APPENDICE AU CHAPITRE II
(NON EXIGÉ).
100. Cartes marines, dites de Mercator. Les cartes dont on se sert pour la navigation diffèrent des précédentes: voici leur mode de construction.
On imagine un globe terrestre géographique sur lequel sont tracés une série de méridiens et de parallèles équidistants, aussi rapprochés que l'on veut. On trace sur le papier une droite E'E dont on suppose la longueur égale à celle de l'équateur du globe. On divise E'E en autant de parties égales que ce même équateur, en 18 parties par exemple; par tous les points de division, on mène des perpendiculaires à E'E (fig. 45); il y a alors autant de bandes parallèles sur le papier que de fuseaux sphériques sur le globe. Chacun de ces derniers est divisé en un certain nombre de quadrilatères ABCD, MNPQ... Si les méridiens et les parallèles, qui se coupent à angle droit, sont suffisamment rapprochés, on peut regarder approximativement chacun de ces quadrilatères, par ex. MNPQ, comme un rectangle ayant pour base MN et pour hauteur MP. Le mode de construction de la carte consiste à représenter, en procédant par ordre, de l'équateur au pôle, les divers rectangles de chaque fuseau sphérique par des rectangles respectivement semblables, disposés à la suite les uns des autres dans la bande parallèle correspondante à ce fuseau. Tous les rectangles de la carte auront des bases égales; mn = AB (fig. 45), tandis que ceux du, fuseau ont des bases constamment décroissantes de l'équateur au pôle (V. la fig. 44). Pour obtenir la similitude de chaque rectangle MNPQ et du rectangle mnpq qui le représente sur la carte, on prend la hauteur mp du rectangle de la carte quatrième proportionnelle aux lignes connues MN, MP, mn (MN = MP cos. latit.); il faut donc faire un calcul ou une construction pour la hauteur de chaque rectangle d'un fuseau. Ces hauteurs trouvées, on les porte dans leur ordre sur une des lignes du cadre, à droite ou à gauche; puis, par l'extrémité de chacune d'elles, on mène une parallèle à E'E. Le canevas est tracé; les méridiens y sont représentés par les droites parallèles à y'Ey', et les parallèles par les droites parallèles à E'E; les longitudes se marquent sur une parallèle à E'E, et les latitudes sur les deux perpendiculaires extrêmes y'Ey', yE'y.
101. Remarque. Les rectangles de la carte considérés dans un sens ou dans l'autre, à partir de l'équateur, vont, en s'allongeant indéfiniment; vers les pôles leurs hauteurs deviennent excessivement grandes. Ce fait s'explique aisément; en effet, toutes les hauteurs des rectangles du globe terrestre sont égales; exemple: AC = MP; chacune d'elles est, par exemple, un degré du méridien: les bases AB...MN, de ces rectangles vont en décroissant indéfiniment de l'équateur au pôle (car MN = AB × cos. latit., et par suite MP = AB = MN ÷ cos. latit.). La hauteur constante, un degré du méridien, devient donc dans les rectangles successifs de plus en plus grande par rapport à la base (V. le globe). Le rapport de la hauteur de chaque rectangle à sa base étant le même sur la carte que sur le globe, et la base restant constante sur la carte, ab = mn, il en résulte que sur celle-ci, les hauteurs ac, mp... (mp = mn ÷ cos. latitude) doivent aller en augmentant indéfiniment; ce qui fait que les rectangles s'allongent de plus en plus, à mesure qu'on s'éloigne de l'équateur. Dans les régions polaires les rectangles tendent à devenir infiniment longs. On ne doit donc pas chercher à se faire une idée de l'étendue superficielle d'une contrée par sa représentation sur une pareille carte; on se tromperait gravement. Les marins, qui ne cherchent sur la carte que la direction à donner à leur navire, trouvent à ces cartes un avantage précieux que nous allons indiquer.
