256. Schiefe Ebene.
Fig. 337.
Wirkt eine Kraft auf einen Körper in einer Richtung, in der sich der Körper nicht bewegen kann, so zerlegt sich die Kraft in zwei Seitenkräfte (Komponenten); die eine wirkt in der Richtung, in der sich der Körper bewegen kann, die andere wirkt senkrecht dazu. Liegt ein Körper auf einer schiefen Ebene, so wirkt auf ihn die Schwerkraft Q, sein Gewicht; sie zerlegt sich in die zwei Komponenten: P parallel der schiefen Ebene, und D senkrecht zu ihr; die erste Komponente bewirkt eine Bewegung längs der schiefen Ebene, Bewegungskomponente, die zweite einen Druck auf die Ebene, Druckkomponente. Die Größe der Komponenten findet man durch das Kräfteparallelogramm, das mit KJ = Q als Diagonale zu konstruieren ist. Man bezeichnet AB mit l (Länge der schiefen Ebene), BC mit h (Höhe), AC mit b (Basis), so ist △ JKL ~ △ ABC also
P : Q = BC : AB = h : l,
d. h. es verhält sich die parallel der schiefen Ebene wirkende Komponente zur Last wie die Höhe der schiefen Ebene zur Länge; auch ist P Q = h l = sin α; P = Q sin α. Ferner:
D : Q = AC : AB = b : l, d. h. der Druck verhält sich zur Last wie die Basis zur Länge, oder
D Q = b l = cos α; D = Q cos α.
Will man den Körper auf der schiefen Ebene ruhig erhalten, so muß man eine der Kraft P gleiche Kraft parallel der schiefen Ebene nach aufwärts anbringen. Diese Kraft wächst mit der Steigung. Ist die Steigung gering, wie bei Straßen, wo sie nur selten 8% erreicht (BC : AC = 8 : 100), so kann man, ohne nennenswerten Fehler statt AB auch AC setzen; dann ist P Q = BC AB = BC AC = 8 100, also P = 8 100 Q. Zur Überwindung der Steigung von 4% ist demnach bei einem Wagen von 3500 kg Gewicht eine Kraft von 4100 · 3500 kg = 140 kg erforderlich.
Die Arbeit, die man aufwenden muß, um einen Körper mittels der schiefen Ebene auf eine gewisse Höhe zu bringen, ist stets dieselbe, ob die schiefe Ebene schwach oder stark geneigt ist. Dies beweist man folgendermaßen:
Fig. 338.
Ist keine Reibung vorhanden, so ist die erforderliche Kraft P = Q · h l, der Weg = l; also ist die Arbeit = Q · h l · l = Q · h. Sie ist nur von h abhängig, also für jede Größe von l gleich groß und ebenso groß, wie wenn man den Körper von C nach B auf die Höhe h hebt.
Ist jedoch Reibung vorhanden, so ist sie anzusehen als eine Kraft, die der Richtung der Bewegung entgegengesetzt ist; sie ist abhängig auch vom Drucke und ihm proportional. Man nennt das Verhältnis der Reibung zum Druck den Reibungskoeffizienten c. Er beträgt für einen Wagen, der sich auf einer gewöhnlichen Landstraße bewegt, zka. 1⁄7, so daß zum Bewegen eines Wagens von 1200 kg Gewicht eine Kraft von 1⁄7· 1200 = 170 kg notwendig ist. Wird die Last Q längs der schiefen Ebene von A nach B bewegt, so ist der Druck auf die schiefe Ebene = Q · b l, also die Reibung = c · Q · b l; dazu kommt die Komponente P = Q h l; also ist die Gesamtkraft c · Q b l + Q h l erforderlich; da der Weg = l, so ist die
Arbeit (AB) = (c Q b l + Q h l) · l = c Q b + Q h.
Wird nun der Körper von A nach C und dann nach B bewegt, so ist von A nach C die Reibung zu überwinden = c Q, der Weg = b, also Arbeit (AC) = c Q b; dann ist die Last Q über die Höhe h zu heben; also Arbeit (CB) = Q h. Die Summe beider Arbeiten ist gleich der von A nach B.
Liegt ein Körper auf einer schiefen Ebene, so wirkt die Komponente P der Schwerkraft parallel der schiefen Ebene nach abwärts; aber die Reibung wirkt dieser Kraft entgegen. Ist diese Komponente kleiner als die Reibung, so bleibt der Körper auf der schiefen Ebene liegen und zur Bewegung nach abwärts muß noch eine Kraft = c Q cos α - Q sin α angebracht werden (nach aufwärts eine Kraft c Q cos α + Q sin α). Ist die Komponente größer als die Reibung, so bewegt sich der Körper nach abwärts mit der Kraft Q sin α - c Q cos α. Ist die Komponente gleich der Reibung, so bleibt der Körper gerade noch auf der schiefen Ebene liegen. Der Winkel α, bei dem das stattfindet, berechnet sich aus der Gleichung c Q cos α - Q sin α = 0; also tg α = c; diesen Winkel nennt man den Reibungswinkel; umgekehrt kann man aus der Größe des Reibungswinkels den Reibungskoeffizienten berechnen.
