§ 9. Schiefe Linien im Raume.
27. Steigende und fallende Gerade im Raume. Bisher haben wir nur Gerade betrachtet, welche entweder parallel oder senkrecht zur Grundebene waren, also horizontale oder vertikale Linien. Gelegentlich kommen aber doch auch Gerade vor, die ganz beliebig im Raume verlaufen, z. B. die Giebellinien eines Daches oder einer Fensterbedachung, die Steigungslinien einer Treppe oder einer ansteigenden Straße. Solche Linien wollen wir als schiefe Gerade bezeichnen.
Ist eine ganz beliebige Gerade A gegeben, [Fig. 49], so denken wir uns durch A die zur Grundebene lotrechte Ebene gelegt, welche aus der Grundebene den rechtwinkligen Riß A1 ausschneidet. Sie ist in der Figur vertikal schraffiert. s sei die Spur der Geraden A. Durch s ziehen wir in dieser schraffierten Ebene eine Parallele X zu A1. Die Gerade A bildet dann mit X einen Winkel α, der sich von X nach aufwärts erstreckt. Von der Geraden A sagen wir nun, sie »steige« im Raume. Dabei betrachten wir denjenigen Abschnitt der Geraden A, der vom Auge O ausgerechnet hinter der Bildtafel liegt und durchlaufen ihn, indem wir in der Spur s beginnen.
Fig. 49.
Den Fluchtpunkt fa der Geraden A finden wir dadurch, daß wir durch das Auge O eine Parallele zu A ziehen und diese mit der Tafel zum Schnitt bringen; es ist also Ofa ∥ A. Wir legen auch durch die Gerade Ofa eine lotrechte Ebene, welche in der Figur ebenfalls vertikal schraffiert ist. Aus einfachen Sätzen folgt, daß diese beiden schraffierten Ebenen parallel sind. Die durch die Gerade Ofa gelegte Vertikalebene möge den Horizont in f, die Grundlinie in f1 schneiden, so daß die Punkte fa, f, f1 auf der vertikalen Schnittlinie dieser Ebene mit der Tafel gelegen sind. Dann tritt der Winkel α nochmals auf, in dem auch ∢ fOfa = α und man erkennt, daß der Fluchtpunkt fa oberhalb des Horizontes gelegen ist.
Fig. 50.
Nehmen wir jetzt eine zweite Gerade B dazu, die aber in der gleichen Vertikalebene liegen und außerdem auch durch s gehen soll. Dagegen möge diese zweite Gerade einen Winkel β mit X bilden, der nach abwärts geht. Diese Gerade B »fällt« dann. Konstruieren wir ihren Fluchtpunkt, so müssen wir durch O eine Parallele zu B konstruieren. Diese Parallele liegt aber in der zweiten, schraffierten Vertikalebene, d. h. fb muß auf der Linie ff1 gelegen sein. Es ist wieder
∢ fOfb = β
und der Fluchtpunkt fb befindet sich unterhalb des Horizontes hh. Diese einfachen Überlegungen geben uns den praktisch wertvollen
Satz 22. »Gerade, welche im Raume steigen, haben einen Fluchtpunkt oberhalb des Horizontes; fällt eine Gerade im Raume, so liegt ihr Fluchtpunkt unter dem Horizont.«
Fig. 50 a.
Man beachte, wie die horizontalen Geraden den Übergang von den steigenden zu den fallenden Geraden bilden und deswegen ihre Fluchtpunkte auf dem Horizonte haben.
Um das gleich an einem Beispiel zu veranschaulichen, ist in [Fig. 50] eine Brücke skizziert. Der mittlere Teil derselben läuft horizontal entsprechend dem Fluchtpunkt f, der vordere Teil der Brücke steigt gegen den Fluchtpunkt fa an, der rückwärtige fällt nach dem Fluchtpunkt fb.
Aus der [Figur 47] entnehmen wir noch weiter folgendes: die beiden parallelen, schraffierten Ebenen werden von der Grundebene geschnitten, also ist
O1f1 ∥ A1.
Andererseits ist aber auch
O1f1 ∥ Of.
Daraus folgt, daß Of ∥ A1 oder mit anderen Worten: f ist der Fluchtpunkt für den Riß A1 der Geraden A. Damit hat sich ergeben:
Satz 23. »Projiziert man den Fluchtpunkt einer schiefen Geraden auf den Horizont, so ist dieser Punkt der Fluchtpunkt für die Projektion der Geraden in die Grundebene.«
Das wurde in der [Figur 50] auch berücksichtigt, indem die 3 Punkte fa, fb, f einer Vertikalen liegen.
Im besonderen kann eine Gerade C in einer Vertikalen Tiefenebene liegen ([Fig. 51]). Dann wird die Lotebene, welche den Riß C1 liefert, eine Tiefenebene und der Riß C1 eine Tiefenlinie. Unsere Betrachtung zeigt ohne weiteres, daß der Fluchtpunkt fc einer solchen schiefen Geraden C auf der Vertikalen durch den Augpunkt liegen muß. Die beiden parallelen Ebenen sind in der [Fig. 51] wieder schraffiert; man mag sich darunter Türen denken, die im vorliegenden Falle unter 90° gegen die Wandfläche geneigt sind, während sie sich in [Fig. 49] weniger weit öffnen. Es folgt also
Satz 24. »Liegt eine schiefe Gerade in einer vertikalen Tiefenebene, so muß ihr Fluchtpunkt auf einer Vertikalen durch den Augpunkt gelegen sein.«
[Fig. 50] gibt in dem Gebäude links ein Beispiel. Die Wand des Hauses, in welcher sich die Türe befindet, ist eine Tiefenebene. Die Giebellinien laufen deswegen nach den Fluchtpunkten Fa und Fb, die auf der Senkrechten im Augpunkt A liegen. Auch die Linien des Türgiebels haben diese Eigenschaft.
