ABC, fälle das Lot A'D1, konstruiere das Dreieck A1D1A'' so, daß D1A'' = D1A' und D1 der gegebene Winkel ist, und zeichne zu A1 die zweite Projektion A2 in der Weise, daß A2A0 = A''A1 ist.
Es ist klar, daß man das vorstehende Verfahren auch benutzen kann, um den Neigungswinkel des Dreiecks ABC gegen die Grundrißebene zu ermitteln, wenn seine Projektionen gegeben sind. Man hat nur in umgekehrter Reihenfolge vorzugehen. Ich gehe jedoch hierauf nicht näher ein, weil in dieser Schrift immer die Herstellung der Zeichnungen in erster Linie in Frage kommt.
| Fig 62 |
Beispiel 1. Einen Kasten mit rechtwinkliger Grundfläche zu zeichnen, dessen Dachflächen unter gleichen Winkeln gegen die Wände geneigt sind. Die Grundfläche ABCD befinde sich in der Grundebene, EFGH sei die obere Rechteckfläche und ST die Dachkante. (Fig. [62[!--tex4ht:ref: fig:62 --]).
Man kann so verfahren, daß man je eine Ebene zu Hilfe nimmt, die auf der Grundfläche und auf zwei parallelen Seiten des Rechtecks ABCD senkrecht steht, und sie in die Grundebene umlegt; zunächst eine für die größeren Seiten AD und BC. Der Durchschnitt ist zeichnerisch bestimmt; sein höchster Punkt U ist ein Punkt der Dachkante ST.[58] Mittels der Umlegung dieser Ebene ergeben sich also die Projektionen U1 und U2; übrigens genügt es den Teil des Durchschnitts zu zeichnen, der dem Dach angehört und durch A1B1U' dargestellt ist. Dann benutzt man zweitens eine Ebene, die durch den Punkt U geht, und auf den Seiten AC und BD senkrecht steht. Ihre Durchschnittsfigur ist jetzt ebenfalls zeichnerisch bestimmt; durch ihre Umlegung ergeben sich also auch die Projektionen S2 und T2. Auch hier genügt es den Teil umzulegen, der dem Dach selbst angehört.
2. Grundriß und Aufriß eines regulären Dodekaeders zu zeichnen, von dem eine Fläche ABCDE in die Grundebene fällt (Fig. [63[!--tex4ht:ref: fig:63 --] u. [64[!--tex4ht:ref: fig:64 --]).
Folgende Eigenschaften, die die Gestalt des Dodekaeders betreffen, kommen hier in Betracht, Seine 20 Ecken verteilen sich auf vier zur Grundebene parallele Ebenen, so daß sie in jeder ein regelmäßiges Fünfeck bilden. Diese Fünfecke seien der Reihe nach ABCDE, A'B'C'D'E', A''B''C''D''E'', A'''B'''C'''D'''E'''. Von ihnen sind das erste und vierte kongruent, und ebenso das zweite und dritte. Sie liegen so zueinander, daß ihre Grundrißprojektionen zwei regelmäßige Zehnecke bilden.
| Fig 63 | Fig 64 |
Um den Grundriß herzustellen, kann man die Lage der Grundfläche ABCDE, also auch das Zehneck, dem seine Ecken angehören, beliebig annehmen; das von den Projektionen der beiden anderen Fünfecke gebildete Zehneck ist jedoch zu konstruieren. Ist BB' die von B ausgehende Kante des Dodekaeders, so muß ihre Grundrißprojektion aus Symmetriegründen in die Gerade fallen, die mit AB und BC gleiche Winkel bildet; auf dieser Geraden liegt also der Punkt B'. Denkt man sich nun die an BC anstoßende Fläche in die Grundrißebene umgelegt, so fällt B' auf A; gemäß [I[!--tex4ht:ref: thm:12.I --]. liegt daher B'1 auch auf dem Lot, das man von A1 auf B1C1 fallen kann. Damit ist B'1 bestimmt, also auch das zweite Zehneck. Man zieht noch diejenigen Verbindungslinien, die den Kanten des Dodekaeders entsprechen.