Philosophical transactions, Vol. L. Part II. For the year 1758. / Giving some account of the present undertakings, studies, and labours, of the ingenious, in many considerable parts of the world.

by Various; Royal Society

PROPOSITIO III.

Problema.

Motum nodorum Lunæ supra determinatum ad Eclipticam reducere.

Sunto NAD (Fig. [5].) æquator, AGE ecliptica secans æquatorem in A, E æquinoctium vernum, A autumnale, LGN orbis lunæ secans eclipticam in G et æquatorem in N, LD circulus maximus perpendicularis in æquatorem; et sunto DN, LN, quadrantes circuli. Tempore dato vi prædictâ transferratur intersectio N in n, et describatur circulus Lgn exhibens situm orbis lunaris post illud tempus, secetque eclipticam in g. Ut autem intersectiones N et G sine verborum ambagibus distinguantur, priorem in posterum vocabo Nodum Æquatorium, posteriorem Nodum Eclipticum. Ductis itaque Nm, Gd, perpendicularibus in orbem lunæ, est Nn: Nm ∷ 1: sin. GNA, et Nm : Gd ∷ 1 : sin. LG, itemque Gd: Gg ∷ sin. Ggd: 1; unde conjunctis rationibus provenit Nn: Gg∷ sin. Ggd : sin. GNA × sin. LG, adeoque Gg = Nn × sin. GNA × sin. LG ⁄ sin. Ggd. Scribantur s pro sinu et t pro cosinu anguli Ggd, inclinationis scilicet orbitæ lunaris ad eclipticam, ad radium 1, v pro sinu et u pro cosinu arcûs EG, p pro sinu et q pro cosinu obliquitatis eclipticæ; atque per resolutionem trianguli sphærici GAN, habebitur cos. GNA = n = qt + psu, indeque sin. GNA = √1 - qqtt - 2pqstu - p² s² u²; sed scribi potest 1 pro t, et rejici terminus p² s² u² ob exiguitatem sinûs s anguli 5° 8´ ½, proindeque erit sin. GNA = √pp - 2pqsu; prætereà est sin. GNA: sin. GA sive v ∷ sin. GAN sive p: sin. GN, ideoque sin. GN sive cos. LG = pv ⁄ sin. GNA, et sin. LG = u - qsvv ⁄ p, ac sin GNA × sin. LG = pu - qs quamproximé. Quarè fit Gg = Nn × pu - qs ⁄ s, atque hic est motus nodorum lunarium tempore dato in plano eclipticæ: quod si tempus illud datum sit annus solaris, habetur Nn = 3bcn ⁄ 5l² × S ⁄ L × 360°, unde motus ille eclipticus nodorum annuus, nullâ habitâ ratione mutationis sitûs nodorum ex aliâ causâ per id temporis factæ, fiet 3bc ⁄ 5l² × (qt + psu) × pu - qs ⁄ s × S ⁄ L × 360°, vel etiam 3bcq ⁄ 5l² × pu - qs ⁄ s × S ⁄ L × 360° proximé. Q. E. I.

Quo motum nodi lunaris in hac propositione ad eclipticam reduximus, eodem prorsùs ratiocinio motus nodi satellitis cujusvis ad orbitam planetæ primarii reducetur.

Coroll. I.

Exinde liquet nullum esse hunc motum nodi, ubi sin. LG = 0, vel etiam ubi pu = qs, quod contingit ubi orbitæ lunaris arcus GN eclipticam et æquatorem æqualis est 90°, sive ubi nodi lunares versantur in punctis declinationis lunaris maximæ, sive ubi arcus AG, cujus cosinus est u, evadit æqualis 78° 5´, id est, ubi nodus ascendens lunæ versatur in 11° 55´ Cancri, vel 18° 5´ Sagittarii. Eritque progressivus hic motus, id est, fiet secundum seriem signorum, dum nodus ascendens lunæ transit retrocedendo ab 18° 5´ Sagittarii ad 11° 55´ Cancri, regressivus autem in reliquâ parte revolutionis; et maximus evadit motus regressivus, ubi u = -1, id est, ubi nodus ascendens versatur in principio Arietis; et maximus progressivus, ubi u = 1, id est, ubi idem nodus occupat initium Libræ. Itaque cùm motus ille nodorum annuus, de quo hîc agitur, universaliter sit æqualis 3bcq ⁄ 5l² × pu - qs ⁄ s × S ⁄ L × 360°, hoc est, per Coroll. Prop. 2. æqualis 11´´ ½ × pu - qs ⁄ s vel 15´´ × pu - qs ⁄ s prout differentia semiaxium terræ fuerit 1 ⁄ 229 vel 1 ⁄ 177, existentibus scilicet p sinu et q cosinu anguli 23° 28´ ½, atque s sinu anguli 5° 8´ ½; eo anno, in cujus medio circiter nodus lunæ ascendens tenuerit principium Arietis, motus nodorum regressivus, qui et maximus, erit 1´ 2´´ vel 1´ 20´´; ubi verò idem nodus subierit signum Libræ, motus maximus progressivus erit 41´´ vel 53´´. In aliis nodorum positionibus eodem modo computabitur.

Coroll. II.

Si desideretur excessus regressûs nodi supra progressum in integrâ nodi revolutione, sequenti ratione investigabitur. Jungantur equinoctia diametro EA, in quam demittatur perpendiculum GK, et sumpto arcu Gh quem describit nodus eclipticus G quo tempore nodus equatorius N describit arcum Nn, ducatur hc perpendicularis in GK. Per hanc propositionem est Gg. Nn ∷ pu - qs ⁄ s. 1, sive, quia est 1. u ∷ Gh. Gc, fit Gg. Nn ∷ p × Gc ⁄ s - q × Gh. Gh; adeoque summa omnium Gg erit ad summam omnium Nn, hoc est, motus nodi ecliptici in integrâ sui revolutione erit ad motum nodi æquatorii eodem tempore factum, ut summa omnium in circulo quantitatum p × Gc ⁄ s - q × Gh ad summam totidem arcuum Gh, hoc est, ut - q ad 1. Signum autem—denotat motum fieri in antecedentia sive regressum nodi excedere ejusdem progressum. Unde cum motus nodi æquatorii N fit 11´´ ½ vel 15´´ quo tempore nodus eclipticus describit 19° 20´ ½, motus ille nodi æquatorii tempore nodi ecliptici periodico evadit 11´´ ½ × 360° ⁄ 19° 20´ ½ = 3´ 34´´ vel 15´´ × 360° ⁄ 19° 20´ ½ = 4´ 39´´; quo pacto prodit motus nodi ecliptici præfatus æqualis q × 3´ 34´´ vel q × 4´ 39´´, proindeque est radius ad cosinum obliquitatis eclipticæ ut 3´ 34´´ vel 4´ 39´´ ad motum quæsitum, nempe 3´ 16´´, existente 1 ⁄ 229 differentiâ axium terræ, vel 4´ 16´´ eâ existente 1 ⁄ 177: atque hic est excessus regressûs nodi supra progressum in integrâ nodi revolutione vi prædictâ genitus. Excessu igitur hoc minuatur motus nodi lunaris periodicus 360°, et remanebit motus ille quem generat vis solis.