CHAPITRE II.

DE LA TERRE.

Des phénomènes qui donnent une première idée de la forme de la terre.

59. La surface de la terre nous apparaît comme une surface plane d'une grande étendue sur laquelle le ciel s'appuie comme une voûte. Mais ce n'est là qu'une illusion; les faits suivants, observés depuis longtemps, démontrent au contraire que la terre est un corps rond, isolé de toutes parts.

1° Quand un vaisseau s'éloigne du port, un spectateur placé sur le rivage le voit au bout de quelque temps s'enfoncer sous l'horizon; bientôt le corps du navire ne se voit plus même avec une lunette, tandis que les mâts et les voiles s'aperçoivent distinctement; puis le bas des mâts disparaît également, et enfin le haut. Pour revoir le navire, il suffit à l'observateur de s'élever davantage au-dessus du sol; ce sont alors les sommets des mâts qui reparaissent les premiers. Les mêmes faits ont lieu, mais en ordre inverse, quand un navire revient au port; on voit d'abord le haut des mâts, puis le bas, etc.

Les mêmes apparences se produisent partout en mer pour un observateur placé sur un navire qui s'éloigne ou se rapproche d'un autre navire.

Ces faits seraient inexplicables, impossibles, si la terre était plane; dans ce cas, en effet, le navire serait vu tout entier tant qu'il serait à portée de la vue distincte, et, dans le lointain, ce serait évidemment le corps du navire qui disparaîtrait le dernier apparaîtrait le premier.

Tout s'explique parfaitement, au contraire, quand on admet la convexité de la terre. L'observateur ayant l'œil en O (fig. 29), concevons en ce de ce point O une tangente à la courbe que décrit le navire sur la surface de la mer supposée convexe; soit B le point de contact. Tant que le navire n'a pas dépassé le point B, il est vu tout entier du point O; au delà du point B, la partie inférieure commence à devenir invisible; bientôt le corps du navire disparaît; on ne voit plus que la mâture en C; plus loin, en D, une partie des mâts seulement; enfin l'observateur ne voit plus rien du navire quand celui-ci est en E. S'il monte alors en O', il revoit le haut des mâts.

Les mêmes apparences se reproduisent sur le continent, quand on s'éloigne ou qu'on se rapproche d'une tour ou d'une éminence dont on est séparé par un terrain étendu et découvert. D'ailleurs, si on remarque le peu de pente des fleuves qui se rendent à la mer, et ce qui se passe à leurs embouchures où la mer montante pénètre à une assez grande distance, on en conclura que la surface de chaque continent diffère peu de ce que serait la surface continuée des mers qui le baignent, si les eaux pouvaient s'étendre librement, et prendre leur position d'équilibre en pénétrant ce continent.

2° Un autre indice analogue de la convexité de la terre, c'est qu'en approchant du pôle nord, on voit l'étoile polaire de plus en plus élevée au-dessus de l'horizon, et vice versa, quand on descend vers le sud.

3° Les voyages autour du monde ont prouvé jusqu'à l'évidence que la terre est un corps rond, isolé dans l'espace. Magellan, le premier, quittant le Portugal, vogua vers l'ouest, rencontra l'Amérique, la côtoya vers le sud jusqu'à ce qu'il pût continuer sa route à l'ouest, traversa le détroit qui porte son nom, entra dans l'océan Pacifique, et fut tué à l'île de Zébu par les naturels. Son lieutenant voguant toujours à l'ouest, doubla le cap de Bonne-Espérance et aborda en Europe. La terre est donc arrondie dans le sens que nous venons d'indiquer; de nombreux voyages accomplis depuis dans toutes les directions ont prouvé qu'elle l'est dans tous les sens. De plus:

60. La terre est à très-peu près sphérique. En effet:

1° L'ombre portée par la terre sur la lune dans les éclipses partielles est toujours terminée circulairement; or la géométrie nous apprend que cela ne peut avoir lieu que si la terre est sphérique.

2° Un observateur placé à une certaine hauteur au-dessus de la surface de la mer n'en découvre qu'une partie, laquelle est terminée circulairement. S'il est placé au haut d'une tour très-élevée ou d'une montagne, la partie visible de la surface terrestre lui paraît également bornée par une courbe circulaire; il en est de même en tout lieu de la terre. Or la géométrie nous apprend encore qu'il n'en peut être ainsi que si la terre est sphérique. [24]

Note 24:[ (retour) ] On appelle horizon sensible d'un observateur placé à une certaine hauteur au-dessus du niveau de la mer la surface conique limitée circulairement que forment tous les rayons visuels allant à la courbe à laquée s'arrête la vue.

On conclut que cette courbe limite est circulaire des observations suivantes:

1° Les rayons visuels dirigés du même point de vue vers les différents points de cette courbe limite font avec la verticale du lieu d'observation des angles égaux.

2° Si l'observateur s'élève sur la même verticale, la courbe limite change: il voit de tous côtés plus loin qu'il ne voyait à la station inférieure. Les rayons visuels dirigés dans tous les sens vers les points de la nouvelle courbe limite font avec la verticale des angles égaux entre eux; mais ces angles sont moindres que ceux des rayons visuels allant aux points de la courbe précédente.

Ces faits ont été observés des diverses hauteurs auxquelles on a pu s'élever et à tous les endroits de la terre où on a voulu les vérifier.

En admettant que ce résultat continue à être obtenu par un observateur placé à des hauteurs de plus en plus grandes sur une verticale quelconque, ou en conclut la sphéricité de la terre. (V. la note à la fin du chapitre.)

61. Cependant nous avons dit seulement: La terre est à peu près sphérique. C'est qu'en effet, eu égard à ce que l'homme ne peut s'élever qu'à des hauteurs limitées, et aux erreurs dont peuvent être affectés les résultats des observations faites avec nos instruments pour déterminer la forme des courbes limites dont nous venons de parler, on ne peut pas conclure de ces observations, d'une manière absolue, que la terre est sphérique; on peut affirmer seulement que sa forme approche de celle d'une sphère.

Plus tard, nous dirons comment on a déterminé d'une manière plus précise la forme de la terre en mesurant différents arcs tracés sur sa surface.

CERCLES PRINCIPAUX; LONGITUDE ET LATITUDE GÉOGRAPHIQUES.

62. Sachant que la terre est un corps rond, isolé dans l'espace, on comprend plus aisément qu'elle puisse tourner sur elle-même, autour d'un de ses diamètres comme axe. Ainsi que nous l'avons expliqué précédemment, les étoiles doivent nous paraître tourner autour du même axe; la ligne idéale PP' que nous avons appelée axe du monde, et l'axe de rotation pp' de la terre, sont une seule et même droite (fig. 32) [25]. De plus, la terre n'étant pour ainsi dire qu'un point dans l'espace, nous pouvons sans inconvénient regarder son centre comme étant celui de la sphère céleste.

Note 25:[ (retour) ] La droite imaginaire que nous avons appelée axe du monde, dans le chapitre des étoiles, passait par le lieu d'observation; cette ligne n'est, en réalité, qu'une parallèle à l'axe de rotation de la terre qui est l'axe vrai. Le mouvement diurne des étoiles, étudié par rapport à cet axe apparent, est tel que le verrait un observateur placé sur l'axe réel: la distance dés deux lignes, qui est au plus égale au rayon de la terre, étant d'une petitesse inappréciable par rapport aux distances célestes, il ne saurait y avoir de différence appréciable entre les observations faites par rapport à l'une et à l'autre lignes, considérées comme axes, quand il s'agit de distances angulaires entre des points de la sphère céleste.

