241. Resultante von Parallelkräften.
Parallelkräfte, welche an einer starren Stange angreifen, haben eine Resultierende, welche den Parallelkräften parallel, und gleich ihrer algebraischen Summe ist.
Fig. 312.
Wirken in zwei starr verbundenen Punkten B und C ([Fig. 312]) zwei parallele Kräfte P1 und P2, so findet man die Mittelkraft auf folgende Art. Man fügt die gleichen und entgegengesetzt wirkenden Kräfte S1 in B und S2 in C hinzu, wodurch, da S1 und S2 sich aufheben, die Wirkung von P1 und P2 nicht geändert wird. Man bilde aus S1 und P1 die Mittelkraft R1, ebenso R2 aus S2 und P2, verlege ihren Angriffspunkt in den Schnittpunkt A ihrer Richtungen, zerlege dort wieder R1 in P1 und S1, R2 in P2 und S2, so heben sich S1 und S2 auf, P1 und P2 geben eine Mittelkraft R = P1 + P2; ihren Angriffspunkt verlegt man nach D, so ist D der Angriffspunkt der Mittelkraft der zwei Parallelkräfte P1 und P2.
Bezeichnet man BD mit x, DC mit y, DA mit h, so ist
x : S1 = h : P1; also S1 h = x P1; ebenso
y : S2 = h : P2; also S2 h = y P2;
hieraus durch Vergleichung: x P1 = y P2 oder
P1 : P2 = y : x = CD : BD.
Dies ergibt den Satz: Wirken zwei Parallelkräfte an den Endpunkten einer starren Strecke, so ist die Mittelkraft parallel den Kräften, gleich der Summe der Kräfte, und ihr Angriffspunkt teilt die Strecke so, daß sich die Teile verhalten umgekehrt wie die Kräfte.
Daraus folgt auch: der Angriffspunkt der Mittelkraft der Parallelkräfte ist auch der Stützpunkt des Hebels BC mit den Kräften P1 und P2.
Fig. 313.
Wirken die Parallelkräfte nicht in gleicher, sondern in entgegengesetzter Richtung, so ändert sich die Ableitung wie aus [Fig. 313] ersichtlich ist.
Man fügt wie vorher die gleichen Kräfte S1 und S2 hinzu, bildet die Mittelkräfte R1 und R2, verlegt ihre Angriffspunkte in den Schnittpunkt A ihrer Richtungen, zerlegt sie dort wieder in ihre Komponenten, so heben sich S1 und S2 auf, während die Komponenten P1 und P2 nun in entgegengesetzten Richtungen wirken, also eine Mittelkraft geben gleich ihrer Differenz R = P1 - P2. Die Richtung von R schneidet die Strecke BC außerhalb der Angriffspunkte der Kräfte und zwar auf Seite der größeren Kraft in D. Bezeichnet man wieder DB mit x, DC mit y, DA mit h, so ist ebenso
x : S1 = h : P1; hieraus x P1 = S1 h;
y : S2 = h : P2; hieraus y P2 = S2h; durch Vergleichung:
x P1 = y P2, oder
P1 : P2 = y : x = DC : DB. Der Angriffspunkt D der Mittelkraft teilt also die Strecke BC äußerlich so, daß die Teilstrecken DC und DB sich umgekehrt verhalten wie die Kräfte.
Fig. 314.
Gleichgewicht kann hergestellt werden, indem man in D eine der Mittelkraft gleiche und entgegengesetzte Kraft anbringt; doch muß D noch starr mit B und C verbunden sein.
Sind die zwei Kräfte P1 und P2 ([Fig. 314]) entgegengesetzt gerichtet und noch dazu einander gleich und macht man dieselbe Ableitung, so ergibt sich, daß die Mittelkräfte R1 und R2 parallel gerichtet sind. Deshalb ergeben ihre Richtungen keinen Schnittpunkt A, also auch keine Mittelkraft. Nennt man „zwei gleiche an zwei starr verbundenen Punkten angreifende und in entgegengesetztem Sinn gerichtete Kräfte ein Kräftepaar“, so hat man den Satz: Ein Kräftepaar hat keine Mittelkraft, kann also durch eine einzige Kraft allein nicht aufgehoben werden.
Erweiterung der vorigen Sätze: die Resultierende beliebig vieler Parallelkräfte ist den Kräften parallel und gleich ihrer algebraischen Summe.
Der Angriffspunkt der Mittelkraft muß so liegen, daß das Drehungsmoment der Mittelkraft gleich ist der Summe der Momente der einzelnen Kräfte, und zwar gleichgültig, wo auch der Drehungspunkt der Stange liege.
Ob es möglich ist, einen Angriffspunkt unter diesen Bedingungen zu finden, ist nicht von vornherein klar. Wir suchen daher zunächst den Angriffspunkt J der Mittelkraft, indem wir einen bestimmten Punkt O als Drehungspunkt annehmen. ([Fig. 315].)
Fig. 315.
Es seien P1, P2, P3, - P4 die Kräfte, so ist die Mittelkraft
R = P1 + P2 + P3 - P4.
