Satz 19. »Der Breitenmaßstab ist in jeder Tiefe gleich dem Höhenmaßstab.«

Endlich gibt [Fig. 41] die einfachste Darstellung eines Innenraumes oder eines Interieurs. Um einen geschlossenen Raum darzustellen, mag man sich eine Begrenzungsfläche desselben entfernt denken. Diese Fläche ist hier dann als Bildebene benutzt. Wir geben als Beispiel in [Abb. 5] ein Fresko von Ghirlandajo (1449–1494), das die Geburt Johannis des Täufers vorstellt und sich im Chor der Kirche S. Maria Novella in Florenz befindet. Durch einige punktierte Tiefenlinien sind der Augpunkt und der Horizont ermittelt. Der Augpunkt ist aus der Mitte des Bildes etwas nach rechts herausgerückt, wie in [Fig. 41] A näher an cd als an ab liegt. Wählt man den Augpunkt genau in der Mittellinie des Bildes, so gestaltet sich die Architektur auf beiden Seiten ganz gleichmäßig: sie ist symmetrisch zur Mittellinie. Die Symmetrie bedingt eine größere Ruhe und eine gewisse Feierlichkeit im Bilde, wie [Abb. 8] zeigen mag.

24. Aufsicht, Untersicht, Seitenansicht. Die gleiche [Figur 41] gibt uns auch Aufschluß, wie wir infolge der Festlegung unseres Standpunktes durch das Auge O horizontale Ebenen, die unter der Horizontebene liegen, von oben sehen: wir haben auf sie »Aufsicht«, so z. B. auf die Bodenfläche. Von horizontalen Ebenen, die oberhalb der Horizontebene liegen, sehen wir dagegen die untere Seite; sie befinden sich in »Untersicht«, wie z. B. die Decke in [Figur 41]. Die Horizontebene selbst bildet den Übergang zwischen beiden Arten von Ebenen: sie erscheint als Linie, nämlich als der Horizont. In der gleichen Weise sehen wir vertikale Tiefenebenen entweder von rechts oder von links, je nachdem sie links oder rechts von der durch das Auge O gehenden vertikalen Tiefenebene liegen. Diese letztere erscheint als die durch den Augpunkt gehende Vertikale. Die Figuren [42] und [43] mögen das noch weiter veranschaulichen. Sie stellen ein Notenpult oder ein Büchergestell dar, das im ersten Fall lotrecht steht, im zweiten Falle auf dem Boden liegt.

Fig. 42.

Aus der Tatsache, daß die ganze Horizontebene sich in den Horizont abbildet, läßt sich noch eine bemerkenswerte Folgerung ziehen. Ist u' das Bild eines Punktes u der Grundebene ([Fig. 41]) und errichten wir in u' die Senkrechte, welche den Horizont im Punkte v' schneiden möge, so können wir v' als Bild desjenigen Punktes v ansehen, der lotrecht über v in der Horizontebene liegt. Die Strecke uv ist also gleich der Augenhöhe. Zu dem gleichen Resultat führt uns auch die Betrachtung der [Figur 34], indem sich zu dem Bilde p'v' als zugehörige Strecke av₀ ergibt, was wieder die Augenhöhe ist. Daraus folgt demnach folgender vielfach verwendbare

Satz 20. Ist das Bild eines Punktes der Grundebene gegeben, so stellt der Abstand dieses Bildes vom Horizont immer das Bild der Augenhöhe vor.

Fig. 43.