63. Pôles. On nomme pôles terrestres les deux points p, p' où la surface de la terre est rencontrée par l'axe du monde, autrement dit, l'axe de rotation de la terre. L'un de ces pôles p, celui qui est du côté du pôle céleste boréal, s'appelle pôle boréal; l'autre p' est le pôle austral.

64. Équateur. On nomme équateur terrestre le grand cercle d'intersection de la terre par un plan perpendiculaire à l'axe pp', mené par le centre. On considère l'équateur céleste comme déterminé par le même plan E'E.

Hémisphères. L'équateur divise la terre en deux hémisphères, dont l'un, celui qui contient le pôle boréal, s'appelle hémisphère boréal; l'autre est l'hémisphère austral.

65. Parallèles. On nomme parallèles terrestres les petits cercles de la terre parallèles à l'équateur.

Chaque parallèle terrestre, gi, correspond à un parallèle céleste GI, qui est l'intersection de la sphère céleste par un cône circulaire droit, ayant pour sommet le centre commun, o, des deux sphères, et pour génératrices les rayons menés de ce centre au parallèle terrestre. L'un de ces cercles est la perspective de l'autre.

66. Méridien. On appelle méridien d'un lieu g la courbe pgp' (fig. précéd.), suivant laquelle la surface de là terre est coupée par le plan qui passe par la ligne des pôles et le point g, limité à cet axe pp'.

Dans l'hypothèse que la terre est exactement sphérique, le méridien d'un lieu g est la demi-circonférence de grand cercle, pgp', qui passe par la ligne des pôles pp' et le lieu g. Le plan de ce méridien coupe la sphère céleste suivant un grand cercle PGP' qui est le méridien céleste du lieu.

67. La position d'un lieu sur la terre se détermine au moyen de sa longitude et de sa latitude géographiques.

Longitude géographique. On fait choix d'un méridien PAP' (fig. 33) qu'on appelle méridien principal ou premier méridien; cela posé, on appelle longitude d'un lieu, S, de la terre, l'angle dièdre moindre que deux droits que fait le méridien PSP' de ce lieu avec le méridien principal PAP'; ou ce qui revient au même, la longitude d'un lieu S est le plus petit des arcs d'équateur compris entre le méridien du lieu et le méridien principal; c'est l'arc AB (l'arc mesure l'angle).

La longitude d'un lieu est occidentale ou orientale suivant que l'arc d'équateur qui la mesure, compté à partir du méridien principal, se dirige dans le sens du mouvement diurne, c'est-à-dire de l'est à l'ouest, ou en sens contraire. Exemple:la longitude AB du lieu S est orientale; la longitude AE' du lieu N est occidentale. L'une ou l'autre longitude varie de 0 à 180°.

Autrefois tous les pays avaient adopté, avec Ptolémée, un premier méridien unique, qui passe par l'île de Fer, la plus occidentale des îles Canaries; et comme le monde connu ne s'étendait pas au delà vers l'ouest, toutes les longitudes étaient orientales. Aujourd'hui chaque nation a le sien: c'est celui qui passe par le principal observatoire du pays. Pour les Français, c'est le méridien de l'Observatoire de Paris; pour les Anglais, c'est le méridien de Greenwich, qui est à 2° 20' 24? ouest de celui de Paris. Il est facile de transformer une longitude anglaise en longitude française, et vice versa (nº 74); mais il vaudrait mieux que tous les peuples s'entendissent pour adopter un premier méridien unique.

Latitude géographique. On appelle latitude d'un lieu S (fig. 33) l'angle que fait la verticale OS de ce lieu avec sa projection OB sur l'équateur; ou, ce qui revient au même, c'est le nombre de degrés du plus petit arc de méridien, SB, qui va de ce lieu à l'équateur (l'arc mesure l'angle).

La latitude est boréale ou australe suivant que le lieu est situé sur l'hémisphère boréal ou sur l'hémisphère austral; elle varie de 0 à 90°, et se compte à partir de l'équateur dans l'un ou l'autre sens. La latitude SB est boréale. La longitude et la latitude d'un lieu S déterminent évidemment sa position sur le globe terrestre. En effet, ce lieu est le point de rencontre du demi-méridien PBP' qu'indique la première, et du parallèle aSb' qu'indique la seconde. Il y a donc lieu de résoudre ce problème: Trouver la longitude et la latitude d'un lieu de la terre.

68. Détermination de la latitude. La latitude d'un lieu est précisément égale à la hauteur du pôle au-dessus de l'horizon de ce lieu. Il suffit donc de déterminer cette hauteur comme il a été indiqué nº 25.

En effet, soit ON (fig. 33 bis) la verticale du lieu, PEP'E' son méridien, E'E la trace de l'équateur céleste sur ce méridien, HH' la trace de l'horizon rationnel sur le même plan. La latitude est NE', et la hauteur du pôle PH; or les arcs NE' et PH sont égaux comme compléments du même arc PN.

Ex.: La hauteur du pôle, à l'Observatoire de Paris, est 48° 50' 11?; telle est donc la latitude de Paris à cet endroit [26].

En mer, on ne peut déterminer la hauteur du pôle comme il a été indiqué, faute de pouvoir installer sur le navire un mural ou une lunette méridienne. On fait alors usage d'un instrument qu'on appelle sextant.

Note 26:[ (retour) ] La latitude varie de 1? par distance de 30m, 9 comptée du nord au sud ou vice versa, dans le sens du méridien. Il faut donc indiquer le point de Paris dont on considère la latitude (V. longueur du mètre).

69. Calcul de la longitude. Pour déterminer la longitude d'un lieu, il suffit de connaître l'heure sidérale du lieu et celle qu'il est au même instant sous le premier méridien; on convertit la différence de ces heures en degrés à raison de 15° par heure; le résultat est la longitude cherchée (V. les Remarques, n° 70).

Les heures se comptent respectivement aux divers lieux de la terre à partir du passage au méridien de chaque lieu d'un point déterminé de la sphère céleste, d'une étoile remarquable, par exemple. Cela posé, soient pE'p' (fig. 34) le méridien principal, pBp' le méridien d'un lieu quelconque m, EBE' l'équateur céleste, ebe' le cercle diurne de l'étoile régulatrice qui tourne dans le sens ebe'. Supposons qu'au même instant il soit 5 heures au lieu m, et 2 heures sous le premier méridien pE'p'. Quand l'étoile régulatrice se trouvait en e', il était 0h 0m 0s sous le premier méridien, et 3 heures au lieu m; c'est-à-dire qu'en ce moment il y avait 3 heures que l'étoile avait passé en b au méridien du lieu m; elle a employé ces trois heures à parcourir l'arc be', dont le nombre de degrés est précisément le même que celui de la longitude E'B. Mais l'étoile parcourt 360° en 24 heures, soit 15° par heure; donc l'arc be' = BE' parcouru en 3 heures est égal à 15° × 3 (15° multipliés par la différence des heures). C. Q. F. D.

70. Remarques. Si c'est l'heure de Paris qu'on retranche de celle du lieu proposé, la longitude trouvée est orientale, puisque l'étoile, qui vient de l'est, a passé en ce lieu avant d'arriver au premier méridien.