Sind a1, a2, a3, a4 die Entfernungen dieser Kräfte vom Drehungspunkte O und OJ = x die Entfernung der Mittelkraft von O, und soll das Moment der Mittelkraft gleich der Summe der Momente der einzelnen Kräfte sein, so muß
R · x = a1 P1 + a2 P2 + a3 P3 - a4 P4; hieraus
OJ = x = a1 P1 + a2 P2 + a3 P3 - a4 P4 P1 + P2 + P3 - P4.
Es läßt sich nun zeigen, daß, wenn die Mittelkraft in dem so bestimmten Punkte J angreift, ihr Moment auch gleich ist der Summe der Momente der Einzelkräfte in bezug auf einen beliebigen anderen Punkt O′. Denn es sei OO′ = c, so ist
R x = a1 P1 + a2 P2 + a3 P3 - a4 P4; aber es ist
R c = c P1 + c P2 + c P3 - c P4; also durch Addition
R (x + c) = P1 (a1 + c) + P2 (a2 + c) + P3 (a3 + c) - P4 (a4 + c).
Aber links steht das Moment der Mittelkraft in bezug auf O′, und rechts steht die Summe der Momente der einzelnen Kräfte auch in bezug auf O′; beide sind gleich.
Der Angriffspunkt J der Mittelkraft mehrerer Parallelkräfte oder deren Schwerpunkt kann demnach auf obige Art gefunden werden, indem man zunächst einen beliebigen Punkt O als Drehpunkt annimmt; die Gleichheit der Momente gilt dann von selbst für jeden anderen Punkt O′.
Rückt man nun den Punkt O nach J, nimmt man also den Angriffspunkt der Mittelkraft als Drehpunkt, so ist in bezug auf ihn das Moment der Mittelkraft gleich Null, da die Mittelkraft durch den Punkt selbst geht, also keinen Hebelarm, einen Hebelarm = 0 hat. Folglich ist auch die Summe der Momente der einzelnen Kräfte in bezug auf J gleich Null. Das bedeutet aber, daß der Hebel in bezug auf J als Drehpunkt im Gleichgewichte ist. Wir schließen also: der Schwerpunkt mehrerer paralleler Kräfte ist zugleich Stützpunkt des Hebels und umgekehrt.
Aufgaben:
146. An den Enden einer Stange von a = 80 cm Länge wirken die Parallelkräfte P = 56 kg und Q = 72 kg. Wo ist die Stange zu stützen?
147. Eine Stange von der Länge l ist an beiden Endpunkten gestützt. Wenn sie nun in der Entfernung a vom einen Ende mit Q kg belastet ist, wie verteilt sich diese Last auf die beiden Stützen? Wo muß die Last angebracht werden, damit sich die Belastungen wie 2 : 3, wie p : q verhalten?
148. Eine Last von 100 kg soll auf eine horizontale, an beiden Enden gestützte Stange von 1,5 m Länge so gelegt werden, daß der eine Stützpunkt nur einen Druck von 20 kg erfährt. Wo ist die Last anzubringen?
149. Ein Balken hat bei 5,2 m Länge 128 ℔ Gewicht, die in seiner Mitte angreifen, ist an beiden Enden fest aufgelegt und 2,4 m vom einen Ende noch mit 280 ℔ belastet. Welchen Druck übt er auf jede Stütze aus?
150. An einem Balken von der Länge l, der an beiden Enden gestützt ist, wirken in den Abständen a1, a2, a3, a4 je vom linken Endpunkt aus gerechnet die Gewichte P1, P2, P3, P4. Welchen Druck hat jede Stütze auszuhalten?
151. An einem Hebel wirken folgende Kräfte: Am einen Ende 50 kg, 20 cm davon entfernt 60 kg, weitere 15 cm davon 125 kg, weitere 30 cm davon 4 kg und weitere 16 cm davon 80 kg. Wo muß der Hebel gestützt werden, wenn alle Kräfte in derselben Richtung wirken, und wo, wenn die 2. und 4. Kraft nach entgegengesetzten Richtungen wirken?
152. An einer Stange wirken folgende Parallelkräfte: am einen Ende 40 kg, 12 cm davon 70 kg, weitere 20 cm davon 50 kg nach aufwärts, weitere 23 cm davon 60 kg nach abwärts und weitere 23 cm davon 35 kg nach abwärts. Wo und wie stark muß sie gestützt werden?
153. Ein Balken von 4,8 m Länge ist an beiden Enden unterstützt. Er ist in mehreren Punkten belastet, und zwar 0,6 m, 1,4 m, 2,2 m, 3 m je vom linken Endpunkt mit 120 kg, 250 kg, 75 kg, 140 kg. An welchem Punkte dürfen diese Belastungen vereinigt werden, wenn der Druck auf die Stützen sich nicht ändern soll?
154. Ein an beiden Enden unterstützter Balken von 3,6 m Länge ist 1,2 m vom linken Ende schon mit 100 kg belastet. Wo muß eine weitere Last von 150 kg angebracht werden, damit die Belastungen der beiden Stützen gleich werden?