ein Büschel paralleler Strahlen.
| Fig 18 |
Denkt man sich nun die beiden Ebenen ε und ε' durch Strahlen der so bestimmten Richtung parallelperspektiv aufeinander bezogen, und bezeichnet den so zu einem jeden Punkt P zugeordneten Punkt zunächst durch P'', so ist nur noch zu zeigen, daß P'' mit P' identisch ist. Dazu verbinde man P mit einem Punkt B von s und einem Punkt An von a so, daß PBAAn ein Parallelogramm ist, dann ist nach Voraussetzung auch P'BAA'n ein Parallelogramm, und ebenso ist gemäß 1. P''BAA''n ein Parallelogramm. Da nun An' mit An'' identisch ist, so gilt dies auch für P' und P'', womit der Beweis erbracht ist.[25]
9. Hieraus folgern wir endlich noch, daß zwei Ebenen, denen die im Satz [III[!--tex4ht:ref: thm:5.III --] vorausgesetzten Eigenschaften zukommen, auch alle übrigen in diesem Paragraphen genannten Eigenschaften besitzen.
§ 6. Die unendlichfernen Elemente.
Die Theorie der sogenannten unendlichfernen Elemente hat sich im Anschluß an die Lehre von der perspektiven Beziehung entwickelt. Wir werden daher ebenfalls diesen Weg einschlagen und gehen zu der in § [4[!--tex4ht:ref: section:4 --] erörterten perspektiven Beziehung zurück. Naturgemäß soll es sich hier in erster Linie um eine systematische Darlegung handeln.
Sei p0 ein zur Ebene ε paralleler Strahl des Strahlenbündels S0, so ist er zu ε' nicht parallel und wird daher ε' in einem Punkt P' schneiden, während ein eigentlicher Schnittpunkt mit ε nicht vorhanden ist.[26] Die in § [4[!--tex4ht:ref: section:4 --] dargelegte Grundlage der perspektiven Beziehung, die jedem Punkt der einen Ebene einen Punkt der anderen zuordnet, erleidet also für den Strahl p0 zunächst eine Ausnahme. Wir beseitigen sie, indem wir auch zwei parallelen Geraden einen und nur einen gemeinsamen Punkt beilegen; wir nennen ihn ihren unendlichfernen Punkt. Die Bedeutung und die Tragweite dieser Festsetzung erhellt aus folgendem.