Si c'est l'heure du lieu qu'on retranche de celle de Paris, la longitude trouvée est occidentale, puisque l'étoile venant de l'est passe en ce lieu après avoir passé à Paris.

Si la différence des heures observées surpassait 12 heures, il faudrait augmenter l'heure la plus faible de 24 heures, et retrancher l'autre heure de la somme. La différence convertie en degrés est encore la longitude cherchée; celle-ci est encore orientale ou occidentale, suivant que l'heure soustraite est ou n'est pas celle de Paris.

Ex.: L'horloge sidérale d'un lieu, m, marque 3h 24' quand celle de Paris marque 19h 37'; quelle est la longitude du lieu m?

3h 24m + 24h = 27h 24m; 27h 24m - 19h 37m = 7h 47m; en convertissant 7h 47m en degrés, on a la longitude demandée; cette longitude est orientale.

Pour justifier cette dernière opération, il suffit d'observer que la différence 19h 37m — 3h 24m, plus grande que 12 heures, correspond à un arc de cercle diurne de l'étoile régulatrice plus grand que 180°; or la longitude doit être au plus égale à 180°; la longitude cherchée est donc le complément de cet arc à une circonférence; ou, ce qui revient au même, c'est le complément à 24h de la différence ci-dessus qu'il faut convertir en degrés; 24h - 19h 37' - 3h 24 = 24h + 3h 24 - 19h 37m. C'est la soustraction que nous avons prescrite et opérée.

71. Le calcul d'une longitude se réduit donc, en définitive à la résolution de ce problème: Trouver les heures que marquent au même instant les horloges sidérales de deux lieux différents, réglées sur la même étoile? [27] Il y a pour cela diverses méthodes.

Note 27:[ (retour) ] Au lieu d'horloges sidérales, on peut se servir d'horloges bien réglées sur le temps moyen (V. le temps moyen).

72. 1º Méthode du chronomètre. Un observateur transporte, de Paris au lieu dont on veut avoir la longitude, un chronomètre ou horloge sidérale portative, réglé à l'Observatoire de Paris de manière à marquer 0h 0m 0s à l'instant où une certaine étoile remarquable passe au premier méridien. Il lui suffit de comparer sur place l'heure du chronomètre à celle d'une horloge sidérale. marquant 0h 0m 0s à l'instant où cette même étoile passe au méridien du lieu.

S'il n'y avait pas en ce lieu d'horloge sidérale, en mer par exemple, on y déterminerait l'heure du lieu par des observations astronomiques; l'heure marquée en ce moment par le chronomètre ferait connaître la différence des heures sidérales de Paris et du lieu.

73. 2º Méthode du télégraphe électrique. L'admirable et récente invention du télégraphe électrique donne le moyen de résoudre la question qui nous occupe pour deux lieux mis en communication par un fil électrique. À l'instant d'un signal transmis, deux observateurs regardent les horloges sidérales de ces lieux, réglées sur la même étoile, puis se communiquent respectivement les heures observées. La transmission du signal pouvant être regardée comme instantanée, ces heures correspondent au même moment.

74. 3º Signaux de feu. Avant la découverte du télégraphe électrique, Cassini avait employé la méthode des signaux de feu, qui peut encore être employée à défaut de fil électrique. Deux observateurs, séparés par une distance de 20 à 30 lieues, munis de chronomètres et de lunettes, aperçoivent au même instant une fusée lancée durant la nuit à une station intermédiaire; leurs chronomètres leur indiquent alors les heures sidérales de leurs stations respectives.

Cette méthode peut être appliquée à deux lieux, A et B, séparés par une distance trop grande pour que le même feu soit vu à la fois de l'un et de l'autre.

C C' C?
–––––––––––...........––––––.....
A A' A? B

On partage la distance AB par les stations intermédiaires A', A?, en intervalles tels que chacun rentre dans le cas précédent; des observateurs se placent en A, A', A?, B. Un premier signal C se produisant entre A et A', les observateurs y notent leurs heures respectives; supposons qu'il soit alors h heures au lieu A. Après un temps ts que l'observateur en A' peut mesurer, un second, signal C se produit entre A' et A?; on y note les heures. Après un nouveau temps t's que l'observateur en A? peut mesurer, un troisième signal C? se produit entre A? et B; on y note les heures. Supposons qu'il soit alors h' heures au lieu B; l'heure de A au même instant est évidemment h heures + ts + t's.

75. 4º Emploi du sextant. On se sert en mer, pour la détermination des longitudes, d'un instrument qu'on appelle sextant.

76. 5º Signaux astronomiques. Certains phénomènes célestes, tels que les éclipses des satellites de Jupiter, les occultations d'étoiles par la lune, les distances angulaires de la lune au soleil ou à certaines étoiles principales, visibles au même instant en des points de la terre très-éloignés les uns des autres, sont d'excellents signaux pouvant servir à la détermination des longitudes. L'heure de chacun de ces phénomènes, en temps de Paris, se trouve dans un livre appelé la Connaissance des temps, publié à l'avance par le bureau des Longitudes de France; la différence de cette heure et de celle du lieu au même instant donne la longitude.

77. Au lieu de comparer l'heure d'un lieu à celle du premier méridien, il est quelquefois plus commode de la comparer à celle d'un lieu dont la longitude est déjà connue. On a aussi besoin de convertir la longitude relative à un méridien en longitude relative à un autre méridien.

Problème. Connaissant la longitude l d'un lieu G par rapport au premier méridien, et la longitude l' d'un lieu B par rapport au lieu G, trouver la longitude, x, du lieu B par rapport au premier méridien.

Ex.: Connaissant la longitude de Greenwich par rapport à Paris, convertir une longitude anglaise donnée en longitude française.

Le second lieu peut avoir par rapport au premier, G, l'une des quatre positions B, B', B?, B? (fig. 35). 1º Il a la position B quand les longitudes l et l? sont de même nom et que leur somme ne dépasse pas 180°; alors PB = PG + GB ou x = l + l'. 2º Il a la position B' quand les longitudes données étant toujours de même nom, leur somme PG + GB' dépasse 180°; la longitude cherchée x = PG'B' = 360° — (l + l'); elle est de nom contraire à l et à l'. 3º Le second lieu a la position B?; l = PG et l' = GB? sont des longitudes de noms différents; alors la longitude x = GB?- GP = l' — l est de même nom que l'. 4º Enfin le second lieu étant B?, on a x = GP-GB? = l — l', de même nom que l.

78. Commencement du même jour sidéral en différents lieux. Le jour d'une date précise quelconque, le 19 mai 1856 par exemple, commence d'abord pour les lieux situés sous le méridien PA'P' opposé à celui de Paris (fig. 33), à l'instant où l'étoile régulatrice passe à ce méridien; puis le jour de même date commence successivement à chacun des autres lieux du globe, considérés dans le sens A'EAE', au fur et à mesure que l'étoile, venant de PA'P', passe au méridien de ce lieu.

Imaginons un navire parti d'un port français de l'Océan, de Brest, par exemple, se dirigeant vers l'ouest; ayant tourné le continent américain, il a continué à s'avancer vers l'ouest, et vient à dépasser le méridien PA'P'. Il devra augmenter d'un jour la date du journal du bord, s'il veut être d'accord avec les habitants du port où il arrivera postérieurement. Le contraire aurait lieu si un navire passait ce méridien PA'P' en venant de l'ouest.