25. Personen in verschiedenen Tiefen eines Bildes. Die Darstellung einer menschlichen Figur in einem Bilde gibt uns Veranlassung, über den Maßstab eines Bildes zu sprechen und dieser hängt wieder davon ab, wie wir uns das Zeichnen nach der Natur, also z. B. die Wiedergabe einer Landschaft vorstellen. Bisher haben wir immer angenommen, daß das Bild direkt die Zentralprojektion des Gegenstandes ist, wie wir das bei der Glastafelperspektive (in 2) erörterten. Man kann sich das aber auch etwas anders denken. Nehmen wir z. B. an, ein Landschaftsmaler habe das Motiv und einen günstigen Standpunkt gefunden. Dann mag er sich, etwa in der Entfernung von einigen Metern von seinem Standpunkte, die Bildtafel Π vertikal aufgestellt denken. Auf diese Ebene Π wird von seinem Auge aus die Landschaft projiziert. Dieses Bild wird aber nicht wirklich gezeichnet. In sein Skizzenbuch oder auf den vor ihm stehenden Rahmen zeichnet der Maler vielmehr eine Verkleinerung oder eine Verjüngung des auf Π gedachten Bildes. In diesem Falle ist also die Zeichenfläche nicht die gleiche wie die Bildebene. Allerdings könnte man eine neue, dem Standpunkt nähere, zu Π parallele Ebene finden, welche aus dem Strahlenkegel des Auges O gerade das Bild ausschneiden würde, das auf dem Zeichenblatt gezeichnet wurde.

Wie kann man nun bestimmen, in welchem Verhältnis das Bild in dem Skizzenbuch gegenüber dem gedachten Bilde auf Π verkleinert ist? Zu dem Zwecke denken wir uns einen Menschen, der ganz nahe hinter der Tafel Π steht. Er wird dann auf der Tafel Π in wirklicher Größe erscheinen. Die Skizze aber wird den gleichen Menschen in kleinerem Maßstabe zeigen, z. B. nur in ¹/₁₀ der Lebensgröße. Dann sagen wir, die Verjüngung oder Reduktion sei = ¹/₁₀. Wollen wir, was z. B. bei Architekturen nötig ist, genaue Maße haben, so stellen wir uns vor, daß eine Meßlatte mit Metermaßeinteilung in der Bildebene Π liege. Auf dem Skizzenblatt aber wird z. B. ein Meter durch einen Dezimeter wiedergegeben, wenn die Verjüngung ¹/₁₀ beträgt. Wir behandeln nun folgende

Aufgabe 14. Personen in verschiedenen Tiefen eines Bildes darzustellen.

In den 3 Fällen sei die Verjüngung stets ¹/₁₀₀, so daß also ein Meter durch einen Zentimeter dargestellt wird. Ferner nehmen wir an, daß alle im Bilde wiedergegebenen Personen 1,5 Meter groß seien, also eine mittlere Größe haben.

1. Fall. Die Augenhöhe sei 75 cm oder ¾ m; es soll eine Person gezeichnet werden, die sich in c' auf der Grundebene befindet.

Auf der linken Seite gibt uns in [Figur 44] die Strecke 0.1 die Darstellung eines Meters; nehmen wir drei Viertel dieser Größe, so ist damit der Horizont hh gefunden, der bei dieser Annahme sehr niedrig liegt. Eine direkt an der Bildtafel stehende Figur ist 1½ m hoch zu zeichnen, sie ist in ab angedeutet, und sie wird durch den Horizont halbiert. Wir ziehen durch A nach a und b die Tiefenlinien. Um die in c' befindliche Person zu zeichnen, verschieben wir sie parallel der Bildebene, also in der gleichen Tiefe; dabei bleibt nach [Satz 18] ihre Größe ungeändert. Demgemäß ziehen wir durch c' die Parallele zur Grundlinie, welche die Linie Aa in p' schneidet. Die in p' bis zum Schnitt mit der anderen Tiefenlinie Ab errichtete Senkrechte p'q' gibt die Größe der Figur; ziehen wir durch q' eine Parallele zur Grundlinie, so schneidet sie die Vertikale durch c' in d' und c'd' ist die gesuchte Höhe der Figur in c'.

Fig. 44.

Ist im Punkte i' der Grundebene eine weitere Figur zu zeichnen, so ziehen wir c'i' und bringen diese Linie in f zum Schnitt mit dem Horizont; verbinden wir f mit d', so ergibt die in i' errichtete Senkrechte den Punkt k', bis zu dem die Figur reicht. Denn die Linien ci und dk sind parallele, horizontale Gerade, müssen also ihren Fluchtpunkt auf dem Horizont haben.