102. Pour aller d'un lieu à un autre les navigateurs ne suivent pas un arc de grand cercle de la sphère terrestre; cette ligne, la plus courte de toutes, a le désavantage de couper les divers méridiens qu'elle rencontre sous des angles différents; ce qui compliquerait la direction du navire. Les marins préfèrent suivre une ligne nommée loxodromie qui a la propriété de couper tous les méridiens sous le même angle. Cette ligne se transforme sur la carte marine en une ligne droite qui joint le point de départ au point d'arrivée [37]; il suffit donc aux marins de tracer cette ligne sur leur carte, pour savoir sous quel angle constant la marche du navire doit couper tous les méridiens sur la surface de la mer. Habituellement, et pour diverses causes, le navire ne suit pas la ligne mathématique qu'on veut lui faire suivre; c'est pourquoi, après avoir navigué quelque temps, on cherche à déterminer, au moyen d'observations astronomiques, le lieu qu'on occupe sur la mer. Quand on a trouvé la longitude et la latitude de ce lieu, on le marque sur la carte marine; en le joignant par une ligne droite au lieu de destination, on a une nouvelle valeur de l'angle sous, lequel la marche du navire doit rencontrer chaque méridien.
Note 37:[ (retour) ] Toutes les petites figures du canevas de la carte sont semblables à celles du globe terrestre; les éléments successifs de la loxodromie, qui font sur le globe des angles égaux avec les éléments des méridiens qu'ils rencontrent, doivent faire les mêmes angles avec ces éléments de méridien rapportés sur la carte; ceux-ci étant des droites parallèles, tous les éléments de la loxodromie doivent se continuer suivant une même ligne droite.
Le système de Mercator est employé pour construire des cartes célestes; mais seulement pour les parties du ciel voisines de l'équateur.
De l'atmosphère terrestre.
103. Atmosphère. La terre est entourée d'une atmosphère gazeuse composée de l'air que nous respirons. L'air est compressible, élastique et pesant; les couches supérieures de l'atmosphère comprimant les couches inférieures, la densité de l'air est la plus grande aux environs de la terre. À mesure qu'on s'élève, cette densité diminue; l'air devient de plus en plus rare, et à une distance de la terre relativement peu considérable, il n'en reste pas de traces sensibles.
104. Hauteur de l'atmosphère. On ne connaît pas cette hauteur d'une manière tout à fait précise; d'après M. Biot qui a discuté toutes les observations faites à ce sujet, elle ne doit pas dépasser 48000 mètres ou 12 lieues de 4 kilomètres. Cette hauteur ne serait pas la cent-trentième partie du rayon moyen de la terre [38]; le duvet qui recouvre une pêche serait plus épais relativement que la couche d'air qui enveloppe la terre.
Note 38:[ (retour) ] Si on représentait la terre par un globe de 1 mètre de diamètre, l'atmosphère figurée n'aurait pas une épaisseur de 4 millimètres.
105. Utilité de l'atmosphère. L'air est indispensable à la vie des hommes et des animaux terrestres tels qu'ils sont organisés. L'atmosphère par sa pression retient les eaux à l'état liquide; elle empêche la dispersion de la chaleur; sans elle le froid serait excessif à la surface de la terre [39]. Les molécules d'air réfléchissent la lumière en tous sens; cette lumière réfléchie éclaire les objets et les lieux auxquels n'arrivent pas directement les rayons lumineux; sans cette réflexion ces lieux resteraient dans l'obscurité.
Note 39:[ (retour) ] Au sommet des montagnes, l'atmosphère devenant plus rare, s'oppose moins à la dispersion de la chaleur; à l'hospice du Grand-Saint-Bernard, à 2075 mètres au-dessus du niveau de la mer, la température moyenne est d'un degré au-dessous de zéro.
La réflexion des rayons lumineux qui frappent une partie de l'atmosphère au-dessus d'un lieu m de la terre, quand le soleil est un peu au-dessous de l'horizon de ce lieu, produit cette lumière indirecte connue sous le nom d'aurore ou de crépuscule, qui prolonge d'une manière si sensible et si utile la durée du jour solaire. Si l'atmosphère n'existait pas, la nuit la plus absolue succéderait subitement au jour le plus brillant, et réciproquement.
