Amusement des Sciences.
SOLUTION DES QUESTIONS PROPOSÉES DANS L'AVANT-DERNIER NUMÉRO.
I. Tous nos lecteurs connaissent le moyen d'obtenir un mouvement de rotation continu au moyen de l'air échauffé par un poêle. Ils savent que si, après avoir coupé dans une carte un cercle de la largeur de cette carte, on découpe ce cercle suivant une spirale qui fasse trois ou quatre révolutions, en réservant un petit espace intact autour du centre, il suffira d'appuyer ce centre sur une pointe verticale, auprès du tuyau d'un poêle, pour que l'espèce de surface hélicoïdale obtenue par le déroulement de la carte se mette à tourner sur elle-même avec une vitesse qui dépendra de l'excès de la température du tuyau sur celle de la chambre.
Ce petit jeu mécanique est fondé sur la propriété dont jouit une colonne d'air chaud de s'élever au milieu d'une masse d'air plus froid. Le courant qui en résulte tend à faire monter la carte découpée; mais, en égard à l'inclinaison de la surface de cette carte, l'impulsion qu'elle reçoit agissant obliquement et n'étant pas assez furie pour soulever la carte entière, ne peut que la faire tourner autour de son point de suspension.
Cela posé, l'intelligence de notre figure, n'offrira aucune difficulté. Il suffit d'y jeter les yeux pour reconnaître que le courant d'air chaud de la cheminée agissant sur une surface hélicoïdale analogue à celle dont nous parlions tout à l'heure, doit produire le même effet. Ainsi l'appareil prendra un mouvement de rotation autour de l'arc vertical en fer, qui est scellé au milieu de la cheminée, et qui est mobile sur les deux pointes placées à ses extrémités. Quant à la transmission du mouvement à la broche, elle s'opère très-simplement par l'intermédiaire d'une grande roue agissant sur un pignon et d'une chaîne sans fin verticale, semblable à celle que l'un voit dans les tourne-broches ordinaires.
Cette espèce de tourne-broche est employée en quelques points du territoire. Elle fonctionne parfaitement quand elle est convenablement établie, et elle mériterait d'être plus connue. Il est à remarquer qu'elle satisfait pleinement aux exigences culinaires, en ce que la vitesse de rotation est d'autant plus considérable que le feu est plus actif.
On a construit, d'après les mêmes idées, des lampes assez, singulières. Le verre qui sert de cheminée étant surmonté d'un appareil hélicoïdal du genre de celui que représente notre figure, a suffit d'allumer la lampe pour que le mouvement de rotation ait lieu. Or, les transformations de mouvement, faciles à concevoir, servent à tirer parti de cette faible force de rotation et à la faire agir, soit sur du petites pompes qui montent l'huile à la partie supérieure de la lampe, soit sur un mécanisme d'horlogerie sans ressort ni poids; de sorte que c'est le mouvement, de la lampe qui fait marcher les aiguilles sur le cadran.
Les transformations de mouvement dont il vient d'être question se retrouvent à chaque instant dans les machines les plus importantes et les plus utiles. Ainsi, l'air chaud en montant suit une direction rectiligne, et, au moyen de la surface hélicoïde, ce courant ascendant imprime la rotation aux engrenages de notre tourne-broche. La rotation qui a lieu d'abord autour d'un axe vertical, se transforme finalement en une autre autour d'un axe horizontal.
Remarquons en outre l'analogie frappante, ou plutôt la similitude parfaite qu'il y a entre l'appareil propulseur hélicoïdal qui paraît avoir un si grand avenir dans la navigation à vapeur et l'âme de notre petite machine.--La seule différence consiste en ce que l'un reçoit l'impulsion d'un moteur étranger dans un liquide immobile, d'où résulte son mouvement de progression dans ce liquide, tandis que l'autre reçoit l'impulsion d'un courant de fluide aérien, et que ne pouvant acquérir un mouvement de progression, il transmet sa rotation à d'autres parties de la même machine. Ainsi, un des progrès les plus remarquables de la navigation à la vapeur se trouvait implicitement dans notre tourne-broche sans ressort ni contre-poids! Que de grandes choses dans les plus petites!
II. Disons d'abord en quoi consiste le jeu de passe-dix. On jette trois dés sur une table, et un joueur parie contre l'adversaire que la donne des points amenés excédera 10. Il y a 216 combinaisons possibles. Or, les points sont disposés sur les dés ordinaires de manière que la somme des points sur deux faces opposées soit constamment sept, l'as opposé au six, et ainsi pour les autres. La somme des points qui se trouvent sur les faces opposées des trois dés fait donc constamment 21. Donc chaque combinaison qui fait gagner le joueur pariant pour passe-dix, en comprend une autre qui le fait perdre, savoir celle qu'on obtiendrait en retournant les trois dés, ou en faisant la lecture sur les faces inférieures au lieu de la faire sur les faces supérieures. Donc, les chances des joueurs sont égales lorsqu'ils parient, l'un pour, l'autre contre passe-dix en un coup.
Cela posé, d'après l'énoncé de notre problème, les probabilités de Paul sont évidemment
1/2 1/4 1/8 1/16 1/32
pour gagner 1, 2, 4, 8, 16 fr., etc.,
selon que Pierre passera dix au premier, au second, au troisième coup, etc. La valeur de son espérance mathématique de gain est égale à la somme de tous les gains aléatoires multipliés respectivement par les probabilité correspondantes. Or, chacun de ces produits partiels est égal à un demi-franc Ainsi, Paul devrait, pour que le jeu fût égal, déposer un enjeu de 50 francs, si l'on convient de s'arrêter au centième coup; 500 francs pour mille coups, etc.
