Dies geschieht durch Grundriß und Aufriß. Ähnlich wie in der analytischen Geometrie gehen wir von zwei zueinander senkrechten Koordinatenebenen aus, auf die wir alle Punkte des Raumes der Lage nach beziehen. Sind P1 und P2 die Projektionen von P in diesen Ebenen (vgl. Fig. [27[!--tex4ht:ref: fig:27 --], S. [59[!--tex4ht:ref: fig:27 --]), so ist P eindeutig bestimmt, wenn die Lage von P1 und P2 gegeben ist, und zwar als Schnittpunkt der beiden in P1 und P2 auf diesen Ebenen errichteten Lote. Die Ebenen sollen Projektionsebenen heißen und durch π1 und π2 bezeichnet werden. Die eine denken wir uns wieder horizontal und nennen sie Grundrißebene oder erste Projektionsebene, die andere, die vertikal ist, nennen wir Aufrißebene oder zweite Projektionsebene. Ihre Schnittlinie nennen wir wieder Achse und bezeichnen sie durch a. Wird jeder Punkt und jede Gerade einer Raumfigur Σ auf diese beiden Ebenen orthogonal projiziert, so entsteht in der Grundrißebene der Grundriß oder die Grundrißprojektion, in der Aufrißebene der Aufriß oder die Aufrißprojektion. Die Grundebene γ und die Bildebene β stellen ein Paar solcher Ebenen dar.
| Fig 35 |
Da Grundriß und Aufriß Parallelprojektionen sind, so gelten für sie alle Sätze, die wir am Schluß von § [8[!--tex4ht:ref: section:8 --] für solche Projektionen abgeleitet haben. Sie können daher auch selbst als geometrische Bilder räumlicher Objekte gelten, und kommen auch vielmals als solche in Betracht. Hier soll jedoch wesentlich nur ihre Verwendung für die zeichnerische Herstellung des perspektivischen Bildes in der Bildebene β erörtert werden.
Wir denken uns dazu in gewohnter Weise die Grundrißebene um. die Achse in die Aufrißebene umgelegt, und leiten zunächst eine elementare, aber grundlegende Eigenschaft für die so entstehende Figur ab. Sie beruht darauf, daß die Ebene der drei Punkte PP1P2 auf der Achse a senkrecht steht; ist also P0 ihr Schnitt mit a, so ist PP1P0P2 ein Rechteck. Bei der Umlegung der Grundrißebene bleibt daher P0P2 zur Achse senkrecht, und es fallen deshalb P1, P0, P2 nach erfolgter Umlegung in eine Gerade (Fig. [35[!--tex4ht:ref: fig:35 --]); d. h.:
I. Die Verbindungslinie der beiden Projektionen P1 und P2 schneidet die Achse a senkrecht.[40]
Liegt P insbesondere in der Grundrißebene, so ist P mit P1 identisch, während P2 auf P0 fällt; ebenso fällt P1 in P0, falls P in der Aufrißebene liegt, also mit P2 identisch ist.[41]
In den einfachsten Fällen kann die Herstellung von Grundriß und Aufriß ohne weiteres ausgeführt werden. Dies zeigen folgende Beispiele:
1. Grundriß und Aufriß einer quadratischen Pyramide zu zeichnen, deren Grundfläche in der Grundebene steht. Der Grundriß besteht (Fig. [36[!--tex4ht:ref: fig:36 --]) aus dem Quadrat A1B1C1D1 und seinen sich in O1 schneidenden Diagonalen, die die ersten Projektionen der Kanten darstellen. Im Aufriß fallen A2, B2, C2, D2 in die Achse, während die Spitze O2 auf der durch O1, gehenden Vertikalen beliebig angenommen werden kann.
| Fig 36 | Fig 37 |