Ich beginne mit Punkt, Gerade und Ebene und ihren gegenseitigen Beziehungen. Zweierlei kommt hier in Betracht. Erstens sind die Eigenschaften der einzelnen Figuren zu entwickeln; zweitens kann es sich darum handeln, Zeichnungen und Konstruktionen für gegebene geometrische Gebilde herzustellen.
1. Die Gerade. Das erste unmittelbar ersichtliche Resultat lautet, daß zwei beliebig in den Projektionsebenen π1 und π2 angenommene Geraden g1 und g2 stets die Projektionen einer eindeutig bestimmten Raumgeraden g darstellen (Fig. [40[!--tex4ht:ref: fig:40 --]). Sie ist Schnittlinie der beiden Ebenen, die man durch g1 und g2 senkrecht zu π1 und π2 konstruiert. Diese beiden Ebenen heißen auch projizierende Ebenen der Geraden g; wir werden sie durch γ1 und γ2 bezeichnen.
| Fig 41 | Fig 42 |
Jede Gerade g ist durch zwei Punkte bestimmt; man kann hierzu insbesondere ihre Schnitte mit den Projektionsebenen wählen, die wir wieder ihre Spuren nennen und jetzt durch G1 und G2 bezeichnen wollen (Fig. [41[!--tex4ht:ref: fig:41 --]). Da G1 in π1 liegt, so fällt die zweite Projektion von G1 auf die Achse a; sie möge G10 heißen.[51] Ebenso fällt die erste Projektion von G2 auf die Achse (Fig. [42[!--tex4ht:ref: fig:42 --]); sie heiße G20. Daher sind G1G20 und G2G10 die Projektionen der Geraden.
Hieraus ergibt sich unmittelbar die Lösung der Aufgabe, die Spuren einer gegebenen Geraden zu zeichnen, deren Projektionen g1 und g2 gegeben sind. Man hat nur ihre Schnittpunkte mit der Achse zu konstruieren und in ihnen die Lote zu errichten; sie schneiden g1 und g2 in den Spurpunkten.
Wir betrachten endlich die Projektionen einiger Geraden ausgezeichneter Lage. Man erkennt unmittelbar die Richtigkeit folgender Tatsachen:
Ist g zur Achse parallel, so sind auch g1 und g2 zur Achse parallel.
Ist g zur Grundrißebene π1 parallel, so ist g1 zu g parallel, während g2 zur Achse parallel ist; analog ist es, wenn g zu π2 parallel ist.
Die Grundrißprojektion einer Vertikalen v reduziert sich auf einen Punkt, nämlich auf ihre Spur in π1, während v2 zur Achse senkrecht ist. Analog steht die erste Projektion einer auf π2 senkrechten Geraden n auf der Achse senkrecht, während sich n2 auf die Spur von n in π2 reduziert.
2. Die Ebene. Eine Ebene kann entweder als begrenztes Flächenstück oder aber als unbegrenztes Raumgebilde in Frage kommen. Im ersten Fall sind die Projektionen des Flächenstücks durch die Projektionen seiner Begrenzung unmittelbar gegeben.