Durch diese Ungleichung werden die beiden Punkte U' und V ', also auch die Strahlen u' und v' voneinander getrennt. Damit ist der Strahl u', dem s parallel läuft, eindeutig bestimmt. Die Richtung der Geraden s in ε' ergibt sich also eindeutig.
Es ist also nur noch die Neigung von ε gegen ε' zu ermitteln. Sie ist bekannt, sobald man die Länge von V 'W kennt. Diese ergibt sich aber wieder aus 1), denn SW, V 'C' und U'C' sind Strecken von ε', die zeichnerisch bestimmbar sind. Die Neigung von ε gegen ε' ist daher ebenfalls eindeutig bestimmt; ihr entsprechen jedoch zwei verschiedene Ebenen, die symmetrisch gegen die Ebene ε' liegen. Damit ist unser Satz bewiesen. Wir finden sogar zwei Scharen von Ebenen, die ihm genügen.
Die Konstruktion gestaltet sich demnach folgendermaßen. In der Ebene ε' zeichne man A'B'C1 ähnlich zu dem gegebenen Dreieck A0B0C0, schlage den durch C0 und C1 gehenden Kreis, dessen Zentrum auf A'B' liegt, und benenne seine Schnittpunkte U' und V ' mit A'B' gemäß der Proportion 4). Man zeichne dann die Gerade WS senkrecht zu U'C', und bestimme V 'W gemäß Proportion 1), so ist damit sowohl die Schnittlinie der Ebene ε' mit ε als auch ihre Neigung gegen ε und damit ihre Lage im Raume festgelegt.
Wir gehen nun zum Beweis des Satzes [I[!--tex4ht:ref: thm:14.I --] über, dem wir noch dadurch einen allgemeineren Inhalt geben können, daß wir das rechtwinklige gleichseitige Dreikant durch ein beliebiges Dreikant ersetzen. So gelangen wir zu folgendem, als Satz von Pohlke bezeichneten Theorem:
III. Ist ein Dreikant OABC und ein ebenes Viereck O0A0B0C0 beliebig gegeben, so kann man eine Ebene ε' und eine Projektionsrichtung so bestimmen, daß die in ε' entstehende Parallelprojektion O'A'B'C' des Dreikants dem Viereck O0A0B0C0 ähnlich ist.
| Fig 75 |
Wir nehmen zunächst wieder an, daß eine Ebene ε' und eine Projektionsrichtnng, wie sie der Satz verlangt, vorhanden ist. Ferner sei ε die durch das Dreieck ABC bestimmte Ebene, und O1 (Fig. [75[!--tex4ht:ref: fig:75 --]) derjenige Punkt, in dem sie von dem durch O gehenden projizierenden Strahl getroffen wird, so ist klar, daß die Projektionsrichtung bekannt ist, sobald man den Punkt O1 kennt. Nun befinden sich ε und ε' in der Weise in parallelperspektiver Lage, daß ABCO1 und A'B'C'O' entsprechende Punkte sind, und außerdem sind O'A'B'C' und O0A0B0C0 ähnliche Figuren. Wir können daher wieder, wie beim Beweis des Hilfssatzes, die das Viereck O0A0B0C0 enthaltende Ebene ε0 ähnlich so auf ε' beziehen, daß O0A0B0C0 und O'A'B'C' einander entsprechen, und schließen wieder genau wie oben, daß nun auch die Ebenen ε und ε0 in der in § [5[!--tex4ht:ref: section:5 --] erörterten Beziehung stehen; und zwar sind O1ABC und O0A0B0C0 entsprechende Punkte. Gemäß § [5[!--tex4ht:ref: section:5 --], [7[!--tex4ht:ref: subsub:5..7 --] können wir daher den Punkt O1 mit Hilfe der gegebenen Punkte ABC und A0B0C0 konstruieren. Damit ist die Richtung der projizierenden Strahlen bereits bestimmt.
Nun sei ε2 irgendeine zu dieser Richtung senkrechte Ebene, und A2, B2, C2 ihre Schnittpunkte mit den durch A, B, C gehenden projizierenden Strahlen. Dann kann man A2B2C2 als die Grundfläche eines geraden Prismas auffassen, das von der Ebene ε' so geschnitten werden soll, daß die Schnittfigur A'B'C' zu A0B0C0 ähnlich ist. Unserem Hilfssatz gemäß kann daher die Ebene ε' dieser Bedingung gemäßbestimmt werden.[66] Man sieht auch noch, daß nicht bloß A'B'C' ~ A0B0C0 ist, sondern auch O1A'B'C' ähnlich zu O0A0B0C0, denn die zwischen unseren Ebenen festgesetzten Beziehungen betreffen stets die ganzen Ebenen, d. h. also die sämtlichen in ihnen enthaltenen einander entsprechenden Figuren. Damit ist der Beweis geliefert.