Man sieht leicht ein, daß alle Figuren durch den Horizont halbiert werden, und daß man allgemein sagen kann:

Satz 21. Alle auf der Grundebene stehenden Figuren werden durch den Horizont im gleichen Verhältnis geteilt.

2. Fall. Die Augenhöhe sei 2½ m; es ist eine Figur zu zeichnen, welche sich in c' auf einer Mauer befindet.

Fig. 45.

Wir haben es unter dieser Voraussetzung mit einem hohen Horizont zu tun, der in der Mitte zwischen den Ziffern 2 und 3 verläuft ([Fig. 45]). Eine Person direkt im Vordergrund hat wieder eine Höhe ab, welche = 1½ m ist. Um die Größe der in c' befindlichen Figur zu bestimmen, verschaffen wir uns die durch c gehende Parallelebene zur Tafel, da in dieser ganzen Ebene die Figur gleichgroß ist. Wir ziehen also durch c' die Parallele zur Grundlinie, gehen dann an der Mauer senkrecht herunter und wieder parallel zur Grundlinie weiter, bis wir nach p' gelangen. Die Vertikale in p' schneidet aus der Linie CA den Punkt q' aus. p'q' ist wieder die Größe einer menschlichen Figur in der Tiefe p'. Die Figur in c' ist aber ebensogroß zu zeichnen, also muß c'd' = p'q' sein.

Fig. 46.

Bringen wir die Linien ab und p'q' in t' und r' mit dem Horizont zum Schnitt, so ist

ab : at' = p'q' : p'r' = 3 : 5.

Es beträgt also die Höhe jeder auf der Grundebene stehenden Figur ⅗ der Höhe bis zum Horizont. Dies ist wiederum der vorige [Satz 21].

Weiß man umgekehrt nicht, wie hoch der Horizont ist, so kann man die Augenhöhe ungefähr bestimmen, wenn eine menschliche Figur ab unmittelbar im Vordergrund gegeben ist. So könnte man in unserer [Figur 45] durch Schätzung oder Abmessung finden, daß die Augenhöhe fünfmal so groß ist als der dritte Teil von ab. Da für ab mittlere Manneshöhe 1,50 m angenommen werden darf, so ist der dritte Teil davon 50 cm, und für die Augenhöhe at' ergibt sich als Zahlenwert 5 × 50 cm = 2,50 m.

3. Fall. Die Augenhöhe sei 1,50 m; man bestimme die Größe einer menschlichen Figur, die sich in c' auf einer Mauer befindet.

Eine unmittelbar im Vordergrund befindliche Person ab reicht jetzt gerade bis an den Horizont. ([Fig. 46].) (Wollten wir uns noch genauer ausdrücken, so könnten wir sagen, daß der Horizont die Augen aller auf der Grundebene stehenden Personen enthalten müsse.) In der Figur sind einige Meßlatten gezeichnet, die senkrecht auf der Grundebene stehen. Dann schneidet der Horizont auf jeder Latte 1,50 m ab. Sind die Latten in halbe Meter geteilt, so geht er also immer durch das Ende des dritten Abschnittes. Um die Figur in c' zu zeichnen, legen wir wieder durch c die Parallelebene zur Tafel, also durch c' die Parallele zur Grundlinie, gehen an der Mauer senkrecht herunter und parallel zu gg weiter, so daß wir nach p' gelangen. Die in p' errichtete Senkrechte schneidet den Horizont in q'. Die in c' befindliche Figur ist also = p'q' zu machen, so daß ihre Größe c'd' = p'q'. Sie wird an den Füßen von der Mauerkante überschnitten.