79. Problème. Trouver la plus courte distance de deux lieux, S, N de la terre supposée sphérique, connaissant leurs longitudes et leurs latitudes (fig. 33). Les arcs PS, PN, menés du pôle à chaque lieu, forment avec l'arc SN un triangle sphérique dont on connaît deux côtés, PS = 90 ± latitude de S, PN = 90° ± latitude de N (suivant que la latitude considérée est boréale ou australe), et l'angle SPN qui est la somme ou la différence des longitudes, suivant que les longitudes sont de noms différents ou de même nom. Tout cela se voit à l'inspection de la figure; on calculera facilement SN.

Étude précise de la forme de la terre. Valeurs numériques des degrés en France, en Laponie, au Pérou; leur allongement quand on va de l'équateur vers le pôle.

80. Pendant longtemps on s'en est tenu à la première idée que donnent de la forme de la terre les phénomènes que nous avons indiqués au commencement de ce chapitre; jusqu'à la fin du XVIIe siècle, on a considéré la terre comme sphérique, et on s'est seulement occupé d'en déterminer la grandeur. Dans cette hypothèse, il suffit évidemment de déterminer, par des mesures exécutées sur la surface même de la terre, la longueur d'un arc de méridien d'un nombre de degrés connu; de la longueur d'un degré on déduit celle de la circonférence, et de celle-ci la longueur du rayon.

Diverses mesures ont été ainsi exécutées, même dans l'antiquité [28]. Parmi les modernes, le premier qui essaya de mesurer la longueur d'un degré fut Fernel, médecin de Henri II; il se dirigea de Paris vers Amiens, en comptant exactement le nombre des tours de roue de sa voiture; il trouva ainsi pour la longueur du degré, 57070 toises.

Note 28:[ (retour) ] La plus remarquable des mesures exécutées dans l'antiquité est attribuée à Ératosthène, à la fois géomètre, astronome, et géographe, qui vivait 256 ans avant J.-C. Il trouva pour la longueur du degré 694 stades. On ne connaît pas précisément la longueur du stade; cependant on croit ce résultat peu éloigné de la vérité.

Mais la première mesure qui ait été obtenue par des méthodes de précision dignes, de toute confiance, est due à l'astronome français Picard. Établissant un réseau géodésique entre Paris et Amiens, il trouva pour la longueur du degré, 57060 toises.

81. À la fin du XVIIe siècle, Newton et Huyghens, guidés par des considérations théoriques, émirent cette opinion: La terre n'est pas sphérique; c'est un ellipsoïde de révolution, aplati vers les pôles et renflé à l'équateur, c'est-à-dire que sa surface est semblable à celle que décrit une ellipse tournant autour de son petit axe PP' (fig. 37, ci-après). L'Académie des sciences s'occupa aussitôt de vérifier ces indications de la théorie; la seule différence entre l'ancienne hypothèse et la nouvelle consiste en ce que, dans la première, chaque plan méridien, c'est-à-dire mené par l'axe, coupe la surface de la terre suivant une circonférence de cercle (fig. 36), tandis que dans la seconde, il la coupe suivant une ellipse aplatie vers les pôles (fig. 37); c'était donc la forme de la courbe méridienne qu'il fallait étudier. Pour cela, on a mesuré la longueur du. degré à diverses latitudes (V. la note) [29].

Note 29:[ (retour) ] Mesure d'un arc de méridien. Définitions. On nomme méridien ou courbe méridienne, sur la surface de la terre, la courbe suivant laquelle cette surface est coupée par un plan mené par la ligne des pôles. Deux lieux A et B sont sur le même méridien quand la même étoile passe au méridien dans les deux lieux à la même heure de l'horloge sidérale.

Un arc de 1°, 2°, 3°,.... du méridien est un arc A'B' (fig. 37), tel que les deux normales à la courbe, autrement dit les verticales, A'I, B'I, menées à ses extrémités, font entre elles un angle A'IB' de 1°, 2°, 3°...... Cet angle A'IB' est précisément égal à la différence des latitudes des lieux A' et B', si ces lieux sont sur le même hémisphère; puisque la latitude d'un lieu, (nº 64), est égale à l'angle que fait la verticale du lieu avec sa projection sur l'équateur; A'IB' = A'Ie-B'Ie.

Le nombre des degrés d'un arc AB étant connu, il faut mesurer cet arc avec l'unité linéaire, la toise, par exemple. Si l'arc AB est sur une surface unie, découverte, on procède à cette mesure à la manière des arpenteurs, en employant seulement des instruments de mesure plus précis et plus de précautions. Mais dans le cas d'obstacles intermédiaires s'opposant à cette mesure, ce qui arrive presque toujours, on établit ce qu'on nomme un réseau géodésique.

On choisit, dans le voisinage des lieux où l'on suppose que l'arc AB doit passer, des points C, D, E, F,...... placés de manière à pouvoir être aperçus de loin (fig. 38). Concevons que les points A, C, D, E, F, etc.. soient liés entre eux comme la figure l'indique, par des triangles que traverse la direction de l'arc AB. Parmi les côtés de ces triangles on choisit celui qui peut être mesuré le plus aisément; supposons que ce soit EG; c'est ce qu'on appelle une base. Connaissant EG et les angles E et G du triangle EGF, on peut résoudre ce triangle. Connaissant EF et les angles E et F du triangle EDF, on peut résoudre ce triangle. Connaissant ED et les angles D et E du triangle EDC, on peut résoudre ce triangle. Enfin, pour la résolution du triangle ACD, on connaît AC et AD. Connaissant, à partir de A, la direction de la méridienne, dont tous les segments AL, LM, MO,..... à cause de leur peu d'étendue, sont considérés comme des lignes droites, on peut mesurer les angles CAL, DAL; on peut donc résoudre le triangle ALD; ce qui donne le segment AL et la longueur DL. Connaissant DL, l'angle D et l'angle DLM du triangle DLM, on résout le triangle, et on calcule le segment LM et la longueur DM. Dans le triangle EMO, on connaît EM, l'angle E et l'angle M; ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à la fin du réseau. Ayant la longueur de AB en toises, on la divise par le nombre de degrés de cet arc pour avoir la longueur d'un degré.

De ce que la longueur du degré va en augmentant avec la latitude, on conclut (fig. 37) que chaque méridien s'aplatit, c'est-à-dire que sa courbure diminue quand on va de l'équateur au pôle. Voici une manière, entre plusieurs, d'expliquer ce fait: Soit AB (fig. 37) un arc de 1°, voisin de l'équateur; A'B' un autre arc de 1°, voisin du pôle; on sait que A'B' > AB. On peut, à cause du faible aplatissement de l'ellipse méridienne, regarder chacun des arcs AB, A'B' comme confondu avec l'arc de cercle qui passerait par son milieu et ses extrémités. À ce point de vue, AB et A'B' sont des arcs de 1° appartenant à des circonférences de rayons différents r, r'. Puisque l'on a A'B' > AB, on doit avoir r' > r; (360 A'B' = circ. r' > 360 AB = circ. r). Cela posé, pour comparer les courbures de ces deux arcs, rapprochons-les comme il suit: sur une ligne indéfinie X'X (fig. 39) élevons une perpendiculaire GH, et prenons à partir de G, GO = r. GO' = r'; puis des points O et O' comme centres avec les rayons OG, O'G', décrivons deux arcs de cercle passant en G; ces deux arcs sont tangents à X'X en G. Si on prend QGP = 1°, Q'GP' = 1°, le milieu étant en G, ces arcs ne seront évidemment que la reproduction des arcs AB, A'B' rapprochés l'un de l'autre. L'arc Q'GP' ou A'B' se rapprochant plus de la ligne droite X'GX que QGP ou AB, est moins convexe ou plus aplati que AB.

