ANALYSE APPLIQUÉE A LA GÉOMÉTRIE.

MÉMOIRES. NOTES.

Courbes.

1. Sur les transformations birationnelles des courbes algébriques.

C R, t. 117, 3 juil. 1893, p. 18-23.

2. Sur les propriétés arithmétiques des courbes algébriques.

J L, 5^e s., t. 7, f. 2, 1901, p. 161-233.

Analyse par Landsberg: J F M, Bd. 32, J. 1901, S. 564-566.

Analyse par L. R.: B S M, 2^e s., t. 30, 2^e p., déc. 1906, p. 201-202.

3 à 5. Sur les courbes tracées sur les surfaces algébriques.

C R, t. 149, 6 déc. 1909, p. 1026-1027.

A S E N, 3^e s., t. 27, fév., mars 1910, p. 55-108.

Sitzungsberichte der Berliner mathematischen Gesellschaft, 10. J., Sitzung am 12 October 1910, S. 28-55. Voir Archiv der Mathematik und Physik, J. A. Grunert, Leipzig, B. G. T., Dritte Reihe, 18 Bd., 1 Ht, 24 Mai 1911.

Analyse par E. Lampe de la Note n^o 3: J F M, Bd. 40, 1909, S. 682-683.

Surfaces.

6. Sur les transformations des surfaces en elles-mêmes.

C R, t. 103, 26 oct. 1886, p. 732-734.

Analyse par v. Braunmühl: J F M, Bel. 18, J. 1886, S. 717-718.

7. Sur les surfaces de translation et les fonctions abéliennes.

B S M F, t. 29, 1901, 4^e trim. 1900, p. 61-86.

Analyse: B S M, 2^e s., t. 26, 2^e p., déc. 1902, p. 188-189.

8. Sur les lignes géodésiques des surfaces convexes.

Communication faite le 17 septembre 1904 au Congrès tenu à Saint-Louis par la Société mathématique américaine.

T A M S, v. 6, Jan. 4, 1905, p. 237-274.

Analyse par Rothe: J F M, Bd. 36, J. 1905, S. 669-670.

Analysis situs.

9. Sur l'«Analysis situs».

C R, t. 115, 31 oct. 1892, p. 633-636.

Analyse par Schönflies: J F M, Bd. 24, J. 1892, S. 506.

Analyse: B S M, 2^e s., t. 18, 2^e p., juin 1894, p. 121.

10. «Analysis situs».

J E P, 2^e s., 1^er c., 1895, p. 1-121.

Analyse: B S M, 2^e s., t. 25, 2^e p., sept. 1901, p. 215-216.

Analyse par Schönflies: J F M, Bd. 26, J. 1895, S. 541-542.

11. Sur les nombres de Betti.

C R, t. 128, 13 mars 1899, p. 629-630.

Analyse par Schönflies: J F M, Bd. 30, J. 1899, S. 435.

12. Complément à l'«Analysis situs».

R C M P, t. 13, 26 mars 1899, p. 285-343.

13. Second complément à l'«Analysis situs».

P L M S, v. 32, June 14, 1900, p. 277-308.

Analyse par Schönflies: J F M, Bd. 31, J. 1900, S. 477-478.

14. Sur l'«Analysis situs».

C R, t. 133, 4 nov. 1901, p. 707-709.

Analyse par Schönflies: J F M, Bd. 32, J. 1901, S. 488.

15. Sur certaines surfaces algébriques. Troisième complément à l'«Analysis situs».

B S M F, t. 30, 1^er sem. 1902, p. 49-70.

Analyse par Dehn: J F M, Bd. 33, J. 1902, S. 499-500.

16. Sur les cycles des surfaces algébriques. Quatrième complément à l'«Analysis situs».

J L, 5^e s., t. 8, f. 2, 1902, p. 169-214.

Analyse par L. R.: B S M, 2^e s., t. 30, 2^e p., déc. 1906, p. 212.

Analyse par Dehn: J F M, Bd. 33, J. 1902, S. 500-501.

17. Cinquième complément à l'«Analysis situs».

R C M P, t. 18, 1904, 3 nov. 1903, p. 45-110.

Analyse par Dehn: J F M, Bd. 35, J. 1904, S. 504-505.

18. Sur la connexion des surfaces algébriques.

C R, t. 133, 9 déc. 1901, p. 969-973.

19. Sur un théorème de Géométrie.

R C M P, t. 33, 1^er sem. 1912, 10 mars 1912.

SECTION III.

MÉCANIQUE ANALYTIQUE
ET
MÉCANIQUE CÉLESTE.

