Einführung in die Hauptgesetze der Zeichnerischen Darstellungsmethoden - A. Schoenflies

O C ^. O C' = O D ^. O D'.

Nun ist aber, da A, B, C, D Punkte des Kreises k sind,

O A ^. O B = O C ^. O D

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also folgt schließlich

O A' ^. O B' = O C' ^. O D'.

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es liegen also in der Tat auch die Punkte A', B', C', D' auf einem Kreise. Da eine solche Relation für je zwei durch O gehende Geraden abgeleitet werden kann, ist damit das Bild k' von k als Kreis erwiesen.

Das Bild eines jeden durch N und S gehenden Meridians ist insbesondere eine durch S gehende Gerade, und das Bild jedes Parallelkreises ein Kreis mit dem Mittelpunkt S. Den Mittelpunkt eines beliebigen Kreises k' findet man auf Grund davon, daß es einen Durchmesser des Kreises k gibt, der in einen Durchmesser des Kreises k' übergeht, nämlich denjenigen, den die durch NS gehende auf k senkrechte Ebene enthält.

Um den Satz [II[!--tex4ht:ref: thm:16.II --] zu beweisen, schicken wir zunächst folgende evidente Tatsachen voraus.

1. Sind k und k₁ zwei Kugelkreise, die sich in den Punkten P und P₁ schneiden, so sind die Winkel, die sie in P und P₁ bilden, einander gleich, und zwar sind diese Winkel identisch mit den Winkeln, die ihre Tangenten in P und P₁ bilden. Das gleiche gilt für zwei ebene Kreise.

2. Sind k, k₁, k₂... Kugelkreise, die sich im Punkte P berühren, also in diesem Punkte dieselbe Tangente t haben, so berühren sich die Bildkreise k', k₁', k₂'... sämtlich in P', und haben in P' die Bildgerade t' als Tangente.