2. Grundriß und Aufriß eines regulären Oktaeders so zu zeichnen (Fig. [37[!--tex4ht:ref: fig:37 --]), daß eine Hauptdiagonale auf der Grundrißebene senkrecht steht. Sei ABCDEF das Oktaeder und AF diese Hauptdiagonale.
Wir können das Oktaeder als eine Doppelpyraramide mit der Grundfläche BCDE und der Höhe AF betrachten und erkennen sofort, daß der Grundriß aus dem zu BCDE kongruenten Quadrat B1C1D1E1 und seinen Diagonalen besteht; im Mittelpunkt des Quadrates fallen A1 und F1 zusammen. Die Lage von B1C1D1E1 in der Grundebene wählen wir beliebig.
Um die Aufrißprojektion zu zeichnen, wollen wir zunächst festsetzen, daß der Punkt A in der Grundebene enthalten ist; dann fällt A2 auf die Achse a. Da die Höhe AF zur Aufrißebene parallel ist, so ist A2F2 = AF; damit ist auch der Punkt F2 bestimmt. Endlich fallen die Projektionen B2, C2, D2, E2 sämtlich in eine zur Achse a parallele Gerade, die A2F2 halbiert.[42]
3. Ein Parallelepipedon beliebiger Stellung in Grundriß und Aufriß zu zeichnen.
Wir haben zunächst zu überlegen, wie man die räumliche Lage eines Parallelepipedons überhaupt festlegt. Man kann dazu einen Punkt A des Raumes und drei von ihm ausgehende Kanten AB, AC, AD beliebig annehmen; aus ihnen entsteht das Parallelepipedon durch bloßes Ziehen von Parallelen. Handelt es sich also nur darum, irgendein Parallelepipedon zu zeichnen — und dies soll hier der Fall sein — so kann man (Fig. [38[!--tex4ht:ref: fig:38 --]) die Projektionen A1, B1, C1, D1 und A2, B2, C2, D2 beliebig wählen (naturgemäß in Übereinstimmung mit Satz [I[!--tex4ht:ref: thm:10.I --]); die Projektionen der übrigen Punkte ergeben sich aus ihnen durch Ziehen der noch fehlenden Parallelen, wie die Figur es erkennen läßt.
| Fig 38 |
Um nun aus Grundriß und Aufriß in der Ebene β das Bild Σ' einer Raumfigur Σ zu zeichnen, treffen wir zunächst die naheliegende Festsetzung, daß die Bildebene β zugleich als Aufrißebene und die Grundebene γ als Grundrißebene betrachtet werden sollen. Grundlinie, Horizont und Distanzpunkte betrachten wir wieder als gegeben. Ferner genügt es, die Herstellung des Bildpunktes P' für einen beliebigen Punkt P zu leisten, und zwar naturgemäß wieder unter der Voraussetzung, daß wir die Grundrißebene in die Aufrißebene hineingedreht haben. Die Aufgabe, die zu lösen ist, ist also die, aus dem in der Zeichnungsebene gegebenen Grundrißpunkt P1 und dem ebenso gegebenen Aufrißpunkt P2 den Bildpunkt P' zu finden. Hierzu hat man sich aber nur zu vergegenwärtigen, daß die Lote PP1 und PP2 eine Gerade v und eine Gerade n im Sinne von § [9[!--tex4ht:ref: section:9 --] darstellen (Fig. [26[!--tex4ht:ref: fig:26 --]), und daß die hier benutzten Punkte P1 und P2 mit den dort eingeführten identisch sind. Infolgedessen überträgt sich auch die dort unter [III[!--tex4ht:ref: thm:9.III --] gegebene Regel auf den vorliegenden Fall; sie vereinfacht sich noch dadurch, daß hier der Punkt P2 bereits bekannt ist. Also folgt (Fig. [27[!--tex4ht:ref: fig:27 --]).
II. Um aus der Grundrißprojektion P1 und der Aufrißprojektion P2 eines Punktes P den in der Aufrißebene liegenden Bildpunkt P' zu erhalten, zeichne man zunächst gemäß § [3[!--tex4ht:ref: section:3 --] den Bildpunkt P1' von P1 ziehe durch ihn eine Vertikale und verbinde P2 mit dem Augenpunkt N, so ist der Schnittpunkt beider Geraden der Punkt P'.