Il semble donc qu'il doit déposer pour enjeu une somme infinie, quand on convient que le jeu se prolongera jusqu'à ce que Pierre ait passé dix, si loin qu'il faille aller pour cela. Et cependant, ajoute-t-on, quel est l'homme sensé qui voudrait risquer à ce jeu, non pas une somme infinie dont personne ne dispose, mais une somme tant soit peu forte relativement à sa fortune.
Tel est le paradoxe curieux qui est célèbre dans l'histoire de la science sous le nom de problème de Pétersbourg.
Pour lever ce paradoxe, ce que nous connaissons de plus satisfaisant est la remarque très-simple faite par M. Poisson, que Pierre ne peut pas payer plus qu'il n'a, et que possédât-il 50 millions, il ne pourrait loyalement s'engager à prolonger le jeu au-delà du 26e coup, puisqu'au 27e coup sa dette envers Paul, en cas de perte, serait le nombre de francs représente par le produit de 29 facteurs égaux à 2, ou par 67, 108, 864 francs, somme supérieure à sa fortune. Réciproquement, Paul connaissant la fortune de Pierre, ne s'engagera pas après plus de 26 coups, et ne risquera que 15 francs. En supposant qu'on ne limite pas le nombre des coups, comme il ne peut recevoir de Pierre, quoi qu'il arrive, plus de 50 millions, on trouve que son enjeu ne doit pas dépasser 13 francs 50 centimes.
(Cette question est empruntée à l'ouvrage de M. Cournot, déjà cité.)
NOUVELLES QUESTIONS A RÉSOUDRE.
I. Puiser de l'eau dans un puits avec une corde sans seau.
II. On demande de combien de manières différentes on pourrait payer 3 livres tournois, lorsque l'on faisait usage de nos anciennes monnaies, telles que: écus de 3 livres, pièces de 24, de 12, de 6, de 2 sous, de 18 deniers, d'un sou, de 2 liards, d'un liard.
A M. le Directeur de L'Illustration,
Bordeaux, 17 janvier 1843.
Monsieur,
Vos rébus finiront par causer quelque grand malheur. Deux honorables négociants de Bordeaux, n'ayant pu se mettre d'accord sur le sens de celui que contenait votre avant-dernier numéro, en sont venus à des propos affligeants et presque à des voies de fait. Voici comment les choses se sont passées:
M. A..., remarquant dans votre rébus un rayonnement circulaire d'un diamètre fort étendu, pensa que l'intention de l'auteur avait été de représenter le soleil. Cela posé, il constata au centre de l'astre la présence d'une laie et les attributs généraux des beaux-arts. Armé de ces deux éléments de conviction, il arriva successivement à la combinaison d'une phrase ainsi conçue:
Les beaux-arts sont dans le plus grand désastre.
(Laie, beaux-arts sont dans le plus grand des astres.)
Je ne sais, monsieur, ce que vous penserez de cette interprétation. M. A... soutint qu'elle était parfaitement raisonnable: il déclara qu'il avait visité la dernière Exposition du Louvre; qu'il avait reculé d'horreur à la vue de toutes les monstruosités qui s'étaient offertes à sa vue; qu'il lui était par conséquent permis de croire que les beaux-arts étant arrivés à leur extrême décadence, ce fait avait pu être proclamé, sous la forme allégorique d'un rébus, dans un journal qui se distingue par la délicatesse et la pureté de son goût.
M. C..., qui avait également visité la galerie du Louvre, mais qui, en sa qualité de spéculateur en indigo et en cochenille, n'avait fixé son attention que sur la nature des couleurs et les avait trouvées fort belles, repoussait la traduction de M. A... comme absurde, inconvenante et attentatoire à la dignité des artistes français. En conséquence, il déclara:
1° Que ce que M. A... prenait pour un soleil, n'était autre chose qu'une gloire;
2° Qu'en effet on voyait au milieu de cette gloire les attributs des beaux-arts;
3º Qu'on y voyait également une laie, mais que cette laie étant sur le point de mettre bas, il fallait en conclure qu'elle était féconde.
A l'aide de ces diverses indications, M. C... déclara formellement que, loin de signifier que les que les beaux-arts étaient dans le plus grand désastre, le rébus contenait ces mots:
La gloire environne les beaux-arts et les féconde. (et laie féconde)
Vous comprenez, monsieur, que, partant de deux points de vue aussi opposés, il était difficile que les deux adversaires pussent se faire la plus légère concession. Vainement des amis, affligés d'une discussion dont les suites pouvaient devenir graves, firent-ils tous leurs efforts pour opérer une conciliation; elle était radicalement impossible. Ils échouèrent donc, et la querelle n'en devint que plus animée et les expressions que plus outrageantes.
Heureusement, monsieur, le courrier de Paris apporta votre dernier numéro et par conséquent l'explication de votre dernier rébus. Ni l'un ni l'autre des adversaires n'avait deviné juste, puisque la phrase était: Les beaux-arts sont dans toute leur gloire, la dispute se calma subitement; des explications satisfaisantes furent échangées; les deux négociants se précipitèrent dans les bras l'un de l'autre.
Toutefois M. C..., après un instant de réflexion, se ravisa vivement, et s'écria en s'adressant aux témoins de cette terrible scène: «Avouez au moins, messieurs, que j'ai un peu moins tort que M. A...; car, si les beaux-arts sont dans toute leur gloire, il en résulte évidemment qu'ils ne sont pas dans le plus grand désastre!...»
Vous voyez, monsieur, que ce qui vient de se passer à Bordeaux est un nouveau chapitre à ajouter au livre des grands effets produits par les petites causes. Qu'à l'avenir cela vous serve d'avertissement, et croyez-moi,
Votre bien dévoué serviteur et abonné,
P. B..... O.