Nous avons pris AB = 1°; on peut, pour éviter toute objection, supposer AB aussi petit que l'on veut.

Si la courbe méridienne est une circonférence de cercle, la longueur du degré doit être la même à toutes les latitudes (fig. 36); si c'est une ellipse aplatie vers les pôles, la longueur du degré doit être plus grande aux environs du pôle qu'à l'équateur, et en général augmenter avec la latitude (fig. 37). En outre, comme on savait à priori que la forme de la terre approche de celle d'une sphère, il fallait exécuter des mesures à des latitudes assez diverses pour que les différences entre les valeurs numériques du degré, si elles existaient, fussent assez notables pour ne pouvoir pas être attribuées aux erreurs des observations. On ne s'est donc pas contenté des mesures exécutées en France; la Condainine et Bouguer se transportèrent au Pérou, Maupertuis et Clairaut se rendirent en Laponie, afin d'y mesurer des arcs de méridien. Les résultats obtenus confirmèrent les prévisions de Newton et Huyghens.

82. Voici ces résultats, auxquels nous en joignons de plus récemment obtenus pour qu'on voie mieux la variation du degré:

LIEUX. LATITUDE LONGUEUR
moyenne. de l'arc de 1°.
Pérou 1° 31 56737 toises
Inde 12° 32' 21? 58762
France 46° 8' 6? 57025
Angleterre 52° 2' 20? 57066
Laponie 66° 20' 10? 57196

83. Toutes les mesures analogues exécutées jusqu'à nos jours en France, en Angleterre, en Espagne, en Russie, dans l'Inde, sur des arcs d'une assez grande étendue, ont constaté que la longueur du degré augmente constamment de l'équateur aux pôles. En résumé, sauf quelques irrégularités locales de peu d'importance, tous ces travaux concourent à établir la vérité de la proposition énoncée par Newton et Huyghens. Ainsi donc:

Forme de la terre. La terre n'est pas absolument sphérique; c'est un ellipsoïde de révolution un peu aplati vers les pôles et renflé à l'équateur; c'est-à-dire que sa surface est semblable à celle que décrit une ellipse tournant autour de son petit axe (V. fig. 37).

84. Dimensions de la terre; longueur du mètre. Quand la convention nationale décida en 1790 que l'unité de longueur, base du système uniforme de mesures qu'elle voulait établir en France, serait prise dans la nature, c'est-à-dire aurait un rapport simple avec les dimensions de la terre, elle ordonna qu'il serait procédé à la détermination aussi exacte que possible de ces dimensions. En exécution de cet ordre, Delambre et Méchain mesurèrent l'arc de méridien compris entre Dunkerque et Barcelone. La commission des poids et mesures, combinant leurs résultats avec ceux qu'on avait déjà obtenus en Laponie et au Pérou, en conclut que le méridien terrestre est une ellipse dont l'aplatissement a pour mesure 1/334, et dont le quart a pour longueur 5130740 toises. La dix-millionième partie de cette longueur fut choisie sous le nom de mètre pour unité de longueur; ainsi 10000000 mètres = 5130740 toises; d'où on déduit la longueur du mètre.

Le mètre légal vaut 0 toises, 5130740 = 3 pieds 0 pouce 11 lignes, 296.

(On sait que la toise vaut 6 pieds, le pied 12 pouces, le pouce 12 lignes.)

De nouveaux arcs terrestres ont été mesurés depuis 1795; les travaux de Delambre et Méchain ont été continués et vérifiés par divers savants [30]. En discutant toutes les mesures, tant anciennes que nouvelles, M. Bessel a trouvé que les nombres 1/334 et 5130740 toises étaient trop petits et devaient être remplacés par ceux-ci: 1/299 et 5131180 toises. Voici ce qui résulte de ce travail de révision de M. Bessel en ce qui concerne les dimensions de la terre:

Demi-diamètre à l'équateur a = 3272077 toises = 6377398 mètres. Demi-diamètre polaire b = 3261139 toises = 6356080 mètres.

Note 30:[ (retour) ] Leur méridienne a été prolongée au nord jusqu'au parallèle de Greenwich; elle l'a été aussi au sud jusqu'à l'île de Formentera, par MM. Biot et Arago.

L'aplatissement d'un ellipsoïde a pour mesure le rapport (a-b)/a de la différence de ses deux axes au plus grand des deux.

Aplatissement de la terre 1/299 [31].

Note 31:[ (retour) ] Un globe terrestre de même forme que la terre ayant 2m,99 de rayon à l'équateur, aurait, d'après cela, à peu près 2m,98 de rayon vers le pôle.

La différence a — b des axes = 21318 mètres, en nombre rond, 21 kilomètres. On définit quelquefois l'aplatissement en indiquant cette différence.

Le quart du méridien vaut 10000856 mètres.

Le quart de l'équateur vaut 10017594 mètres.

Remarque. On commet maintenant une erreur, très-faible, il est vrai, en disant que le mètre est la dix-millionième partie du quart du méridien; il s'en faut de 0ligne,038. On n'a pas cru devoir faire cette correction; le mètre légal est toujours égal à 0toise,5130740 = 3pieds, 11lignes,296. Dans les calculs qui n'exigent pas une très-grande précision, on considère toujours la circonférence du méridien comme valant 10000000 mètres, et le rayon de la terre comme égal à 6366 kilomètres. L'unité pour les dimensions ci-dessus est le mètre légal.

NOTIONS SUR LES CARTES GÉOGRAPHIQUES.

85. Les positions relatives des différents lieux de la terre étant connues par leurs longitudes et leurs latitudes;, afin d'embrasser d'un coup d'œil ces positions relatives, ou de les graver plus aisément dans la mémoire, on fait de la terre entière, ou de ses parties considérées séparément, diverses représentations dont nous allons nous occuper. Ce sont les globes et les cartes géographiques.

86. Globes terrestres. Un globe géographique terrestre se construit de la même manière qu'un globe céleste (nº 41). On marque de même sur le globe de carton les deux pôles p, p', et l'équateur; sur celui-ci le point de départ des longitudes. Puis, en employant, pour plus de facilité, le demi-cercle mobile dont nous avons parlé, on marque sur le globe la position de chaque lieu remarquable de la terre d'après sa latitude et sa longitude, connue par l'observation ou autrement. Nous renvoyons à ce qui a été dit (nº 41) pour la construction d'un globe céleste; il n'y a qu'à dire longitude au lieu d'AR, et latitude au lieu de D.