Wenn wir zu einer Architektur eine Figur als Staffage beifügen, so ist damit die Größe der Architektur festgelegt. Zeichnen wir die Staffagefigur klein, so nimmt die Architektur dadurch große Formen an und umgekehrt wird sie durch eine große Figur verkleinert.

26. Endlich wollen wir noch einen etwas komplizierteren einzelnen Gegenstand darstellen in

Aufgabe 15. Einen in Grund- und Aufriß gegebenen Pfeiler darzustellen, wenn die Vorderfläche des Sockels in der Bildebene liegt.

Der Grundriß P₁ ist in der Verschiebung gegeben ([Fig. 47]), der Aufriß P₂ befindet sich nicht senkrecht über dem Grundriß, sondern er wurde nach links hinausgeschoben, um den Platz für die Zeichnung frei zu lassen.

Von dem Sockel liegt die Fläche 1 2 6 5 in der Bildtafel. Wir übertragen zunächst den ganzen Grundriß in das Bild und bauen darüber den Körper auf.

Das Bild 1 2 3' 4' des Quadrates (1)(2)(3)(4) ist sofort zu zeichnen, da 4' sowohl auf der Tiefenlinie 1.A als auch auf der Linie von 2 nach dem Distanzpunkt D₁ liegt. Wir zeichnen weiter die beiden inneren Quadrate. Die Bilder 9' und 13' ergeben sich, wenn man durch (9) und (13) die Tiefenlinien zieht. Außerdem liegen 9' und 13' auf der Diagonale 1.3'.

Der Sockel kann jetzt dargestellt werden; die Tiefenlinien durch 5 und 6 schneiden auf den Vertikalen durch 4' und 3' die Punkte 8' und 7' aus.

Um den Schaft des Pfeilers zu zeichnen, haben wir im Punkte 9' eine Senkrechte von gegebener Länge zu errichten: alle diese Höhen messen wir von der Grundebene aus. Nach [Aufgabe 11] verbinden wir also 9' mit A und erhalten auf der Grundlinie den Hilfspunkt 10; durch diesen ziehen wir eine Vertikale und schneiden auf derselben durch die Parallele im Aufriß die anzutragende Höhe 10.11 ab. Dann schneidet die Linie von 11 nach A auf der Vertikalen durch 9' das Bild 12' der oberen Ecke aus. Die drei übrigen Ecken des Quadrates ergeben sich durch Parallele und Tiefenlinien, und ebenso leicht ist das auf der oberen Fläche des Sockels befindliche Quadrat einzutragen; seine Ecken liegen auf den Diagonalen 5.7' und 6.8'.

Fig. 47.

Nun ist weiter im Punkte 13' die Senkrechte zu errichten. Die Tiefenlinie liefert den Hilfspunkt 14 und 14.15 ist die auf der Vertikalen anzutragende Strecke. So ergibt sich das Bild 16' des vorletzten Quadrates. Der Punkt 17 endlich liefert in 18' eine Ecke der Deckfläche. Beide Quadrate sind leicht zu vervollständigen. Der Punkt 12' gibt mit 16' verbunden das Bild des Gehrungsprofiles. Verschafft man sich das Bild 19' des Punktes 19, so kann man die Kontrolle benutzen, daß die vier Linien 16'.12' usf. durch 19' gehen.

Anmerkung. Statt die Bildebene durch die vordere Fläche des Sockels zu legen, könnte man sie auch parallel zu derselben durch die Achse des Körpers legen. Die Schnittfigur der Bildebene mit dem Pfeiler stimmt dann mit dem Aufriß P₂ überein. Es läßt sich aus diesem Schnitt ebenfalls das Bild des Pfeilers leicht herstellen, ohne daß man nötig hat, eine Verschiebung zu benutzen. Wir empfehlen die Ausführung dem Leser.

Aufgabe 16. Einen in Grund- und Aufriß gegebenen Pfeiler darzustellen, der beliebig auf der Grundebene steht, wenn eine Kante des Sockels in der Bildtafel liegt.