Fig. 339.
Man erkennt leicht die Richtigkeit folgenden allgemeinen Satzes: Ist ein Körper auf einer Ebene und wirken auf ihn beliebig Kräfte in verschiedenen Richtungen, so bleibt er in Ruhe, wenn die Resultierende sämtlicher Kräfte senkrecht steht auf der Ebene und gegen sie gerichtet ist; denn die Ebene übt dann einen gleich großen Gegendruck in entgegengesetzter Richtung aus, wodurch Gleichgewicht hergestellt wird.
Hiermit behandeln wir den Fall, wenn eine Kraft P angebracht werden soll, die parallel der Basis wirkt ([Fig. 339]). Die Resultierende von P und Q muß senkrecht stehen zur schiefen Ebene. Man findet P = Q tg α = Q h b, oder P : Q = h : b; Kraft verhält sich zur Last, wie Höhe zur Basis.
Liegt die Last auf der schiefen Ebene und hält man sie mittels eines Strickes, dem man verschiedene Richtung geben kann, so findet man die Größe der erforderlichen Kräfte durch Zeichnung der Kräfteparallelogramme, deren Diagonale senkrecht zur schiefen Ebene steht. ([Fig. 340].) Unter diesen Kräften P, P′, P′′ . . . . ist diejenige die kleinste, die ∥ der Ebene wirkt, die bekannte Komponente P = Q sin α.
Fig. 340.
Fig. 340a.
Man kann das Problem der schiefen Ebene auch noch auf folgende Art behandeln. Liegt ein Körper auf einer schiefen Ebene, so wirkt auf ihn sein Gewicht in vertikaler Richtung, Q = KJ. Er drückt damit auf die schiefe Ebene und diese übt einen Gegendruck D aus, welcher erfahrungsgemäß senkrecht zur schiefen Ebene steht. Auf den Körper wirken demnach zwei Kräfte, Q und D, und da die Richtung der Resultierenden erfahrungsgemäß längs der schiefen Ebene nach abwärts geht, so kann man die Resultierende mittels des Kräfteparallelogramms finden. Man macht JL ∥ KE und LC ∥ JK, so ist die Größe der Resultierenden P = KL und die des Gegendruckes D = KC. Man beweist leicht, daß P = Q sin α, D = Q cos α. Die Kraft R erscheint nun als Resultierende der Schwerkraft Q und des elastischen Gegendruckes D der schiefen Ebene.
Ebenso kann man in den zwei folgenden Kapiteln die durch Einwirkung der Kraft Q hervorgerufenen Gegendrücke P und P als Kräfte auffassen, deren Resultierende im Falle des Gleichgewichtes gleich und entgegengesetzt Q sein muß.
Aufgaben:
170. Welche Kraft braucht man, um eine Last von 510 kg auf einer schiefen Ebene zu halten, welche bei 10 m Länge um 115 cm steigt? Wie groß muß diese Kraft sein, wenn sie parallel der Basis wirkt, oder wenn sie unter 20° nach aufwärts (oder nach abwärts) gerichtet ist?
171. Welche Kraft parallel der schiefen Ebene braucht man, um einen Körper von 160 kg Gewicht auf einer schiefen Ebene von 34° Neigung zu halten, wenn die Reibung 1⁄8 beträgt? Welche Arbeit leistet man, wenn man ihn 260 m längs der schiefen Ebene nach aufwärts bringt?
172. Eine Kugel von k kg Gewicht liegt auf einer schiefen Ebene von α° Neigung und lehnt sich dabei an ein Brett, welches am Fuße der schiefen Ebene in vertikaler Richtung aufgestellt ist. Welchen Druck übt die Kugel auf die schiefe Ebene und welchen auf das Brett aus?
173. Eine Last von 145 kg liegt auf einer schiefen Ebene von 20° Neigung und wird gehalten durch einen Strick, der unter 45° nach abwärts geneigt ist. Welche Kraft muß längs des Strickes wirken und wie stark drückt die Last auf die schiefe Ebene?
174. Welche Kraft ist erforderlich, und welche Arbeit wird geleistet, wenn ein Wagen von 27 Ztr. Gewicht auf einer Straße von 51⁄2% Steigung und 1⁄8 Reibung 265 m weit nach aufwärts (nach abwärts) gefahren wird?
175. Ein Steinblock von 15 Ztr. Gewicht soll über eine schiefe Ebene von 20° Steigung heraufgeschleift werden. Er wird an einem Seil befestigt, welches parallel der schiefen Ebene läuft und sich an der Seiltrommel eines Haspels aufwickelt. Der Durchmesser der Seiltrommel ist 28 cm, die Kurbellänge 54 cm. Mit welcher Kraft wird das Seil gespannt, wenn der Stein auf der schiefen Ebene eine Reibung hat, die 1⁄3 des Druckes beträgt und welche Kraft muß an der Kurbel wirken, um den Stein heraufzuschleifen, wenn im Haspel noch 10% durch Reibung verloren gehen?
Fig. 341.