14. Der Luftwiderstand der ebenen, rotierenden Fläche.
Die Bewegung des Vogelflügels zum Vogelkörper gleicht annähernd der Bewegung einer um eine Achse sich drehenden Fläche. Für jeden mit der Drehachse parallelen Streifen einer solchen Fläche A, A, B, B in [Fig. 4] entsteht wegen der verschiedenen Geschwindigkeit auch verschiedener Luftwiderstand.
Wenn ein Flügel von der Länge AB = L um die Achse AA sich dreht, so wird, wenn der Flügel überall gleiche Breite hat, der specifische Luftwiderstand mit dem Quadrat der Entfernung von A zunehmen. Teilt man den Flügel parallel der Achse in viele gleiche Streifen und trägt die entsprechenden zu diesen Streifen gehörigen Luftwiderstände als Ordinaten auf, so liegen deren Endpunkte, wie [Fig. 5] veranschaulicht, in einer Parabel AD. Die durch C gehende Schwerlinie der Parabelfläche ABD giebt in C das Centrum des auf den Flügel wirkenden Luftwiderstandes. Der Punkt C liegt auf 3/4 Flügellänge von A entfernt. Man kann, wie in [Fig. 6], hierfür auch eine andere Anschauungsweise zum Ausdruck bringen. Sowie die Parabelordinaten zunehmen, nehmen auch die Querschnitte einer Pyramide zu, ebenso wie die Gewichte von Pyramidenscheibchen, wenn man sich die Pyramide parallel der Basis B, B, B, B in viele gleich starke Platten zerschnitten denkt. Der Schwerpunkt dieser Platten ist der ebenfalls auf der Länge 3/4L von der Spitze A entfernte Schwerpunkt der Pyramide.
Fig. 4.
Fig. 5.
Fig. 6.
Der durch die Fläche ABD in [Fig. 5] dargestellte oder durch den Pyramideninhalt, [Fig. 6], veranschaulichte Gesamtluftwiderstand beträgt 1/3 von demjenigen Luftwiderstand, welcher dem Rechteck ABDE entsprechend entstände, wenn die ganze Flügelfläche mit der Geschwindigkeit ihrer Endkante B sich durch die Luft bewegte. Ist B die Flügelbreite, L die Flügellänge, und c die Geschwindigkeit der Endkante BB, so wird der Luftwiderstand ausgedrückt durch die Formel
W = 1/3 × 0,13 × B × L × c2.
Will man die Formel aber auf die Winkelgeschwindigkeit ω beziehen, so ergiebt sich durch Einsetzen von L2ω2 für c2
W = 1/3 × 0,13 × B × L3 × ω2.
Wenn ein dreieckiger Flügel ABD, [Fig. 7], um eine Kante AD sich dreht, so entsteht nur 1/4 von demjenigen Luftwiderstand, der sich bilden würde, wenn die Breite B auf der ganzen Länge L vorhanden wäre, also nur 1/4 von dem Luftwiderstand, wie im vorigen Falle.
Obwohl also die Dreiecksfläche halb so groß ist, wie das früher betrachtete Rechteck, sinkt der Luftwiderstand auf 1/4 seiner früheren Größe herab, weil gerade an den Teilen der Fläche, welche viel Bewegung haben, also an der Dreiecksspitze, wenig Fläche vorhanden ist.
Fig. 7.
Fig. 8.
Der Beweis läßt sich mit Hülfe niederer Mathematik nicht erbringen und wäre in folgender Weise anzustellen:
Ist wieder ω die Winkelgeschwindigkeit, so hat der Streifen b × dl den Widerstand
0,13 × b × dl × ω2 × l2.
Da L
B = L - l
b oder b = B
L(L - l) = B(1 - l
L), so ist der Widerstand des Streifens
0,13 × B × ω2(l2 × dl - l3
L × dl).
Der Widerstand der ganzen Fläche beträgt
0,13 × B × ω2 ∫0L(l2 × dl - l3
L × dl)
= 0,13 × B × ω2(L3
3 - L3
4),
oder der Luftwiderstand
W = 1
12 × 0,13 × B × ω2 × L3,
also 1/4 von dem Widerstand des Flügels mit gleichmäßiger Breite B. Der Luftwiderstand des Streifchens b × dl hat für die Drehachse das Moment 0,13 × b × dl × ω2 × l3. Hiernach entwickelt sich das ganze Moment
M = 0,13 × B × ω2∫0L(l3 × dl - l4
L × dl),
oder
M = 1
20 × 0,13 × B × ω2 × L4.
Dividiert man dieses Moment durch die Kraft W, so erhält man den Hebelarm M
W = 0,6L.
Das Centrum des Luftwiderstandes liegt mithin bei dreieckigen Flügeln um 0,6L von der Achse entfernt. Bildliche Darstellung der Verteilung des Luftwiderstandes giebt [Fig. 8].