106. Extinction des rayons lumineux. L'atmosphère incomplètement transparente éteint une partie des rayons qui la traversent. Cette extinction, faible pour les rayons verticaux, augmente avec la distance zénithale de l'astre, parce que l'épaisseur de la couche atmosphérique traversée par la lumière augmente avec cette distance; AG (fig. 46) vaut environ 16 AB. L'extinction de la lumière et de la chaleur solaire sont donc beaucoup plus grandes quand le soleil est près de l'horizon; cette extinction est encore augmentée par les vapeurs opaques qui existent dans les basses régions de l'atmosphère. C'est pourquoi le soleil nous paraît moins éblouissant à l'horizon qu'au zénith.
Les astres nous paraissent plus éloignés à l'horizon qu'au zénith; cela tient encore à ce que les molécules d'air, qui réfléchissent à l'œil la lumière émanée de ces astres, s'étendent beaucoup plus loin à l'horizon qu'au zénith; l'œil auquel arrivent ces rayons réfléchis doit juger les distances plus grandes dans le premier cas que dans le second. D'ailleurs l'extinction plus grande des rayons lumineux donne aux objets une teinte bleuâtre plus prononcée qui contribue à nous les faire paraître plus éloignés.
107. Réfraction. L'atmosphère possède, comme tous les milieux transparents, la propriété de réfracter les rayons lumineux, c'est-à-dire de les détourner de leur direction rectiligne. Cette déviation a lieu suivant cette loi démontrée en physique:
Quand un rayon lumineux SA (fig. 47) passe d'un milieu dans un autre plus dense, par exemple du vide dans l'air, il se brise suivant AB, en se rapprochant de la perpendiculaire, NN', à la surface de séparation des milieux, sans quitter le plan normal SAN. Si le nouveau milieu est moins dense, le rayon s'écarte de la normale.
De cette propriété il résulte que les objets célestes, qui sont vus dans une direction oblique à l'atmosphère, nous paraissent situés autrement que nous les verrions si l'atmosphère n'existait pas. Il nous faut donc connaître le sens et la valeur de ce déplacement, si nous voulons savoir, à un instant donné, quelles sont les véritables positions des astres que nous observons.
Un spectateur est placé en A sur la surface CAc de la terre (fig. 48). Soient Ll, Mm, Nn les couches successives de densités décroissantes dans lesquelles nous supposons l'atmosphère décomposée, et qui sont concentriques à la terre.
Soit une étoile S, que nous considérons comme un point lumineux. Si l'atmosphère n'existait pas, le rayon lumineux SA nous montrerait l'astre S dans sa véritable position; mais le rayon lumineux qui aurait la direction AS, arrivant en d sur la première couche atmosphérique, Nn, d'une ténuité extrême, est légèrement dévié, et se rapprochant de la normale à la couche en d, prend la direction de; mais arrivé en e, ce rayon entrant dans une nouvelle couche plus dense, éprouve une nouvelle déviation, prend la direction ef et ainsi de suite; les directions successives que prend le rayon continuellement dévié, forment une ligne polygonale, ou plutôt une courbe, defa, qui vient apporter au lieu a, et non pas au lieu A, la vue de l'étoile. Celle-ci est vue en A à l'aide d'un autre rayon lumineux SD qui, arrivé en D sur l'atmosphère, a été dévié successivement de telle sorte que son extrémité mobile arrive au lieu A, après avoir parcouru la courbe DEFA. L'observateur qui place l'étoile à l'extrémité du rayon lumineux qu'il perçoit, prolongé en ligne droite jusqu'à la sphère céleste, voit cet astre dans la direction du dernier élément de la courbe DEFA, c'est-à-dire à l'extrémité s de la tangente AFs menée à cette courbe par le point A.
108. Il résulte de ce principe de physique: le rayon incident et le rayon réfracté sont dans un même plan normal à la surface de séparation des milieux, et de ce fait que toutes les couches atmosphériques ont pour centre commun le centre de la terre, que toutes les directions successives des rayons réfractés, sont dans un même plan vertical comprenant la verticale AZ, la position vraie, S, et la position apparente s de l'étoile. Toutes ces réfractions s'ajoutent donc et donnent une somme, SAs, qui est la réfraction totale relative à la position actuelle S de l'étoile.
