PROPOSITIO IV.
Problema.
Variationem inclinationis orbis lunaris ad planum eclipticæ ex figurâ terræ spheroidicâ ortam determinare.
Esto ANH (Fig. [6].) æquator, AG ecliptica, et A punctum æquinoctii autumnalis: fit NGRM orbis lunæ secans eclipticam in G et æquatorem in N, in quo sumantur arcus NL, GR, æquales quadrantibus circuli. Jam si nodus æquatorius N per temporis particulam vi prædictâ transferri intelligatur in n, et per punctum L describatur circulus nLr, exhibebit hic situm orbis lunæ post tempus elapsum, et si in eumdem demittantur perpendicula Nm et Rr, posterius Rr designabit variationem inclinationis orbitæ lunaris ad eclipticam eodem tempore genitam. Est autem Nn : Nm ∷ 1: m, itemque Nm: Rr∷ 1: sin. LR; sed ob NL = GR, est NG = LR; unde conjunctis rationibus est Nn: Rr∷ 1: m × sin. NG; ex quo patet variationem inclinationis momentaneam esse proportionalem sinui distantiæ nodi lunaris ecliptici à nodo æquatorio. Ad diametrum NM demittatur perpendiculum GK, et existente Gh decremento arcûs NG facto quo tempore nodus æquatorius N describit arcum Nn, agatur hk parallela ipsi GK, eritque 1: GK sive sin. NG∷ Gh. Kk; proindeque jam erit Nn: Rr ∷ Gh : m × Kk, adeoque summa omnium variationum Rr, quo tempore nodus eclipticus G descripsit arcum MG, genitarum erit ad summam totidem motuum Nn, hoc est, ad motum nodi æquatorii N eodem tempore factum, ut summa omnium Kk ducta in m, ad summam totidem arcuum Gh, id est, ut m × MK ad MG. Sit NH motus nodi N tempore revolutionis nodi G ab uno equinoctio ad alterum, eritque variatio inclinationis eodem tempore genita, hoc est, variatio tota æqualis 2m × NH ⁄ MGN. Unde cùm NH ⁄ MGN exprimat rationem motûs nodi æquatorii ad motum nodi ecliptici, prodit theorema sequens: Est motus nodi lunaris ecliptici ad motum nodi æquatorii, ut sinus duplicatus inclinationis mediocris orbitæ lunaris ad æquatorem, ad sinum variationis totius inclinationis ejusdem orbitæ ad eclipticam.
In hoc computo inclinationem mediocrem orbis lunaris ad æquatorem, nempe 23° 28´ ½, usurpo, cum in revolutione nodi tantum ex unâ parte augetur, quantum ex alterâ minuitur, et omnes minutias hîc expendere supervacaneum foret. Motus autem nodi lunaris ecliptici est ad motum nodi lunaris æquatorii ut 19° 20´ ½ ad 11´´ ½ vel 15´´, sive ut 6055 vel 4642 ad 1, unde per theorema supra traditum prodit variatio inclinationis tota æqualis 27´´ vel 35´´, prout differentia axium terræ statuitur 1 ⁄ 229 vel 1 ⁄ 177. Hac igitur quantitate augetur inclinatio orbis lunaris ad eclipticam in transitu nodi ascendentis lunæ ab æquinoctio vernali ad autumnale, et tantumdem minuitur in alterâ medietate revolutionis nodi. In loco quolibet G inter æquinoctia variatio inclinationis est ad variationem totam ut sinus versus arcûs MG ad diametrum, ut patet; sive differentia inter semissem variationis totius et variationem quæsitam est ad ipsam semissem variationis totius ut cosinus arcûs MG ad radium, hoc est, ut u - qsvv ⁄ p ad 1. Q. E. I.