Der Grundriß P₁ sei wieder in der Verschiebung gegeben, [Fig. 48], der Aufriß P₂ ist links hinausgeschoben. Wie in [Aufgabe 9], [Fig. 28], zeichnen wir zunächst vermittels der Umlegung D₃ des Auges die Fluchtpunkte f_a und f_b der beiden Richtungen (A) und (B). Ferner wollen wir noch den Fluchtpunkt der Diagonale 1.3 konstruieren, d. h. wir ziehen durch D₃ eine Parallele zur Verbindungslinie 1.3, welche den Horizont in D_g trifft. Dieser Fluchtpunkt D_g heißt auch der Diagonalpunkt und es ist vielfach, z. B. bei Gehrungen, nützlich, ihn einzuführen.

Zunächst übertragen wir wieder den ganzen Grundriß in die Perspektive. Die durch 1 gehende Kante des Sockels liegt in der Bildebene. Das Bild des Vierecks 1 2 3 4 kann gezeichnet werden, sobald von einer weiteren Ecke das Bild ermittelt ist. Wir benutzen etwa die Spur 5 der Verbindungslinie 2.3. Verbinden wir 5 mit f_a, so schneidet diese Linie auf der Linie 1.f_b das Bild 2' aus. Die Ecke 3' aber wird erhalten als Schnittpunkt von 1.D_g mit der Linie 5.f_a. Endlich gibt die Linie f_b.3' in ihrem Schnitt mit f_a.1 den Punkt 4'. In ähnlicher Weise kann man die Bilder der beiden inneren Quadrate ermitteln.

Um jetzt den Körper der Höhe nach aufzubauen, bestimmen wir auf der Vertikalen durch 1 ohne weiteres die Ecke 6, da die Länge 1.6 im Aufriß ja gegeben. Die drei anderen Ecken der Deckfläche des Sockels sind auf den Vertikalen durch 2', 3' und 4' ohne Schwierigkeit zu finden. Die übrigen Höhenabmessungen können wir unter Benutzung der Vertikalen 1.6 und des Diagonalpunktes D_g gewinnen, da doch alle durch D_g gehenden Linien die Bilder horizontaler Geraden sind, welche zur Diagonale 1.3 parallel laufen. Infolgedessen liefern die Hilfspunkte 7, 9, 11 aus D_g projiziert auf den betreffenden Vertikalen die Punkte 8', 10', 12'. Die fehlenden Ecken ergeben sich durch Benutzung der Fluchtpunkte f_a und f_b. Die vier schiefen Linien der Gehrung gehen durch den Punkt 14', auf der Achse des Körpers; zu diesem Punkt 14' gelangt man vom Hilfspunkt 13 aus.

Fig. 48.

Auch in diesem Falle wäre es eine gute Übung, den Körper darzustellen unter der Annahme, daß die Bildebene parallel zu der eben benutzten durch die Achse des Pfeilers gelegt wird.

Die Figuren [47] und [48] geben zwei charakteristische Formen perspektivischer Bilder. In [Fig. 47] steht der Körper so zur Bildtafel, daß ein Teil seiner Kanten und Flächen zur Bildebene parallel, der andere Teil der Kanten und Flächen zur Bildebene senkrecht verläuft. Im Bilde selbst treten als wichtigste Linien die Horizontalen und die Tiefenlinien auf. Man sagt, der Körper befinde sich in »Frontstellung« oder »frontal« und nennt die Darstellung eine »Frontansicht« oder (weniger gut) eine »gerade Ansicht«. Im zweiten Falle, der [Fig. 48], sind die Kanten und Flächen des Körpers gegen die Bildebene schräg gestellt; der Körper befindet sich in »Übereckstellung«, und man nennt das Bild eine »schräge Ansicht«. Die Bilder der ersten Art ([Fig. 47]) zeigen wegen der auftretenden Parallelen eine gewisse Einförmigkeit, während bei den Bildern der zweiten Art ([Fig. 48]) die zwei Fluchtpunkte eine reichere Bewegung der Linien bewirken.