Einführung in die Hauptgesetze der Zeichnerischen Darstellungsmethoden - A. Schoenflies

N S ² = N A ^. N A'

(1)

Fig 93

Sei nun k ein auf der Kugel liegender Kreis, η die ihn enthaltende Ebene, und e die Schnittlinie der Ebenen η und ε'. Wir nehmen auf dem Kreis k vier Punkte A, B, C, D so an, daß (Fig. [93[!--tex4ht:ref: fig:93 --])[85] die Sehnen AB und CD sich auf e in einem Punkte O schneiden, und ziehen die vier Strahlen

N A A', N B B',
N C C', N D D'.

Ist dann α die Ebene NAB, und γ die Ebene NCD, so schneiden sich die drei Ebenen ε', α und γ ebenfalls in O; daher gehen durch ihn auch die Schnittlinien von je zweien dieser Ebenen hindurch, also auch die von α und ε' und die von γ und ε'. Auf der ersten liegen die Punkte A' und B', auf der zweiten C' und D', und wir folgern so, daß OA'B' und OC'D' je eine Gerade bilden. Wird nun die Relation [1[!--tex4ht:ref: subsub:16..1 --]) auf die Strahlen NA und NB angewandt, so folgt

N A ^. N A' = N B ^. N B',

(2)

und dies bedeutet, daß die vier Punkte A, B, A', B' auf einem gewissen Kreise k_a liegen. Andererseits schneiden sich AB und A'B' in O, und daher folgt aus dem Sehnensatz für diesen Kreis k_a weiter

O A ^. O A' = O B ^. O B'.

(3)

In derselben Weise ergibt sich