Les effets de la réfraction astronomique se résument donc, pour l'observateur, dans un accroissement, SAs, de la hauteur de l'astre observé. On peut la définir par cet accroissement. La réfraction astronomique est un accroissement apparent de la hauteur vraie d'un astre au-dessus de l'horizon.
Quand un astre est au zénith Z, la réfraction est nulle; elle augmente d'abord lentement à partir de 0°, quand la position vraie de l'astre descend du zénith à l'horizon, puis augmente plus rapidement quand cet astre est très-près de l'horizon; ainsi la réfraction, qui n'est encore que 1'9? quand l'astre se trouve à 40° de l'horizon, est de 33'47?,9 au bord de l'horizon. Voici d'ailleurs le tableau des réfractions pour des hauteurs décroissantes, de 10° en 10° d'abord, puis pour des hauteurs plus rapprochées dans l'intervalle de 10° à 0°.
HAUTEUR RÉFRACTION.
apparente.
90° 0?,0
80 10 ,3
70 21 ,2
60 33 ,7
50 48 ,9
40 1' 9 ,4
30 1 40 ,7
20 2 38 ,9
15 3 34 ,5
10 5 20 ,0
9 5 53 ,7
8 6 34 ,7
7 7 25 ,6
6 8 30 ,3
5 9 54 ,8
4 11 48 ,8
3 14 28 ,7
2 0' 18 23 ,1
1 0 24 22 ,3
0 40 27 3 ,1
0 30 28 33 ,2
0 20 30 10 ,5
0 10 31 55 ,2
0 33 47 ,9 [40]
Note 40: Près de l'horizon les réfractions sont très-irrégulières parce que les rayons lumineux y traversent les couches d'air les plus chargées d'humidité, les plus inégalement échauffées ou refroidies par leur contact avec le sol. C'est pourquoi les astronomes évitent d'observer les astres trop près de l'horizon. Ce n'est qu'à partir de 5° ou 6° de hauteur que les réfractions deviennent régulières et conformes à la table précédente.
Usage du tableau. Si la hauteur apparente d'un, astre est de 15° par exemple, on prend dans la table la réfraction correspondante 3'34?,5 et on la retranche de la hauteur observée pour avoir la hauteur vraie.
Remarque. Quand la hauteur apparente d'un astre est de 0°0'0?, cet astre, vu au bord de l'horizon, se lève ou se couche en apparence, tandis qu'il est déjà, en réalité à 33'47? au-dessous de l'horizon.
109. Remarque. Le diamètre apparent du soleil étant en moyenne de 32'3?, il résulte de la remarque précédente que le bord supérieur de son disque étant déjà à 1' au-dessous de l'horizon, à l'Orient ou au Couchant, l'astre tout entier, soulevé par la réfraction, est visible pour nous. Le soleil nous paraît donc levé plus tôt et couché plus tard qu'il ne l'est réellement.
Une autre conséquence de la réfraction, c'est que le disque solaire, à son lever et à son coucher, nous apparaît sous la forme d'un ovale écrasé dans le sens vertical; la réfraction, relevant l'extrémité inférieure du diamètre vertical plus que l'extrémité supérieure, rapproche en apparence ces deux extrémités; le disque nous paraît donc écrasé dans ce sens. La réfraction élevant également les deux extrémités du diamètre horizontal n'altère pas ses dimensions.
Le même effet de réfraction a lieu pour la lune.
Note I.
Sphéricité de la terre. Voici comment on montre la sphéricité de la terre en se fondant sur les observations 1°, 2°, 3°, mentionnées dans la note de la page 56.
On démontre d'abord que la courbe qui limite l'horizon sensible d'un observateur placé à une hauteur quelconque est une circonférence dont l'axe est la verticale du lieu.