Extrait de l'Adresse prononcée par le Président, le Professeur G. H. DARWIN, en remettant a M. H. POINCARÉ la Médaille d'Or de la Société Royale Astronomique de Londres, le 9 février 1900 [5].

La médaille de la Société Royale Astronomique est décernée cette année à M. Henri Poincaré, Membre de l'Académie des Sciences de Paris. Étant votre Président, le devoir agréable de lui présenter cette médaille m'incombe; mais, avant de l'accomplir, je dois m'efforcer de vous exposer les motifs qui ont déterminé le Conseil à prendre cette décision.

Les recherches de M. Poincaré sont de caractères si divers, et elles ont été faites avec une telle richesse de connaissances, que je n'ai que bien peu de confiance dans mon aptitude pour remplir cette tâche ardue; cependant, je ne puis qu'être heureux que mes fonctions de Président me procurent l'occasion de lui rendre l'hommage qui lui est dû, pour ses grands travaux dans le domaine des Mathématiques....

Je me propose de n'attirer votre attention que sur trois de ses voies de recherches, et celles-ci ont une portée astronomique directe. Mon choix est déterminé non seulement par l'intérêt intrinsèque des résultats, mais aussi par ce fait que les sujets traités ont pour moi un intérêt spécial. Je parlerai donc de ses recherches sur la théorie dynamique des marées, sur les figures d'équilibre des masses liquides en rotation et sur la théorie des mouvements des planètes et des satellites.

Le premier de ces sujets est traité dans deux Mémoires sur l'équilibre et le mouvement de l'Océan [6]. Le problème est environné de conditions d'une telle complexité qu'il a semblé convenable à l'Auteur de considérer séparément les diverses difficultés, comme un préliminaire à la solution de la question dans son ensemble. Il commence par la théorie de l'équilibre des marées, mais il se propose de tenir compte, non seulement de l'influence des continents qui font obstacle, mais aussi de celle de l'attraction de la mer sur elle-même....

L'objet de ces Mémoires n'était pas d'arriver à une solution définitive de tout cas concret idéal, mais de montrer comment les difficultés fondamentales pouvaient être surmontées par l'Analyse mathématique. Ici, comme ailleurs, M. Poincaré nous conduit bien au delà de l'exemple particulier considéré, et il pourra bien arriver que les principes énoncés trouvent en fait leur application dans d'autres domaines avant de la trouver dans le problème des marées.

Si important que soit le travail dont je viens de parler, le Mémoire sur les figures d'équilibre d'un liquide en rotation [7] me semble se placer à un niveau bien plus élevé, car il marque une époque, non seulement dans l'étude du sujet lui-même, mais aussi dans celle de beaucoup d'autres. Il peut se faire que quelques-unes des généralisations qu'on y trouve aient flotté plus ou moins distinctement dans l'esprit de ceux qui ont précédé M. Poincaré dans cette voie, mais la théorie de la stabilité des systèmes en équilibre ou en mouvement uniforme a été, sans aucun doute, cristallisée et rendue transparente par ses efforts...

Nous arrivons maintenant à l'objet principal de la recherche. Une planète formée de fluide homogène a la forme d'un sphéroïde aplati et son équilibre est stable. Si l'on augmente sa vitesse angulaire de rotation, sa forme elliptique augmente aussi, mais la stabilité diminue. Lorsque l'ellipticité s'est accrue jusqu'à une certaine extension définie, la stabilité cesse et, par suite d'une rotation plus rapide, la figure devient instable. Au moment critique du changement, nous passons par une forme de bifurcation, et nous savons qu'il doit y avoir une autre série de figures qui ont aussi cette forme. Cette autre série se compose des ellipsoïdes de Jacobi, qui ont leurs trois axes inégaux. Mais il n'y a qu'un seul membre de la série de Jacobi qui soit une figure de révolution, et ce membre est identique à la forme de bifurcation trouvée en suivant la stabilité des figures aplaties. Il est vrai que ce Jacobien est aussi une forme limite, puisque la série se termine là; mais il n'est pas utile de nous arrêter pour approfondir ce point. Il résulte du principe d'échange des stabilités que, pour une rotation plus lente que la valeur critique, le Jacobien était stable. Tout cela était connu auparavant, mais le travail de M. Poincaré l'a présenté sous un jour nouveau et plus clair.