Quand on représente ainsi la terre par un globe, on la représente par une sphère parfaitement unie; on n'entreprend pas de rendre sensible l'aplatissement de la terre vers les pôles; cet aplatissement étant à peu près de 1/300, sur un globe de 3 mètres de rayon équatorial, déjà bien grand, le rayon polaire aurait 2m,99. On n'entreprend pas non plus de rendre sensible sur la surface d'un globe géographique la, hauteur des montagnes, ni la profondeur des mers; car la hauteur de la plus grande montagne de la terre, le pic de l'Himalaya, au Thibet, est de 1/740 du rayon de la terre; les autres grandes montagnes ne vont pas à la moitié de cette hauteur. Si donc le globe avait 0m,740 de rayon, la plus grande protubérance de la surface terrestre serait d'un millimètre. La plus grande dépression (le creux), destinée à représenter la profondeur maxima des mers, ne serait pas plus grande; et encore pour la généralité des montagnes et des mers ce serait beaucoup moins. Ces inégalités seraient moins nombreuses et moins sensibles que les rugosités sur la peau d'une orange.

Un globe terrestre géographique est sans contredit la représentation la plus exacte possible de la surface terrestre. Mais l'usage d'un pareil globe n'est pas commode, surtout pour ceux qui ont le plus besoin de renseignements géographiques, c'est-à-dire, pour les voyageurs. Car, pour y rendre distinctes les positions des lieux d'une même contrée, il faut donner au globe de grandes dimensions. Aussi remplace-t-on généralement les globes par quelque chose de plus portatif, par des cartes géographiques.

87. Cartes géographiques. On appelle ainsi la représentation sur une surface plane de portions plus ou moins étendues de la surface de la terre.

Si la surface d'un globe terrestre géographique, préalablement construit, pouvait être développée et étendue sur un plan sans déchirure ni duplicature, on aurait ainsi la meilleure carte géographique. Mais la surface d'une sphère ne peut pas être ainsi développée; il en résulte que la représentation de la terre sur une surface plane ne peut se faire sans qu'il y ait des déformations dans certaines parties; on cherche naturellement à construire les cartes de manière à atténuer le plus possible ces déformations. Nous allons faire connaître les dispositions les plus usitées en indiquant les avantages et les inconvénients de chacune.

88. Canevas. Les points de la terre se distinguant par les méridiens et les parallèles sur lesquels ils se trouvent, on est conduit à représenter ces cercles sur la carte; on ne peut en représenter qu'un nombre limité. On appelle canevas un ensemble de lignes droites ou courbes qui, se croisant dans toute l'étendue de la carte, représentent, les unes des méridiens équidistants (en degrés), les autres des parallèles équidistants aussi. La première chose que l'on dessine sur une carte c'est le canevas; on a alors devant soi un grand nombre de quadrilatères dans lesquels on place les lieux ou objets qui doivent figurer sur la carte, soit d'après un globe terrestre que l'on a sous les yeux, soit d'après leurs longitudes et leurs latitudes connues.

89. Mappemondes. Quand on veut représenter la terre tout entière, pour en embrasser l'ensemble d'un coup d'œil, on la divise en deux hémisphères par un de ses cercles principaux; on exécute, à côté l'une de l'autre, les représentations des deux hémisphères; l'ensemble est ce qu'on appelle une mappemonde.

On emploie pour la construction dés cartes la méthode des projections ou les développements de surface.

90. Projection orthographique. La projection orthographique d'un point est le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur un plan qu'on appelle plan de projection. Pour la construction des cartes géographiques, le plan de projection est ordinairement l'équateur ou un méridien choisi.

Projection de l'équateur. On trace un cercle d'un rayon plus ou moins grand, suivant les dimensions qu'on veut donner à la carte. On considère ce cercle comme l'équateur d'un demi-globe terrestre géographique que l'on imagine superposé à ce cercle même et sur lequel sont supposés marqués à l'avance les lieux qui doivent figurer sur la carte. Le pôle de ce globe se projette au centre; chaque parallèle se projette en véritable grandeur; chaque demi-méridien a pour projection le rayon qui est la trace même de son plan sur la carte. Les distances des lieux en longitude, qui sont des arcs de parallèles, sont donc très-exactement conservés, tandis que les arcs de chaque méridien sont représentés en raccourci, et sous une forme qui ne rappelle nullement leur forme réelle (un arc de 90° est représenté par une ligne droite, un rayon). Aux environs du pôle, les petits arcs de méridiens, approchant d'être parallèles au plan de projection, sont représentés par des lignes presque égales en longueur à ces arcs; la représentation des parties de la terre voisines du pôle est donc la moins défectueuse; mais c'est précisément là qu'il n'y a pour ainsi dire rien à représenter. A mesure qu'on se rapproche du bord de la carte, l'altération des longueurs devient de plus en plus grande; tout près du bord la projection d'un arc de 1°, par exemple, se réduit presque à un point. Ces déformations, très-grandes dans les latitudes les plus importantes à considérer, ont fait abandonner ce mode de construction pour les cartes terrestres.

La projection sur un méridien offre les mêmes inconvénients; chaque demi-parallèle a pour projection un de ses diamètres; d'où il résulte précisément la même déformation que tout à l'heure pour les méridiens, mais cette fois du milieu de la projection de chaque parallèle vers les bords de la carte.

Si nous avons parlé des projections orthographiques, c'est qu'elles sont employées pour les cartes ou planisphères célestes, notamment pour représenter les constellations circumpolaires; ici les environs du pôle sont plus importants à représenter.

91. Planisphère. Projection sur l'équateur.

Pour construire le canevas, on commence par tracer un cercle de rayon aussi grand que l'on veut, et sur ce cercle un diamètre horizontal. On divise chaque demi-circonférence en un certain nombre de parties égales, en degrés par exemple, puis on joint le centre à tous les points de division. On ne marque généralement que les divisions qui correspondent aux 24 cercles horaires, c'est-à-dire de 15° en 15°, ou d'heure en heure, à partir de 0° sur le diamètre horizontal. Ces divisions de la circonférence indiquent les ascensions droites; les rayons tracés sont les projections des cercles horaires. Pour obtenir les projections des parallèles, on abaisse, des points de division du 1er quadrant du contour, des perpendiculaires sur le diamètre horizontal; puis, enfin, on trace des circonférences, concentriques au contour, et passant respectivement par les pieds de toutes ces perpendiculaires: on marque au pied de chaque perpendiculaire le nombre de degrés marqué à son origine; chacun de ces numéros indique la déclinaison dé tous les points du cercle adjacent [32]. Le canevas est alors terminé; il ne reste plus qu'à y placer les étoiles d'après leurs coordonnées.

Note 32:[ (retour) ] La construction des parallèles est fondée sur cette remarque que le rayon de chaque parallèle céleste est égal au cosinus de la déclinaison correspondante.

Si on veut déterminer avec précision la position d'une étoile particulière, on compte son ascension droite à partir de 0°, et on trace le rayon qui va à l'extrémité de l'arc mesuré. On compte la déclinaison sur la circonférence, à partir du même point 0° et on abaisse une perpendiculaire de l'extrémité de l'arc obtenu sur le diamètre horizontal; on décrit la circonférence qui passe par le pied de cette perpendiculaire. L'intersection de cette circonférence et du rayon que l'on vient de tracer est la position cherchée de l'étoile.

92. Projection stéréographique. Si de l'œil placé en O on mène un rayon visuel OA à un point quelconque de l'espace, la trace a de ce rayon sur un plan fixe, MM', s'appelle la perspective du point A sur le plan MM'. Le point fixe O est dit le point de vue, et le plan MM' le tableau.