Fig. 51.
Aus der [Fig. 49] ziehen wir endlich noch eine Folgerung. Wenn die beiden Geraden A und B gleich geneigt sind gegen die Gerade X oder, was das gleiche ist, gegen die Grundebene, wenn also α = β, so ergibt sich aus den Dreiecken Offa und Offb sofort, daß dann auch
ffa = ffb
oder
Satz 25. »Sind schiefe Gerade im Raume gleich geneigt gegen die Grundebene, so liegen ihre Fluchtpunkte gleich weit vom Horizont entfernt.«
Fig. 52.
In [Fig. 50] ist also
AFa = AFb,
weil die beiden Seiten des Daches doch gleiche Winkel mit der Grundebene einschließen, und da auch rechts
ffa = ffb,
so hat die Brücke zu beiden Seiten der horizontalen Strecke die gleiche Steigung.
Zusatz. Wir fügen hier eine vielbenutzte Konstruktion an. Denken wir uns die wahre Gestalt 1 2 3 4 5 der Seitenwand 1'2'3'4'5' in [Fig. 50 a] herausgezeichnet und konstruieren wir den Schnittpunkt 6 der Diagonalen 2.4 und 1.3, so hat die Figur die Eigenschaften, daß die Verbindungslinie 5.6 parallel zu 1.4 und 2.3 ist und daß sie die Seiten 1.2 und 3.4 in 7 und 8 halbiert. In der perspektivischen Zeichnung läßt sich 6' sofort angeben; 5' liegt also auf der Vertikalen durch 6', was eine Kontrolle gibt und diese Vertikale schneidet weiter die Bilder 8' und 7' der Mitten von 1.2 und 3.4 aus. Ist also z. B. die gegebene Strecke 1'.2' zu halbieren, so hat man nur nötig, irgendein solches vertikales Rechteck zu zeichnen.
Aufgabe 17. Eine Freitreppe darzustellen, wenn die Wangen in Tiefenebenen gelegen sind.
Das Verhältnis der Höhe der Stufe zur Breite sei ½. Das Profil der Treppe ist in [Fig. 52] unten angegeben. Die Stärke der Treppenwange und die Breite der Treppe werden beliebig angenommen. Die Begrenzungslinie A der Wange und die Linien B und C, welche die Stufen bestimmen, bilden drei parallele Linien. Ist fc der Fluchtpunkt für diese Linien, so liegt nach [Satz 24] fc auf einer Senkrechten durch A und es muß auch ([Fig. 51])
Afc = ½ OA
sein. Demgemäß machen wir in [Fig. 52] die in A errichtete Senkrechte Afc = der halben Distanz = AD1/2. Im Punkte 0 der Grundlinie tragen wir die Vorderfläche der Wange an und ziehen durch die beiden oberen Ecken die Linien nach fc. Auf der Tiefenlinie von 0 nach A hat man jetzt den Tiefenmaßstab anzutragen, der in dem Treppenprofil gegeben ist. Wir tragen nach [Aufg. 5] den Maßstab auf der Grundlinie an und projizieren ihn aus D1 auf die Tiefenlinie. So erhält man die Bilder 1', 2', 3', 4' usf. In diesen Punkten sind jetzt nach [Aufg. 11] Höhen zu errichten, die bzw. eine, zwei, drei Stufenhöhen betragen. Wir tragen deswegen auf der durch 0 gehenden Vertikalen einen Maßstab mit einer Einheit gleich einer Stufenhöhe ab; dann liefert die Tiefenlinie 1.A auf der durch 1' gehenden Senkrechten den Punkt I', die durch 2 gehende Tiefenlinie 2.A schneidet auf der durch 2' gezogenen Vertikalen den Punkt II' aus usf. Eine Kontrolle besteht darin, daß alle Punkte I', II', III' … auf einer Geraden B' liegen müssen, die durch fc geht. Gleichzeitig erhält man die auf C' gelegenen Eckpunkte der unteren Treppenkanten. Nun kann man ohne weiteres durch diese Punkte die Horizontalen zeichnen bis zur rechten Treppenwange. Man beachte, daß man auf diejenigen Treppenstufen, die unter dem Horizont liegen, Aufsicht hat, auf die über dem Horizont befindlichen Stufen dagegen Untersicht. In unserer Figur ist, um Raum zu sparen, die Distanz etwas klein angenommen; man wähle sie größer, wodurch das Bild gewinnen wird.
Fig. 53.
Es ist auch nicht uninteressant zu bemerken, daß Linien, welche im Raume steigen oder fallen, im Bilde durchaus nicht zu steigen oder zu fallen brauchen. Das kann man an [Fig. 53] beobachten. Die Fluchtpunkte des Giebels sind fa und fb, aber die Linie x'y' fällt im Bilde, in der Richtung gegen den Fluchtpunkt durchlaufen, während die Gerade xy selbst im Raume offenbar steigt.