Zunächst folgern wir, daß allen einander parallelen Geraden derselbe unendlichferne Punkt beizulegen ist. Ist nämlich G∞ der gemeinsame Punkt zweier parallelen Geraden g und g1 und ist auch g2 zu g parallel, so haben unserer Festsetzung gemäß auch g und g2 ihren unendlichfernen Punkt gemein, und da es für jede Gerade nur einen geben soll, so geht sowohl g1 als auch g2 durch G∞ hindurch.
Nun denke man sich in der Ebene ε irgendeine Gerade p gezogen, die zu dem oben angenommenen Strahl p0 parallel ist, so haben auch diese beiden Geraden ihren unendlichfernen Punkt gemein; es geht also p0 durch den unendlichfernen Punkt P∞ von p hindurch. Die obenerwähnte Ausnahmestellung des Strahles p0 ist damit beseitigt; er hat jetzt mit ε und ε' je einen Punkt gemein, nämlich P' und P∞ und ordnet auch diese Punkte einander zu.
Übrigens ist, was zu bemerken ist, der zu P' so zugeordnete Punkt P∞ davon unabhängig, welche zu p0 parallele Gerade von ε wir zu seiner Definition benutzen; in der Tat gehen alle diese Geraden durch denselben Punkt P∞ hindurch.
| Fig 19 |
Sei nun wieder (Fig. [19[!--tex4ht:ref: fig:19 --]) η0 diejenige durch S0 gehende Ebene, die zu ε parallel ist, so wird sie ε' in einer Geraden h' schneiden, während eine Schnittlinie mit ε zunächst fehlt. Um diese Ausnahme zu beseitigen, legen wir auch den Ebenen ε und η0 eine ihnen gemeinsame Gerade bei, die wir ihre unendlichferne Gerade nennen und durch h∞ bezeichnen. Wie oben, folgern wir zunächst wieder, daß alle zueinander parallelen Ebenen dieselbe unendlichferne Gerade enthalten.
Wesentlich ist weiter, daß die so eingeführte unendlichferne Gerade h∞ die allgemeine Eigenschaft besitzt, die einer Schnittlinie zweier Ebenen zukommt, daß sie nämlich Ort aller in ε enthaltenen unendlichfernen Punkte ist. Falls nämlich wieder p irgendeine Gerade von ε ist, und p0 der durch S0 gehende zu p parallele Strahl, so liegt p0 in η0, und daher gehört der Punkt P∞, den p0 mit ε gemein hat, zu den Punkten, die η0 mit ε gemein hat; er ist also in der Tat ein Punkt von h∞. Der Schnittpunkt P' von p0 mit ε' liegt aus demselben Grund auf h'. In Übereinstimmung mit § [2[!--tex4ht:ref: section:2 --] bezeichnen wir h' als die Fluchtlinie von ε'.
Ebenso kann man in der Ebene ε' eine unendlichferne Gerade k∞' definieren; sie entspricht der Geraden k von ε, in der ε von der zu ε' parallelen durch S0 laufenden Ebene geschnitten wird, und die die Fluchtlinie von ε darstellt.
Man folgert endlich noch unmittelbar den folgenden Satz:
I. Bei parallelperspektiver Beziehung zweier Ebenen ε und ε' entspricht dem unendlichfernen Punkt einer Geraden g von ε der unendlichferne Punkt ihrer Bildgeraden in ε', und der unendlichfernen Geraden von ε die unendlichferne Gerade von ε'.