Ce mode de projection, connu sous le nom de projection stéréographique, est employé pour construire des cartes géographiques. On choisit alors pour tableau un méridien G'MGM' (fig. 40), et pour point de vue le pôle O de ce méridien opposé à l'hémisphère MABCM' que l'on veut projeter en tout ou en partie. Exécutée dans ces conditions, la projection stéréographique jouit des propriétés fondamentales suivantes:

1º Tout cercle de la sphère, quel qu'il soit, a pour perspective un cercle.

2º L'angle de deux lignes quelconques, tracées sur la surface de la sphère est égal à celui que forment les lignes qui les représentent sur la carte. (On appelle angle de deux courbes l'angle compris entre les tangentes menées à ces courbes à leur point d'intersection.) [33]

Note 33:[ (retour) ] V. à la fin du chapitre, la démonstration de ces deux principes.

Il résulte de ces deux principes que les méridiens et les parallèles sont représentés sur le canevas par des arcs de cercle perpendiculaires entre eux, comme sur le globe terrestre. Ce canevas est donc facile à construire.

93. On choisit ordinairement pour tableau le méridien de l'île de Fer, la plus occidentale des îles Canaries, ou pour parler d'une manière plus précise, le méridien situé à 20° de longitude occidentale de Paris. On a choisi ce méridien parce qu'il partage la terre en deux hémisphères, sur l'un desquels se trouvent ensemble l'Europe, l'Asie, l'Afrique (tout l'ancien monde) et une partie de l'Océanie. Le cercle PE'P'E (fig. 42), qui représente ce méridien, forme le contour de la carte.

Voici les deux problèmes qu'il faut savoir résoudre pour construire une carte dans ce système de projections.

94. Projection d'un méridien. Soit proposé de construire la perspective du méridien M, qui fait avec celui de l'île de Fer un angle de 10°. On prend sur le contour PE'P'E, à partir de P', sur la droite, un arc P'G de 20° (fig. 42), (le double de 10°); on tire la droite PG qui rencontre E'E en I; du point I comme centre avec le rayon IP, on décrit un arc de cercle PKP' limité aux deux points P et P'; cet arc est la perspective du demi-méridien indiqué.

Démonstration. Le méridien M, comme tous les autres, passe par les points P et P' qui sont à eux-mêmes leurs perspectives; l'arc de cercle, perspective de méridien, passe donc en P et en P', et a son centre sur E'E. Soit I ce centre supposé trouvé, et PKP' l'arc cherché; menons PIG et la tangente PS à l'arc PKP'. La tangente RP au méridien PE'P'E est sa projection à elle-même; il résulte du 2e principe, nº 92, que l'angle RPS est égal à 10°; mais les rayons OP, IP des cercles PE'P', PKP' étant perpendiculaires à PR et PS, l'angle P'PG = RPS = 10°; cet angle P'PG est donc connu à priori: comme il est inscrit, l'arc P'G qui le mesure est égal à 20°. On connaît donc le point G, et par suite la direction du rayon PIG; de là la construction indiquée.

95. Projection d'un parallèle. Soit proposé de construire la perspective du demi-parallèle dont la latitude est 60°. On prend E'C' = 60° (fig. 42); on mène en C' la tangente C'D au cercle PE'P'E; puis du point D comme centre avec le rayon DC', on décrit un arc de cercle C'HC limité au point C, où il rencontre une seconde fois le contour PE'P'E; cet arc C'HC est la perspective du demi-parallèle en question.

Démonstration. Le parallèle en question rencontre le méridien PE'P'E en deux points C' et C du tableau, situés à 60° des points E', E; l'arc de cercle, perspective du demi-parallèle en question, passe donc aux points C', C et a son centre sur P'P: il faut trouver ce centre. Or, le parallèle proposé étant perpendiculaire au méridien PEP'E', la tangente CD, qui est sa propre perspective, est perpendiculaire à la tangente qui serait menée au même point à la perspective du parallèle. La perpendiculaire menée à la tangente d'un arc de cercle, au point de contact, passant par le centre de cet arc, la ligne C'D passe au centre de l'arc à construire. Ce centre est d'ailleurs sur P'P; il est donc en D. C. Q. F. D.

96. Construction du canevas (fig. 43). Nous supposerons qu'on veuille représenter les méridiens et les parallèles de 10° en 10°. On divise la circonférence en 36 parties égales (arcs de 10°) à partir de l'un des pôles. On joint par des lignes au crayon le pôle P à tous les points de division de rangs pairs à partir de P'; ex. le point G (fig. 42). De chaque point de rencontre, I, de ces lignes avec E'E comme centre, avec IP pour rayon, on décrit un arc de cercle limité aux points P et P'. On obtient ainsi une série d'arcs de cercle tels que PKP' (fig. 42), qui représentent les méridiens considérés de 10° en 10° à partir du méridien de l'île de Fer (fig. 43).

Pour tracer les parallèles, à chacun des points de division, ex.: C' (fig. 42), de la demi-circonférence PE'P', on mène au crayon une tangente C'D à cette demi-circonférence, à la rencontre de PP'. Du point de rencontre D, comme centre, avec DC' pour rayon, on trace un arc de cercle limité en C' et en C sur le contour PE'P'E. On obtient ainsi (fig. 43) une série d'arcs de cercle qui représentent les parallèles, de 10° en 10° à partir de l'équateur. On marque les latitudes de 0 à 90°, de E' vers P, puis de E' vers P', sur la demi-circonférence PE'P', et même, si on veut, sur PEP'. On marque les longitudes de 10° en 10° sur l'équateur, aux points où il est rencontré par les perspectives des méridiens; seulement, il faut marquer 10° à la 1re division après le point E', 0° à la seconde (méridien de Paris), puis 10°, 20°, etc., de gauche à droite. Le canevas ainsi construit (fig. 43), on y marque les divers lieux, soit d'après un globe terrestre, soit d'après leurs longitudes et leurs latitudes connues.

Remarque. Le méridien du point de vue et l'équateur sont représentés par des lignes droites PP', EE'. Les perspectives s'aplatissent de plus en plus quand on s'approche de l'une ou l'autre de de ces lignes.

97. Avantage et inconvénient de la projection stéréographique ordinairement employée pour construire les atlas de géographie.

L'avantage qu'elle présente, c'est qu'une figure de petites dimensions, située n'importe où sur l'hémisphère, est représentée sur la carte par une figure semblable. En effet, cette figure peut être considérée comme plane à cause de sa petitesse; cela posé, il résulte de la seconde propriété des projections stéréographiques, nº 92, que les triangles, dans lesquels la figure et sa représentation peuvent être décomposés, sont semblables comme équiangles, et semblablement disposés. Cette figure n'est donc pas déformée; seulement ses dimensions sont réduites dans le même rapport (V. BC et bc, fig. 40).

L'inconvénient de ce mode de projection consiste précisément en ce que le rapport dans lequel se fait la réduction d'une petite figure varie avec la position de celle-ci sur l'hémisphère. Au bord de la carte il n'y a pas de réduction, puisque les parties du méridien qui forme le contour sont représentées en véritable grandeur; mais les dimensions se réduisent de plus en plus à mesure qu'on s'éloigne du bord; vers le centre les dimensions sont réduites de moitié. Ex.: de = 1/2 DE (fig. 40).

