240. Der Hebel.
Das Gesetz des einfachen Hebels heißt: Der Hebel ist im Gleichgewichte, wenn die Kräfte sich verhalten wie umgekehrt die Längen der Hebelarme, also wenn:
P : Q = b : a.
Fig. 309.
Man bildet hieraus nach arithmetischen Sätzen P · a = Q · b, und sagt: Der Hebel ist im Gleichgewichte, wenn das Produkt aus der Kraft mal ihrem Hebelarme gleich ist dem Produkte aus der Last mal ihrem Hebelarme.
Ein solches Produkt aus einer Kraft und ihrem zugehörigen Hebelarme nennt man das statische Moment oder Drehmoment der Kraft.
Dann heißt das Hebelgesetz: Ein Hebel ist im Gleichgewichte, wenn die Momente beider Kräfte einander gleich sind und nach verschiedenen Richtungen wirken.
Das Moment P · a einer Kraft P gibt zugleich die Größe einer Kraft an, welche im Abstande 1 vom Drehpunkt dasselbe leistet, wie die Kraft P im Abstande a. Man ersetzt demnach die Kraft P im Abstande a durch die Kraft P · a im Abstande 1, und die Kraft Q im Abstande b durch die Kraft Q · b im Abstande 1. Dann tritt Gleichgewicht ein, wenn die Kräfte gleich sind, also wenn P · a = Q · b.
Fig. 310.
Wirken mehrere Kräfte auf den Hebel, so bringt jede an ihm ein Drehmoment hervor, dessen Größe gleich ist dem Produkte aus der Kraft mal ihrem Hebelarme. Denkt man sich die Kräfte wieder ersetzt durch Kräfte, die je im Abstande 1 mit gleichem Moment wirken, so hat man wie in [Fig. 310] links vom Drehpunkte im Abstand 1 die Kräfte P1 a1, P2 a2, P3 a3 anzubringen; ihre Resultierende ist, da P3 a3 nach der entgegengesetzten Richtung wirkt = P1 a1 + P2 a2 - P3 a3; ebenso hat man rechts vom Drehpunkt im Abstand 1 Kräfte anzubringen, deren Resultierende = - P4 a4 + P5 a5 - P6 a6 + P7 a7. Dann tritt Gleichgewicht ein, wenn P1 a1 + P2 a2 - P3 a3 = - P4 a4 + P5 a5 - P6 a6 + P7 a7.
Ordnet man diese Momente nach positiven Gliedern, also:
a1 P1 + a2 P2 + a4 P4 + a6 P6 = a3 P3 + a5 P5 + a7 P7,
so heißt das Gesetz: Der Hebel ist im Gleichgewichte, wenn die Summe der Momente der Kräfte, welche den Hebel nach der einen Richtung zu drehen suchen, gleich ist der Summe der Momente der Kräfte, welche den Hebel nach der anderen Richtung zu drehen suchen.
Bringt man alle Momente auf eine Gleichungsseite, also:
a1 P1 + a2 P2 - a3 P3 + a4 P4 - a5 P5 + a6 P6 - a7 P7 = 0,
so heißt das Gesetz: Der Hebel ist im Gleichgewichte, wenn die algebraische Summe aller Momente = 0 ist; dabei sind die Momente mit dem + oder - Zeichen zu nehmen, je nachdem sie den Hebel nach der einen oder nach der anderen Richtung zu drehen suchen.
Fig. 311.
Beispiel: An einem Hebel wirken die aus [Fig. 311] ersichtlichen Kräfte; welche Kraft ist anzubringen, damit der Hebel im Gleichgewichte ist?
Antwort: Die Momentengleichung gibt:
18 · 30 + 10 · 14 - 26 · 3 - 14 · 15 - x · 35 = 0;
hieraus x = 11,2 kg.
Aufgaben:
144. Wenn an einem Hebel auf der einen Seite in den Entfernungen von 18 cm und 33 cm vom Stützpunkte die Kräfte 9 und 11 kg, und auf der anderen Seite die Kraft 15 kg in 20 cm Entfernung wirkt, wo muß noch die Kraft von 10 kg dazugefügt werden, damit Gleichgewicht stattfindet?
145. An einer horizontalen Stange von 64 cm Länge, die an einem Ende in einem Scharnier drehbar ist, hängt am andern Ende eine Last von 20 kg. Mit welcher Kraft drückt sie auf einen Punkt, der 15 cm vom Scharnier entfernt ist, und mit welcher Kraft drückt sie auf das Scharnier selbst?