Soit A (fig. 30) le point d'où on observe; AB, AG deux rayons visuels quelconques allant à la courbe limite BC; AI la verticale du lieu A. On sait que les angles BAI, CA1 sont égaux (1°). Nous allons prouver que les lignes AB, AC sont égales. En effet, supposons qu'elles soient inégales, que l'on ait AC > AB; nous pouvons prendre sur AB une longueur AD = AC. Maintenant concevons que l'observateur s'élève en A' sur la verticale AI, à une hauteur telle que le rayon visuel dirigé de ce point A' dans le plan IAB, vers la nouvelle courbe limite, aille rencontrer la ligne AD entre B et D, en E, par exemple; ce qui est toujours possible. Le rayon visuel, dirigé de même de A' dans le plan IAC, ira rencontrer la ligne AC en un point F situé au delà de C (2°). Les deux triangles AA'E; A'AF sont égaux: car AA' = AA'; angle EA'I = angle FA' (1°); les angles en A sont égaux comme suppléments des angles égaux EAI, FAI; les triangles AA'E, AA'F étant égaux, on en conclut AE = AF. Mais AF est > AC et AE < AD; avec AD = AC, on aurait donc une ligne AE plus petite que AD égale à une ligne AF > AC; ce qui est absurde Cette absurdite résulte de ce qu'on a supposé AC > AB; donc AC n'est pas plus grand que AB; ces deux lignes ne pouvant être plus grandes l'une que l'autre, sont égales. Les lignes allant du point A à la courbe limite étant égales, et faisant avec la verticale AI des angles égaux; la courbe limite, lieu de ces points B, C,..... est une circonférence qui a tous ses points également distants de chaque point de la verticale AI.
Soient maintenant deux points d'observation A et A', situés sur deux verticales différentes AI, A'Z (fig. 31); soit HD la corde commune aux deux circonférences qui limitent les horizons sensibles de A et A'; menons les diamètres BCK, MCN, par le milieu C de HD. Cette corde HD est perpendiculaire à ces deux diamètres BCK, MCN, et par suite a leur plan BCN. Réciproquement le plan BCN est perpendiculaire à HD, et par suite aux plans des circonférences qui ont HD pour corde commune. Le plan BCN étant perpendiculaire au plan BHK, la perpendiculaire IA à ce plan BHK est tout entière dans le plan BCN; de même A'Z est dans le plan BCN. Les deux verticales IA, ZA' perpendiculaires à deux droites BC, CN, dans un même plan avec ces droites, se rencontrent en un certain point O. Tirons OH; le point O est à la même distance OH de tous les points de la circonférence BHK; il est à la même distance OH de tous les points de circ. NHM; il est donc à égale distance de tous les points de l'une et l'autre circonférence.
Soit L un point quelconque de la surface de la terre; on peut concevoir par L une circonférence LP, dont le plan soit perpendiculaire à la verticale AIO ou à son prolongement OA?, et qui rencontre la circonférence NHM; dès lors OL égale la distance de O à circ. NHM, c'est-à-dire OL = OH. Si circ. LP ne rencontrait pas circ. NHM, elle rencontrerait une circonférence perpendiculaire à OZA' rencontrant déjà circ. BKH; de sorte qu'on aurait toujours OL = OH. Le point O est donc à égale distance de tous les points de la surface terrestre; celle-ci ayant tous ses points à égale distance d'un point intérieur, est une surface sphérique.
NOTE II.
Démonstration des deux principes relatifs à la projection stéréographique. des cercles d'une sphère, énoncés n° 92, page 74.
Théorème I. Tout cercle ED de la sphère a pour perspective, ou projection stéréographique, un cercle.