98. Système de développement employé pour la carte de France. Dans la construction de la grande carte de France du dépôt de la guerre, on s'est surtout attaché à ne pas altérer les rapports d'étendue superficielle qui existent entre les diverses parties de la contrée, tout en conservant autant que possible les formes telles qu'elles existent sur la terre. Pour cela, on a employé un système de développement, dit développement conique modifié, que nous allons faire connaître.

Construction du canevas. Supposons qu'il s'agisse de représenter une contrée dont les longitudes extrêmes sont 5° Ouest et 7° Est, et les latitudes extrêmes 42° et 52° Nord (ce sont à peu près celles de France). On détermine la longitude moyenne, qui est ((7° + 5°)/2) = 1° Est, et la latitude moyenne, qui est ((42° + 52°)/2) = 47° Nord. Cela fait, on imagine devant soi un globe terrestre géographique sur lequel est figurée la contrée à représenter, décomposée par un canevas de méridiens et de parallèles comme le doit être la carte elle-même. On représente le méridien moyen SCE (fig. 44) par une ligne droite sce. Pour représenter le parallèle moyen, on imagine menée en C une tangente CS au méridien du globe, jusqu'à la rencontre de l'axe PP' en S; on déterminera l'aide de la latitude moyenne (47°), la longueur de cette tangente du points au point C [34]; puis du point s sur la carte, comme centre, avec un rayon sc = SC, on trace un arc de cercle fch qui représente le parallèle moyen. Pour avoir la représentation des autres parallèles, on imagine le méridien moyen ACE divisé en parties AB, BC, CD, DE,..... dont les extrémités correspondent à des latitudes connues, de degré en degré par exemple. On porte sur sce, de part et d'autre de c, et dans le même ordre que sur le globe, des longueurs cb, ba,..... cd, de...... respectivement égales aux longueurs CB, BA,... CD, DE... [35]. Puis de s comme centre, on décrit des arcs de cercle passant aux points b, d, c...; chacun de ces arcs bb'b?,... représente un des parallèles de la contrée correspondant à une latitude connue. Pour achever le canevas, il n'y a plus qu'à représenter un certain nombre de méridiens de part et d'autre du méridien moyen. Pour cela, on imagine sur le globe un certain nombre de ces méridiens correspondant à des longitudes connues, de degré en degré par exemple, lesquels divisent les parallèles en arcs tels que AA', A'A?,... BB', B'B?,... etc. Sur chacun des parallèles de la carte, aa'a?, bb'b?, on prend des arcs respectivement égaux en longueur à leurs correspondants sur le globe, aa' = AA', a'a? = A'A?,... bb' = BB',..., etc. [36]. Cela tait, on fait passer par chaque série de points ainsi obtenus, occupant le même rang sur leurs courbes respectives à partir de sce, ex.: (a', b', c',...), une ligne continue (a'b'c'...); chacune des lignes ainsi obtenues représente un des méridiens de la contrée correspondant à une longitude connue que l'on indique sur la carte. On marque les latitudes sur les bords de la carte, à gauche et à droite, aux extrémités des arcs aa'a?, bb?..., et les longitudes en haut et en bas aux extrémités des arcs abc, a'b'c'... Le canevas achevé, il ne reste plus qu'à y marquer les lieux et les objets que l'on veut indiquer, d'après un globe terrestre ou d'après leurs longitudes et leurs latitudes connues.

Note 34:[ (retour) ] À l'inspection seule de la première des figures 44, on voit que la tangente SC peut se construire comme il suit:

Le rayon R du globe terrestre est représenté par une longueur qui dépend des dimensions que l'on veut donner à la carte, 0m,2, par exemple. On décrit un cercle avec ce rayon et on y trace deux diamètres, l'un horizontal, l'autre vertical. À partir du premier, on prend sur la circonférence un arc égal à la latitude moyenne donnée; à l'extrémité de cet arc, on mène une tangente que l'on prolonge seulement jusqu'à sa rencontre avec le diamètre vertical prolongé lui-même. Cette tangente est la longueur cherchée SC.

Note 35:[ (retour) ] Supposons que les arcs AB, BC, CD,..... du méridien moyen soient 1°. Chacun d'eux est la 360e partie de la circonférence; AB = 2pR/300. Connaissant p et R, on peut calculer la longueur de AB = BC = CD. Cette longueur est celle que l'on porte sur la droite sce de la carte, de c en b, de b en a, etc. Dans la construction de la carte de France, on a eu égard à l'aplatissement de la terre; la longueur d'un degré du méridien dépend, dans ce cas, de sa latitude.

Note 36:[ (retour) ] Pour construire les arcs aa', a'a?,..... qui appartiennent à un parallèle dont la latitude est donnée, on construit à part ce parallèle, avec un rayon r = R × cos. latitude de ce parallèle, ou bien de la manière indiquée à propos de la projection orthographique. Si les arcs aa', a'a?,.... sont de 1°, on prend un arc de 1° sur ce parallèle; puis on porte cet arc par parties très-petites, de a en a', sur l'arc de cercle aa'a?; puis une 2e fois de a' en a?; une 3e fois de a? en a?, etc.....

Remarques. Dans cette construction, on attribue au globe terrestre, dont on est censé développer une partie de la surface, un rayon arbitraire R dont la grandeur dépend du rapport que l'on veut établir entre les distances sur la carte et les distances réelles. Si les arcs AB, BC,... sont des arcs de 1°, on déduit leur longueur de celle du rayon assigné au globe terrestre (1° = 2pR/360). Pour la carte de France, on a eu égard à l'aplatissement de la terre; la longueur d'un degré du méridien est estimée suivant la latitude.

Enfin, pour construire les arcs aa', a'a?,... bb',... on peut déterminer la longueur des arcs AA', A'A?,... BB',... que nous supposons de 1°, d'après les rayons des parallèles auxquels ils appartiennent. On porte chaque longueur ainsi déterminée, AA', par parties très-petites, sur la ligne aa'a? de la carte. (V. la 2e note ci-contre).

99. Avantages le ce mode de développement. Ce sont ceux que nous avons indiqués à l'avance. Les rapports d'étendue superficielle sont partout conservés; ainsi, des contrées de même surface sur la terre occupent des surfaces égales sur la carte. De plus, les surfaces représentées sont fort peu déformées.

En effet, le canevas de la contrée sur le globe terrestre géographique et sa représentation sur la carte, sont composées de petites figures telles que A'A?B?B'?, a'a?b?b', équivalentes chacune à chacune, à peu près de la même forme et semblablement disposées. Nous supposons les parallèles et les méridiens très-rapprochés, ce qu'il est toujours possible d'effectuer dans la construction.

Cela posé, 1º les petites figures A'A?B?B', a'a?b?b' sont équivalentes; car elles peuvent être considérées comme des parallélogrammes ayant des bases égales; B'B? = b'b? par construction, et même hauteur B'A' = BA = ba.

2º Ces figures A'A?B?B', a'a?b?b'] ont sensiblement la même forme; l'une et l'autre peuvent être considérées comme de petits rectangles. En effet, les méridiens et les parallèles perpendiculaires sur le globe le sont à fort peu près sur la carte; le long du méridien moyen, sce, les angles sont même exactement droits.

Ce dernier mode de représentation consiste, comme on le voit, à décomposer la contrée sur le globe terrestre, en très-petites parties (les petites figures A'A?B?B') que l'on transporte une à une aussi fidèlement que possible sur le papier. Cette représentation approche d'autant plus de l'exactitude que ces figures sont plus petites.