Ayant suivi la série stable des ellipsoïdes de révolution aplatis aux pôles jusqu'à la forme de bifurcation, M. Poincaré aiguille son train sur l'embranchement stable formé par les ellipsoïdes de Jacobi. Il suit cette voie jusqu'à ce qu'il trouve que cette forme devienne instable, et il annonce qu'il y a une nouvelle forme de bifurcation et qu'on arrive à un nouvel embranchement. A ce point, la ligne est presque bloquée par des obstacles mathématiques, de sorte qu'il ne peut s'avancer que juste ce qu'il faut pour s'apercevoir que la nouvelle figure a la forme d'une poire ayant sa partie la plus grande plus ou moins sphérique, et, en outre, une protubérance équatoriale que l'on peut comparer à l'extrémité qui tient au pédoncule.

Ce résultat, en apparence abstrait, explique l'évolution des systèmes planétaires d'une manière très intéressante. Considérons une masse liquide en rotation se refroidissant lentement. Si le refroidissement est assez lent, le frottement interne détermine la révolution de l'ensemble dans toutes ses parties avec la même vitesse angulaire. En premier lieu, quand la densité est petite, la figure est un ellipsoïde de révolution, mais il est légèrement aplati; par suite du refroidissement, l'aplatissement s'accroît jusqu'à ce que, à un certain moment, la figure de révolution cesse d'être une figure d'équilibre et que l'ellipsoïde commence à avoir une protubérance équatoriale. Il devient, en fait, un des ellipsoïdes de Jacobi. Ensuite cet ellipsoïde s'allonge jusqu'à ce que, à un certain moment, il commence à se creuser d'un sillon dissymétrique par rapport à un plan passant par l'axe de révolution; puis prend la forme d'une poire ayant son axe de révolution perpendiculaire au cœur de la poire. «La plus grande partie de la matière tend à se rapprocher de la forme sphérique, pendant que la plus petite partie sort de l'ellipsoïde par un des sommets du grand axe, comme si elle cherchait à se détacher de la masse principale.

«Il est difficile d'annoncer avec certitude ce qui arrivera ensuite si le refroidissement continue, mais il est permis de supposer que la masse ira en se creusant de plus en plus, puis en s'étranglant dans la partie moyenne et finira par se partager en deux corps isolés.»

Il est évident qu'un processus de cette sorte peut avoir joué son rôle dans l'évolution des systèmes célestes, et cette théorie semble se confirmer d'après les formes observées dans beaucoup de nébuleuses.

Le Mémoire de M. Poincaré m'est apparu comme une révélation, parce que, juste à l'époque où il fut publié, je venais d'essayer d'attaquer la question par le côté opposé, et de suivre les étapes de l'union en un seul de deux corps séparés—mais, hélas! je dois admettre que mon travail ne contenait pas de principes généraux de grande portée—ni aucune lumière sur la stabilité des systèmes que j'essayais d'imaginer—ni rien de tout ce qui rend le Mémoire de M. Poincaré un travail qui marquera toujours une époque importante, non seulement dans l'histoire de l'Astronomie évolutionnaire, mais aussi dans celle du domaine plus vaste de la Dynamique générale.

J'arrive maintenant à la troisième contribution astronomique de M. Poincaré; je veux parler de son Livre sur la Mécanique céleste [8].... Il est probable que, pendant le prochain demi-siècle, ce Livre sera la mine d'où des chercheurs plus humbles extrairont leurs matériaux. Cette mine est si vaste et le nombre des idées est si grand, que je me trouve en face d'une difficulté considérable pour parler de ce travail comme il le faudrait....

Le caractère dominant du mode de travail de M. Poincaré me semble consister en une immense ampleur des généralisations, de sorte que le grand nombre des déductions possibles est quelquefois presque troublant. Cette puissance de saisir les principes abstraits est la marque de l'intellect du vrai mathématicien; mais pour celui qui est plutôt habitué à traiter le concret, la difficulté de se rendre maître du raisonnement est quelquefois grande. Pour cette seconde classe d'esprits, le procédé le plus facile est l'examen de quelque cas simple et concret, pour s'élever ensuite vers l'aspect plus général du problème. Je me figure que M. Poincaré doit suivre dans son travail une autre route que celle-là, et qu'il trouve plus facile de considérer d'abord les issues les plus larges pour descendre de là vers des cas plus spéciaux. Il est rare de posséder cette faculté à un haut degré, et l'on ne peut s'étonner que celui qui la possède ait amassé un noble héritage pour les hommes de science des générations futures.

En vous remettant cette médaille, M. Poincaré, je désire vous exprimer de la part de notre Société qu'en cherchant à vous faire honneur, nous nous sentons nous-mêmes très honorés.

M N, v. 60, Feb. 9, 1900, p. 406-415.