Observons d'abord que les droites qui projettent les points d'une circonférence, circ.ED (V. la fig. 41 ci-après) sont les génératrices d'un cône circulaire qui a le point de vue O pour sommet et cette circonférence pour base. L'intersection d'une pareille surface par un plan KBL parallèle à la base est une autre circonférence. En effet, menons les génératrices quelconques OA, OE, OD qui rencontrent la section en K, B, L (fig. 40 bis); les triangles semblables OIB, OIA donnent Oi/OI = iB/IA; les triangles OIK, OIE donnent Oi/OI = iK/IE; donc iB/IA = iK/IE; mais IA=IE, donc iB = iK; on prouverait de même que iB = iL; donc la courbe KBL est une circonférence dont le centre est i. Cela posé, soit O (fig. 41) le point de vue sur la sphère; on sait que le tableau ou plan de projection est un grand cercle ASB perpendiculaire au rayon OC. Soit HMF la perspective d'une circonférence quelconque de la sphère, circ.ED; il faut prouver que HMF est une circonférence. Pour cela, observons que la ligne CI, qui joint le centre C de la sphère et le centre I de circ. ED, est perpendiculaire au plan de cette circonférence; de sorte que le plan OCI est à la fois perpendiculaire à cercle ASB et à cercle ED. Ce plan OCI coupe la surface conique suivant le triangle OED, et le tableau ASB suivant un diamètre ACB. Soit M un point quelconque de la projection HMF de cercle ED; abaissons de M la perpendiculaire MP sur l'intersection CB ou HF du plan OED et du plan ASB. Comme ces plans sont perpendiculaires, MP, qui est dans le plan ASB, est perpendiculaire au plan OED; MP est donc parallèle à cercle ED. Conduisons par MP un plan parallèle à cercle ED; ce plan coupe le cône suivant une circonférence KML, dont KL, parallèle à ED, est un diamètre. D'après un théorème connu (3° livre de géométrie), (MP)² = KP × PL (1). Cela posé, observons que l'angle HFO = OED; en effet HFO a pour mesure 1/2 AO + 1/2 BD; OED a pour mesure 1/2 DB + 1/2 OB; or AO = OB (ce sont deux quadrants). De ce que HFO = 0ED, et OED=OKL, on conclut OKL = HFO; de OKL = HFO, on conclut que l'arc du segment circulaire capable de l'angle HFO, qui aurait HL pour corde, passerait par le point K. Les quatre points H, K, F, L sont donc sur une même circonférence; les lignes HF, KL étant deux cordes d'une même circonférence, HP × PF = KP × PL; donc en vertu de l'égalité (1), (MP)² = HP × PF. Si donc on tirait les lignes HM, MF, le triangle HMF serait rectangle; le point M appartient donc à la circonférence qui, dans le plan ASB, a pour diamètre HF. Le point M étant un point quelconque de la projection de circ. ED, on conclut que tous les points de la projection sont sur la circonférence HMF dont nous venons de parler, autrement dit, que cette circonférence est précisément la projection de circ. ED sur le plan ASB.
Théorème II. L'angle que forment deux lignes MP, MN qui se coupent sur la sphère est égal à celui que forment les lignes mn, mp qui les représentent sur la carte (fig. 41 bis). (On sait qu'on appelle angle de deux lignes courbes MP, MN, l'angle que forment les tangentes MG, MF, menées à ces courbes à leurs points de rencontre.)
Soient g et f les points où MG, MF percent le tableau; les projections mg, mf de ces tangentes sont elles-mêmes tangentes aux courbes mn, mp; il faut démontrer que l'angle gmf=GMF. Pour cela, menons, par le point de vue 0, un plan GOF parallèle au plan du tableau; ce plan GOF perpendiculaire à l'extrémité du rayon OC est tangent à la sphère. Soient G et F les points d'intersection de ce plan par les tangentes MG, MF; menons OG, OF, FG. Les lignes OG, mg, intersection des deux plans parallèles par le plan OMG, sont parallèles; OF, mf sont aussi parallèles; donc l'angle gmf=GOF; nous allons prouver que GOF=GMF. En effet, les lignes GM, GO, tangentes à la sphère, issues du même point G, sont égales (on peut concevoir deux grands cercles déterminés par les plans CMG, COG, lesquels auraient pour tangentes MG, OG); pour une raison semblable, FM=FO. Les deux triangles MGF, OGF sont donc égaux; par suite, l'angle GOF=GMF; donc gmf=GOF=GMF. C. Q. F. D.
Remarque. Nous avons dit que mf, projection de la tangente MF, était elle-même une tangente à la projection mn de MN. On se rend compte de ce fait en imaginant une sécante MM' à la courbe MN, et la projection mm' de cette sécante; puis faisant tourner le plan projetant OMM' autour de OM, jusqu'à ce que M' soit venu se confondre avec M, MM' devenant la tangente MF; pendant ce temps, m' se rapproche de m, et se confond avec m quand M' arrive en M; de sorte que la sécante et sa projection deviennent tangentes en même temps.