Dazu denken wir uns eine besondere Ebene ε0, die das Dreieck A0B0C0 enthalten soll, und beziehen sie in der Weise ähnlich (§ [4[!--tex4ht:ref: section:4 --]) auf ε, daß ABC und A0B0C0 einander entsprechen. Dann bestehen die in § [5[!--tex4ht:ref: section:5 --], [1[!--tex4ht:ref: subsub:5..1 --] und [2[!--tex4ht:ref: subsub:5..2 --] genannten Eigenschaften sowohl für ε und ε', als auch, für ε und ε0, sie bestehen also auch für ε0 und ε', und da nach Annahme A'B' = A0A0 ist, so gibt es in ε' und ε0 auch ein Geradenpaar, dessen Proportionalitätsfaktor ρ = 1 ist. Gemäß § [5[!--tex4ht:ref: section:5 --], [8[!--tex4ht:ref: subsub:5..8 --] u. [9[!--tex4ht:ref: subsub:5..9 --] gelten also für ε0 und ε' alle dort abgeleiteten Sätze.
Seien nun u0 und v0 die Geraden durch C0, die in ε0 den Geraden u und v von ε entsprechen, so bilden auch sie einen rechten Winkel. Daher sind u0, v0 und u', v' auch für ε0 und ε' die den Punkten C0 und C' zugehörigen rechten Winkel. Um sie zu bestimmen, hat man gemäß § [5[!--tex4ht:ref: section:5 --] in der Ebene ε' das Dreieck A0B0C0 so zu zeichnen (Fig. [74[!--tex4ht:ref: fig:74 --]), daß A0B0 auf A'B' fällt, dann den Kreis zu schlagen, der durch C0 und C' geht, und dessen Mittelpunkt auf A'B' liegt, und die Punkte U' und V ', in denen er A'B' schneidet, mit C' zu verbinden. Damit ist die Lage der Strahlen u' und v' bereits bekannt.
Es fragt sich nun noch, welcher dieser beiden Strahlen derjenige ist, dem die Schnittlinie s beider Ebenen parallel läuft. Um die Begriffe zu fixieren, bezeichnen wir diesen durch u'; es ist also sowohl u' als auch u zu s parallel, während v' auf s senkrecht steht. Wir gehen nun wieder zu den Ebenen ε und ε' zurück, und denken uns die Ebene ε so in die Ebene ε' um die Achse s umgelegt (Fig. [74[!--tex4ht:ref: fig:74 --]), daß die Dreiecke ABC und A'B'C' auf verschiedenen Seiten von s liegen.[65] Dann wird, da ε' eine Orthogonalprojektion von ε ist, die Verbindungslinie von je zwei entsprechenden Punkten P und P' beider Ebenen die Achse s senkrecht schneiden; sei S der Punkt, in dem sich die Geraden c' = A'B' und c = AB auf der Achse s schneiden, und W der Schnitt von s mit V V '. Dann ist
| V'W : SW = V'C' : U'C' , | (1) |
und ebenso folgt, wenn wir noch beachten, daß ε0 und ε ähnliche Ebenen sind,
| VW : SW = VC : UC = V0C0 : U0C0 . | (2) |
Nun ist aber V 'W die Projektion von V W, folglich ist
| VW > V'W . | (3) |
Die linke Seite von 2) ist daher größer als die linke Seite von 1); zwischen ihren rechten Seiten muß daher dasselbe Größenverhältnis bestehen. Da nun gemäß unserer Konstruktion U0 mit U' und V 0 mit V ' identisch ist, so ergibt sich schließlich
| V'C0 : U'C0 > V'C' : U'C' . | (4) |